聚焦主線淺入深出，預設鋪墊開放教學
——以一次函數(shù)單元復習課為例

☉江蘇常熟市古里中學 何曉芳

一次函數(shù)的新授課之后，常常跟進一個階段所學內容的典型習題講評，我們見到不少習題課的學案設計是大量的習題，填空、選擇、解答題型各一，有時能達到30個小題，《中學數(shù)學（下）》前一段時間，曾有多篇文章對淪落為習題單式的導學案進行了商榷和批判，值得我們傾聽.筆者最近有機會開設一次函數(shù)單元復習的研討課，針對剛學一次函數(shù)的圖像與性質及從函數(shù)視角看方程與不等式的知識點，精選例、習題，改編設問，開放呈現(xiàn)，題組跟進.有效驅動了復習進程.本文梳理該課的教學流程，并進一步闡釋教學立意，供研討.

一、一次函數(shù)單元復習課例概述

教學環(huán)節(jié)（一） 從“兩點”出發(fā).

如圖1，在平面直角坐標系xOy中，有兩點A（2，5）、B（3，7）.

教學預設：從兩個點出發(fā)，請學生提出與一次函數(shù)有關的問題，小組討論后全班匯報交流.具體組織形式可以是，一個小組員提出問題后，請另外的小組成員講解思路.教師有如下的一些問題預設：學生應該都能想到求直線AB的函數(shù)解析式（為了后續(xù)表達方便，可以將直線AB記為直線l1）；求直線l1與坐標軸的交點坐標；直線l1與坐標軸圍成的圖形的面積.再比如：當y＞0，x____；y＝0，x____；y＜0，x____.等等.

教學環(huán)節(jié)（二） 復習“兩條直線”的關系.

“問題串”設計：在同學們前面探究的基礎上，教師設計了如下一些問題：

（1）直線l2過點A且l2⊥l1，畫出直線l2并求出它的解析式.

（2）點E（4，4）在直線l2上嗎？

（3）直線l3過點E且l3∥l1，求直線l3的解析式

（4）直線l1經(jīng)過怎樣的平移得到直線l3？

（5）觀察l2、l3的圖像，當x___時，y2＝y(tǒng)3；當x___時，y3＞y2；當x___時，y2＞y3＞0.

圖1

教學預設：在學生提問并解答之后，教師參與提問，引入其他直線，全面復習一次函數(shù)的圖像與性質，特別是一次函數(shù)圖像的平移、兩條直線的位置關系等.教師在PPT上漸次呈現(xiàn)“問題串”驅動復習進程，注意加強對話和互動，追問學生求出答案背后的思路與念頭，比較重要的方法要多安排其他學生“再講一遍”.

教學環(huán)節(jié)（三） 復習函數(shù)視角看方程（組）與不等式.

例1如圖2，在平面直角坐標系xOy中，直線l1：y＝kx+b（k、b為常數(shù)，k≠0）與直線l2：y＝－x+m（m為常數(shù)）的交點為A（2，3）.

圖2

圖3

（1）根據(jù)圖像信息可求得關于x的方程kx+b＝3的解為_______.

（3）關于x的不等式組0≤kx+b＜－x+m的解集為________.

（4）如圖3，已知點D（1，0），P、Q分別是OB、BC上的動點，試探究PD＋PQ的最小值.

教學預設：第（1）（2）（3）問分別復習一次函數(shù)與一元一次方程、一次函數(shù)與二元一次方程組、一次函數(shù)與一元一次不等式組的關系，即用函數(shù)眼光看待這些知識.第（4）問則是引入所謂“將軍飲馬”最值模型，還可跟進追問：如圖4，求△PDQ的周長的最小值.

圖4

教學環(huán)節(jié)（四） 一次函數(shù)為背景的面積問題.

例2 在同一直角坐標系中，正比例函數(shù)y＝k1x和一次函數(shù)y＝k2x＋b的圖像都經(jīng)過M（3，4），且它們與y軸圍成的圖形的面積為12平方單位.

（1）求k1的值；

（2）求一次函數(shù)y＝k2x＋b的解析式.

教學預設：第（1）問是基礎題，第（2）問需要分類討論，主要是一次函數(shù)與y軸交點位置的不確定，需要考慮兩種情況.如果學生在練習時漏解，可以安排其他學生參與“究錯”.

例3如圖5，在平面直角坐標系xOy中，平行四邊形OABC的頂點A在x軸上，頂點B的坐標為（6，4）.直線l經(jīng)過點（1，0），且將平行四邊形OABC分割成面積相等的兩部分.

（1）當點A的坐標為（4，0）時，求邊OC所在直線的解析式；

（2）小月發(fā)現(xiàn)，平行四邊形OABC的頂點B、C的位置雖不能確定，但是該平行四邊形的“中心”（對角線交點）卻能確定，你能理解小月的發(fā)現(xiàn)嗎？

（3）求直線l的解析式.

教學預設：由于第（3）問較難，難點在于平行四邊形的中心需要先分析出來，而這既需要靈活運用中位線性質，又需要理解經(jīng)過平行四邊形中心的直線平分其面積的性質，所以安排了第（2）問，進行必要的鋪墊，便于引導學生自主發(fā)現(xiàn)思路.

圖5

二、教學立意的進一步闡釋

1.復習課教學選題要有主線，聚焦目標.

復習課教學首先要有明確的復習目標，確定復習主線.比如，本課例中主要是復習一次函數(shù)的概念，正比例函數(shù)、一次函數(shù)的圖像與性質，從函數(shù)視角看一元一次方程、二元一次方程（組）、一元一次不等式（組）等，所以后續(xù)選題就需要沿著這些教學目標和主線開展選題，而不能缺少目標主線的統(tǒng)領，選題的內容效度發(fā)生重大偏差，比如，有些一次函數(shù)的復習課，所選習題過多與平面幾何的很多結構聯(lián)系起來，使得問題的訓練重點與難點偏向平面幾何，而沒有真正把教學時間花在復習一次函數(shù)上.

2.復習課教學需要淺入深出，層層遞進.

明確復習課的選題主線與目標之后，精心選中的例、習題既要根據(jù)知識點進行歸類排序，又要把簡單的問題先呈現(xiàn)出來，做到淺入深出，層層遞進.具體來說，在上文課例中，教學環(huán)節(jié)（一）安排了一組簡單的求直線解析式、直線與坐標軸交點等基礎問題；而教學環(huán)節(jié)（二）中安排了同一坐標系中兩條直線相交的系列題組；教學環(huán)節(jié)（三）中從函數(shù)視角看方程與不等式；最后的教學環(huán)節(jié)（四）以一次函數(shù)為背景探究與面積相關的綜合問題，且體現(xiàn)了分類討論的要求.

3.復習課教學預設開放教學，促進對話.

南京大學哲學系鄭毓信教授多年前就倡導開放的數(shù)學教學，認為利用開放題可以促進開放的數(shù)學教學.比如，教學環(huán)節(jié)（一）中安排學生小組內提問，全班交流匯報展示，開課階段安排這樣的開放式教學，把所有學生的學習興趣與數(shù)學思考全部卷入到課堂學習中來；在教學環(huán)節(jié)（二）中，由于在同一坐標系中增加了多條直線參與探究它們的位置關系，在學生解答之后，教師適當追問暴露他們的思路，在師生對話中促進對復習內容的深刻理解.這里特別值得一提的是，對于有些需要重復和強調的問題，教師本人不必代替學生，而可以在第一個學生回答之后，習慣性地追問“你們聽懂了吧”“請你再說一遍”，讓學生重復、復述，達到鞏固的效果.

4.復習課教學精心設計鋪墊，突破難題.

復習課中的選題往往會有一些綜合問題，具有挑戰(zhàn)性，如何引導學生順利破解這些較難問題，就需要我們在課前對較難題增設一些鋪墊式問題，讓學生在解決鋪墊問題之后，可以順利借著“鋪墊問題”，突破難題.在例3教學的最后一問，我們虛擬了“小月發(fā)現(xiàn)”，先引導學生求出平行四邊形的“中心”，在此基礎上為后面分析直線的解析式提供了幫助.如果學生仍然有困難，我們在教學時還可繼續(xù)進行點撥：同學們有沒有研究過，能把平行四邊形面積等分的直線，會有怎樣的特點？（它一定經(jīng)過平行四邊形的中心）這里，教學的開放性與提問的引導性之間的平衡關系是一種值得修煉的教學藝術.

參考文獻：

1.湯義佳.內容效度：課時例、習題選編的重要指標——以九年級新授課學案的研制為例［J］.中學數(shù)學（下），2017（9）.

2.鄭毓信.善于提問［J］.人民教育，2008（19）.

3.鄭毓信.開放題與開放式教學［J］.中學數(shù)學教學參考，2001（3）.

4.鄭毓信.再論開放題與開放式教學［J］.中學數(shù)學教學參考，2002（6）.