操作·思考·探索·應(yīng)用
——探究教學(xué)法在“線段的長(zhǎng)短比較”課例中的嘗試

☉安徽安慶市第四中學(xué) 王南林

☉江南大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) 龐彥福

2017年12月22日，在安慶市第四中學(xué)舉行的2017—2018學(xué)年度“教育教學(xué)開(kāi)放日”活動(dòng)中，筆者嘗試用“探究教學(xué)法”執(zhí)教了滬科版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)第四章第三節(jié)“線段的長(zhǎng)短比較”，“法制與新聞”新媒體平臺(tái)進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)直播，在線觀課的高達(dá)29萬(wàn)9千余人，現(xiàn)將教學(xué)設(shè)想及教學(xué)過(guò)程撰文與各位同行分享交流.

一、教學(xué)分析

1.教材分析.

本節(jié)課內(nèi)容是初中數(shù)學(xué)滬科版七年級(jí)上冊(cè)第4章“直線與角”中第3節(jié)“線段的長(zhǎng)短比較”，它是前一節(jié)“線段、射線、直線”內(nèi)容的延續(xù)，同時(shí)也為后面學(xué)習(xí)“角”的相關(guān)內(nèi)容，進(jìn)行類(lèi)比學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).教材首先介紹線段長(zhǎng)短的比較方法——疊合法，給出了兩條線段長(zhǎng)度三種不同關(guān)系的幾何符號(hào)表示，并在此基礎(chǔ)上介紹線段和差、中點(diǎn)的概念及它們的幾何語(yǔ)言表示.通過(guò)觀察思考與操作演示，給出了兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，與兩點(diǎn)之間距離的概念.

2.學(xué)情介紹.

學(xué)生上節(jié)課學(xué)習(xí)了“線段、射線、直線”，了解了線段的形象和表示方法，本節(jié)課將進(jìn)一步研究線段的基本性質(zhì)、比較方法和中點(diǎn)的概念.從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，提煉線段的長(zhǎng)短比較方法，線段的基本性質(zhì)等，知識(shí)策略的獲得完全是根據(jù)學(xué)生的已有知識(shí)、生活經(jīng)驗(yàn)和理解水平得到的，能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性.研究比較線段長(zhǎng)短的方法，也為后面學(xué)習(xí)角的比較提供了方法、思路.同時(shí)，這節(jié)課的內(nèi)容對(duì)學(xué)生平面幾何知識(shí)的起步、幾何語(yǔ)言能力的培養(yǎng)、幾何圖形操作方法的學(xué)習(xí)，乃至后期空間與圖形學(xué)習(xí)都具有重要的作用.

學(xué)生在小學(xué)階段對(duì)線段已有一定的了解，對(duì)于線段的長(zhǎng)短也有感性的認(rèn)識(shí)，這些都為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好了鋪墊.但將一條線段移到另一條線段上，將其中一個(gè)端點(diǎn)對(duì)齊進(jìn)而對(duì)線段進(jìn)行比較的方法（疊合法）及線段的和與差，學(xué)生以前未接觸過(guò)，線段中點(diǎn)的定義、圖形、符號(hào)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)化等，既有操作，又涉及數(shù)形結(jié)合的思想方法，對(duì)學(xué)生現(xiàn)有的接受能力有一定的挑戰(zhàn).

3.教學(xué)目標(biāo).

（1）會(huì)用疊合與度量方法比較線段的長(zhǎng)短，能說(shuō)出線段長(zhǎng)短比較的結(jié)果，從“數(shù)”和“形”兩個(gè)方面理解線段長(zhǎng)短的比較方法.

（2）根據(jù)具體情境了解“兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短”的性質(zhì)，并學(xué)會(huì)運(yùn)用它解釋一些實(shí)際現(xiàn)象.

（3）了解線段中點(diǎn)的概念和幾何語(yǔ)言表示，能對(duì)照?qǐng)D形判斷線段間的和差關(guān)系.

（4）通過(guò)探索比較線段長(zhǎng)短的方法，提高動(dòng)手操作能力，了解幾何學(xué)習(xí)的基本方法；從實(shí)際生活中得出線段的性質(zhì)，感受數(shù)學(xué)源于實(shí)踐，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí).

4.教學(xué)重、難點(diǎn).

重點(diǎn)：線段長(zhǎng)短的比較方法；線段基本性質(zhì)“兩點(diǎn)之間，線段最短”的理解與應(yīng)用.

難點(diǎn)：線段的和差關(guān)系，幾何語(yǔ)言的表述.

二、教學(xué)實(shí)踐

1.問(wèn)題情境.

問(wèn)題：同學(xué)們?cè)谡n間怎樣比較兩個(gè)人的高矮？

黑板上畫(huà)出的兩條線段，如何比較它們的長(zhǎng)短呢？

（學(xué)生交流后，推舉代表發(fā)言）

設(shè)計(jì)意圖：兩個(gè)問(wèn)題的呈現(xiàn)是有層次的，可直接觀察判斷到難以直接觀察判斷，教師在學(xué)生展示或發(fā)言結(jié)束后，要做適當(dāng)?shù)奶釤捄蜌w納，這樣不僅有利于學(xué)生體會(huì)比較線段大小的必要性，而且有利于從中歸納比較線段長(zhǎng)短的方法.這個(gè)活動(dòng)是從學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)的，在比較的過(guò)程中學(xué)生會(huì)有不同的方法，教師給予肯定，不一定要完全按自己的預(yù)設(shè)來(lái)安排.

2.探索交流.

（1）比較線段的長(zhǎng)短.

度量法：用刻度尺量出線段的長(zhǎng)度，再比較兩者數(shù)據(jù)的大小.

疊合法：將線段AB、CD放在同一條直線上，使端點(diǎn)A與C重合，端點(diǎn)B與點(diǎn)D落在A的同一側(cè)，如圖1.

（1）若點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，就說(shuō)線段AB等于線段CD，可以記作“AB＝CD”；

（2）若點(diǎn)D在線段AB外部，就說(shuō)線段AB小于線段CD，可以記作“AB＜CD”；

（3）若點(diǎn)D在線段AB內(nèi)部，就說(shuō)線段AB大于線段CD，可以記作“AB＞CD”.

圖1

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)用疊合法比較兩個(gè)人的高矮，用度量法比較黑板上兩條線段的長(zhǎng)短，從而歸納出比較線段的方法：度量法、疊合法，分別從“數(shù)”和“形”的角度進(jìn)行比較.然后抽象出疊合法比較線段長(zhǎng)短的條件，為后面角的比較方法奠定基礎(chǔ).再用圖形、符號(hào)、文字語(yǔ)言分別表示三種不同關(guān)系的情形.這樣對(duì)后面用三種語(yǔ)言研究幾何圖形的性質(zhì)，起到了過(guò)渡與銜接的作用.

練習(xí)：①觀察下列兩組圖形（如圖2），分別比較線段a、b的長(zhǎng)短.再用刻度尺量一下，看看你的觀察結(jié)果是否正確.

圖2

②如圖3，鄰座同學(xué)合作做一個(gè)三角形紙片，選擇一種方法來(lái)比較三角形的邊AB和AC的長(zhǎng)短.

設(shè)計(jì)意圖：比較線段長(zhǎng)短的方法是本節(jié)課的難點(diǎn)，在這里給了學(xué)生充足的時(shí)間進(jìn)行活動(dòng)展示.教師用“幾何畫(huà)板”通過(guò)動(dòng)態(tài)演示兩條線段，說(shuō)明“眼見(jiàn)不一定為實(shí)”；學(xué)生動(dòng)手操作折疊三角形，進(jìn)一步體會(huì)比較線段的兩種方法，同時(shí)為后面角平分線的學(xué)習(xí)做好鋪墊.

（2）線段的和差.

問(wèn)題：一條線段能否用另外幾條線段的和或差表示出來(lái)？

①如圖4，點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上，如果線段AB=a，線段BC=b，那么線段AC就是a與b的和，記作AC=a+b.

圖3

圖4

②如圖5，點(diǎn)D在線段AB上，如果線段AB=a，線段DB=b，那么線段AD就是a與b的差，記作AD=a-b.

圖5

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師引出線段的和差的意義，并指明線段的和差是線段長(zhǎng)度的和與差.學(xué)生對(duì)線段的和差不難理解，只需看圖說(shuō)話即可.通過(guò)讓學(xué)生觀察思考后得到，落實(shí)學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程.

（3）線段的中點(diǎn).

幾何畫(huà)板操作：點(diǎn)C離端點(diǎn)A越近，AC變短BC就變長(zhǎng)；點(diǎn)C離端點(diǎn)B越近線段AC越長(zhǎng)，AC變長(zhǎng)BC就變短.當(dāng)點(diǎn)C在線段AB之間某個(gè)特殊的位置時(shí)兩條線段一樣長(zhǎng).

線段中點(diǎn)：若點(diǎn)C把線段AB分成相等的兩條線段AC與CB，如圖6，則點(diǎn)C叫作線段AB的中點(diǎn)，記作：AC=BC=

圖6

提問(wèn)：同學(xué)們平時(shí)寫(xiě)作業(yè)時(shí)，作業(yè)本中間的直線是如何畫(huà)出的？

操作：現(xiàn)有一根無(wú)彈性的細(xì)繩子，不借助其他工具，請(qǐng)你找出繩子的中點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖：幾何畫(huà)板上不斷移動(dòng)的點(diǎn)大大激發(fā)了學(xué)生的求知熱情和學(xué)習(xí)興趣，在比較線段長(zhǎng)短的基礎(chǔ)上得出線段中點(diǎn)的定義，能更好地將學(xué)生已有的認(rèn)知轉(zhuǎn)化為新的知識(shí).通過(guò)幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)的演示感受幾何圖形的變化，在變化中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并發(fā)現(xiàn)中點(diǎn)的特殊性，滲透從一般到特殊的思想，得出線段中點(diǎn)的定義.教師再按照“幾何圖形—文字表述—符號(hào)表示”的程序進(jìn)行教學(xué)，將數(shù)形結(jié)合的思想貫穿始終，為后續(xù)幾何圖形的研究打下基礎(chǔ).其中的“提問(wèn)”既復(fù)習(xí)了上節(jié)課“兩點(diǎn)確定一條直線”，又是今天內(nèi)容怎樣找（操作）線段中點(diǎn)的較好素材，聯(lián)系學(xué)習(xí)和生活實(shí)際，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)源于實(shí)踐的思想.

3.應(yīng)用遷移.

（1）練習(xí)：課本第141頁(yè)練習(xí)2.

（2）例題：如圖7，線段AB=4，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)C，使AC=11.點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn).求DE的長(zhǎng).

圖7

（學(xué)生獨(dú)立完成，然后交流展示，教師給予指導(dǎo)，最后給出規(guī)范的解題步驟.）

解：如圖8，由AB=4，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，得AD=2.

由AC=11，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，得AE=5.5.

則DE=AE-AD=5.5-2=3.5.

圖8

設(shè)計(jì)意圖：該例題，讓學(xué)生在已有圖形的基礎(chǔ)上根據(jù)問(wèn)題中的語(yǔ)言描述畫(huà)出相應(yīng)的圖形，然后根據(jù)圖形中線段之間的關(guān)系進(jìn)行推理和計(jì)算.先由學(xué)生自己獨(dú)立完成計(jì)算，只要算出長(zhǎng)度教師就給予肯定，最后在黑板上規(guī)范書(shū)寫(xiě).

4.繼續(xù)探究.

思考：（1）在上學(xué)的路上，為什么我們經(jīng)?？吹介L(zhǎng)方形的草坪上，會(huì)有一條沿著對(duì)角線被踐踏的小路？

（2）人們修建公路遇到大山阻礙時(shí)，為什么時(shí)常打通一條穿越大山的直的隧道？

（3）如圖9，甲、乙兩地間有曲線、折線、線段等4條路線可走，其中哪一條路線最短？

歸納：線段的基本性質(zhì)：兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短.

兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度，叫作這兩點(diǎn)之間的距離.

（讓學(xué)生翻看課本第140頁(yè)，勾畫(huà)關(guān)鍵詞句，理解概念）

練習(xí)：課本第141頁(yè)練習(xí)4.

設(shè)計(jì)意圖：有趣的情景抽象出學(xué)生所熟悉的幾何圖形，利用抽象后的直觀圖形得出基本事實(shí)，并介紹兩點(diǎn)之間的距離，適時(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行思想教育，促進(jìn)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和文明向上的行為習(xí)慣.學(xué)生根據(jù)自己的生活經(jīng)驗(yàn)理解這一事實(shí)即可.因?yàn)榫€段是有長(zhǎng)度的，因此得到“兩點(diǎn)之間的距離”的定義.教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)，“兩點(diǎn)之間的距離”是兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度，是一個(gè)非負(fù)數(shù)，而不是一條線段.

5.整理反思.

師：你認(rèn)為比較線段的長(zhǎng)短有哪些方法？通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你印象最深刻的是什么？

（學(xué)生回答后，教師補(bǔ)充，并通過(guò)投影顯示本節(jié)知識(shí)框圖）

知識(shí)：線段的和差、線段的中點(diǎn)，線段的基本性質(zhì)，兩點(diǎn)之間的距離.

方法：線段長(zhǎng)短的比較方法——度量法、疊合法.

思想：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸.

聯(lián)系：數(shù)學(xué)與實(shí)際.

設(shè)計(jì)意圖：師生交流總結(jié)梳理，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的歸納整理、語(yǔ)言表達(dá)能力，培養(yǎng)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)思維方法和策略的能力，讓學(xué)生逐漸完善自我知識(shí)的建構(gòu)，增強(qiáng)自我反思意識(shí)，注意數(shù)與形的統(tǒng)一.

6.布置作業(yè).（略）

圖9

三、探究教學(xué)法

探究性教學(xué)是指在教師的指導(dǎo)下，以發(fā)現(xiàn)、發(fā)明的心理動(dòng)機(jī)進(jìn)行探索、尋求解決問(wèn)題的方法；以類(lèi)似科學(xué)研究的方法來(lái)獲取知識(shí)，應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題，從而在掌握知識(shí)內(nèi)容的同時(shí)，讓學(xué)生體驗(yàn)和理解科學(xué)方法，培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力.探究性學(xué)習(xí)是較接受性學(xué)習(xí)而言的一種學(xué)習(xí)方式，但更具問(wèn)題性、實(shí)踐性、參與性和開(kāi)放性.教學(xué)中遵循的基本原則就是主體性原則、適應(yīng)性原則和情意性原則.教師的指導(dǎo)策略大致為：精心設(shè)計(jì)探究計(jì)劃，選擇和組織恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)材料，做好教學(xué)組織安排，指導(dǎo)探究學(xué)習(xí)過(guò)程.

探究性教學(xué)的操作程序主要包括三個(gè)環(huán)節(jié)：提供問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲；引導(dǎo)幫助學(xué)生探究，發(fā)現(xiàn)概念、原理；將探究結(jié)果運(yùn)用到新情境中去.其基本流程是“創(chuàng)設(shè)情境—探索交流—整理反思—應(yīng)用遷移”.

“創(chuàng)設(shè)情境”就是在教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生求知心理之間制造一種“不協(xié)調(diào)”，設(shè)置一個(gè)有意義的情境，提出有一定思考路徑的問(wèn)題，造成認(rèn)知的沖突感，從而引發(fā)探究的動(dòng)機(jī).“探索交流”是探究性學(xué)習(xí)的核心部分，探索研究需要每個(gè)學(xué)生以原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，對(duì)新的知識(shí)信息進(jìn)行加工、理解，由此建構(gòu)新知識(shí).教師要組織（精心設(shè)計(jì)）、引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手（動(dòng)手實(shí)踐）、動(dòng)腦（靈活思考）、動(dòng)口（大膽表達(dá)），多管齊下，使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動(dòng)性和創(chuàng)造性得以充分發(fā)展.“整理反思”就是教師要有意識(shí)地引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生，對(duì)思維的過(guò)程進(jìn)行重新整理與總結(jié)，并提煉上升到數(shù)學(xué)思想方法的高度，使之達(dá)到認(rèn)識(shí)的深化與認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善.在整理反思中發(fā)現(xiàn)的新問(wèn)題又可深入地進(jìn)行探究或延伸.“應(yīng)用遷移”環(huán)節(jié)教師要精心設(shè)計(jì)好具有層次性、啟發(fā)性和創(chuàng)造性的練習(xí)題，組織好學(xué)生將探究歸納出的新知識(shí)、新方法用于實(shí)踐，使探究活動(dòng)向課外拓展、延伸，嘗到探索成功的喜悅，從而增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)的理解與應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心.

創(chuàng)設(shè)一定的問(wèn)題情境，是開(kāi)展探究性教學(xué)的必備條件.不同的教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生進(jìn)入“憤悱”狀態(tài)的方式也應(yīng)不一樣，應(yīng)采取不同的教學(xué)方法，這就需結(jié)合具體的教學(xué)材料選用相應(yīng)的教學(xué)模式.

四、教學(xué)思考

本節(jié)課自始至終把數(shù)學(xué)教學(xué)的核心理念貫穿于教學(xué)內(nèi)容和整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷觀察思考、動(dòng)手操作、探索交流等活動(dòng)，提煉出線段長(zhǎng)短的比較方法.教學(xué)思路層次分明，始終以比較線段的長(zhǎng)短兩種方法即度量法和疊合法及其應(yīng)用為主線，貫穿于整個(gè)教學(xué)過(guò)程，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn).

教師把抽象的線段性質(zhì)及線段的長(zhǎng)短比較方法的研究轉(zhuǎn)化為具體的實(shí)驗(yàn)操作，讓學(xué)生在教學(xué)情境中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)、分析和解決問(wèn)題.借助于多媒體演示、實(shí)物模型等，學(xué)生憑借幾何直覺(jué)對(duì)所要討論的問(wèn)題有了直觀的感性認(rèn)識(shí)，在自己動(dòng)手實(shí)踐，小組合作學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)“兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短”的性質(zhì).通過(guò)梳理總結(jié)，將新的知識(shí)方法融入學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中.在教學(xué)中，鼓勵(lì)動(dòng)手操作、觀察歸納等活動(dòng)，了解幾何學(xué)習(xí)的基本方法；由比較線段的長(zhǎng)短發(fā)現(xiàn)線段中點(diǎn)，滲透從一般到特殊的思想；通過(guò)比較線段長(zhǎng)短的兩種方法，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法；從實(shí)際生活中得出線段的基本性質(zhì)，感受數(shù)學(xué)源于實(shí)踐.

體現(xiàn)活動(dòng)課的特征，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體參與、開(kāi)展數(shù)學(xué)交流，讓他們?cè)谧鰯?shù)學(xué)的活動(dòng)中，獲得建立幾何圖形的知識(shí)與技能，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和想象力，突出學(xué)生的主體地位，轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，幫助學(xué)生積累相關(guān)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并獲得一定的成功體驗(yàn).

課堂交給學(xué)生，教師做組織者、引導(dǎo)者和提煉者，讓課堂成為學(xué)生的課堂.在教學(xué)中，積極鼓勵(lì)學(xué)生“愛(ài)講”，善于表達(dá)自己的觀點(diǎn)和見(jiàn)解；引導(dǎo)學(xué)生“會(huì)聽(tīng)”，尊重他人，善于傾聽(tīng)別人的心聲.同時(shí)，教師做好協(xié)調(diào)、點(diǎn)撥，及時(shí)給予肯定和鼓勵(lì).教師對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)要多元化.不要用同一個(gè)尺度評(píng)價(jià)所有學(xué)生，探究性教學(xué)重視過(guò)程評(píng)價(jià)及評(píng)價(jià)的發(fā)展功能，教師讓學(xué)生談收獲、說(shuō)體會(huì)、提問(wèn)題、談建議，通過(guò)學(xué)生的自我評(píng)價(jià)，及時(shí)調(diào)節(jié)自己的學(xué)習(xí)行為，進(jìn)一步激起他們參與探究的積極性.

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