基于從“平面分割”到“立體分割”的聯(lián)想與感悟
——以浙教版教材為例

☉浙江寧波市奉化區(qū)實驗中學(xué) 陸孝明

一、問題研究背景

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在課程目標(biāo)中明確提出，通過義務(wù)教育階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生能體會數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，能有發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力及分析、解決問題的能力.在數(shù)學(xué)課程設(shè)計方面則提出，數(shù)學(xué)課程應(yīng)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理特征，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷構(gòu)建模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程.［1］另外，在寧波市2017年初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試說明中也明確給定了“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”四個學(xué)習(xí)領(lǐng)域的分值比例，其中“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”所占比重最大，均約占40%，“統(tǒng)計與概率”約占15%，“綜合與實踐”約占5%.［2］由此可見，浙教版教材對于“數(shù)與代數(shù)”和“圖形與幾何”這兩個學(xué)習(xí)領(lǐng)域的重視程度，而這兩塊知識領(lǐng)域之間也有密切的聯(lián)系，代數(shù)問題借助幾何圖形更直觀形象，幾何問題用代數(shù)方法求解更方便快捷.

二、發(fā)現(xiàn)問題

分割問題最早見于浙教版《義務(wù)教育教科書》七年級上冊第六章“圖形的初步知識”的第二節(jié)內(nèi)容——“線段、射線和直線”的教學(xué)內(nèi)容中.課本課后練習(xí)中出現(xiàn)了以點(diǎn)分割線段的問題，而在與教材配套的作業(yè)本中［3］，則出現(xiàn)了以線分割面的雛形.現(xiàn)將作業(yè)本中出現(xiàn)的題目摘錄如下：

1.過同一平面內(nèi)三個點(diǎn)中的任意兩個點(diǎn)畫直線，可以畫幾條呢？我們可以把它分成兩類：如圖1，當(dāng)三點(diǎn)共線時，可以畫1條直線；如圖2，當(dāng)三點(diǎn)不在同一直線上時，可以畫3條直線.想一想，過同一平面內(nèi)四個點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)，可以畫幾條直線？請畫出圖形.

圖2

圖1

2.觀察下列圖形，閱讀圖形下面的相關(guān)文字，并解答：

（1）填空：

直線條數(shù) 最多交點(diǎn)個數(shù) 對頂角的對數(shù)2 1 2 3 3 6 4 6 1 2 5…n

這兩題雖并未明確提出“平面分割”的問題，但題中出現(xiàn)的圖形，都是平面分割的前幾個特例.因此，筆者在教學(xué)實踐中，當(dāng)學(xué)生學(xué)有余力時，適當(dāng)拔高了難度，提出“過點(diǎn)最多能畫幾條線”、“給定直線，在求出最多的交點(diǎn)個數(shù)后，請思考，這些直線最多能將平面分成幾塊”等問題，讓學(xué)生思考，并可參照第2題的模式，利用表格，從特殊到一般，歸納出相關(guān)公式.

三、聯(lián)系相關(guān)問題、分析整理問題

一個好的數(shù)學(xué)老師要對他所教授的知識和技能“了若指掌”，能夠從單一的題目出發(fā)全面地看清整個問題的本質(zhì)才能夠使自己的課堂深入淺出達(dá)到高效.［4］筆者整理了三類有內(nèi)在聯(lián)系的分割問題，即“以點(diǎn)分線”“以線分面”與“以面分體”問題，按“從特殊到一般”的模式著手問題的解決.

問題1“以點(diǎn)分線”

一條線段上的若干個點(diǎn)可將線段分為幾部分？（每兩個相鄰點(diǎn)間的線段算一部分）

分析：從1個點(diǎn)開始，學(xué)生通過前幾個具體可數(shù)的例子，不難發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律，較容易能得出n個點(diǎn)可將線段分為n－1個部分.

問題2“以線分面”

平面內(nèi)若干條直線最多可以將這個平面分為幾部分？

分析：仍然從最簡單的1條直線開始，當(dāng)加一條直線，要使分割的平面盡可能多，則需添加的直線與之前的直線盡可能相交，因為2條直線如果平行的話，就只能將平面分為3部分，但如果它們相交，只能分出4部分.基于上述分析，學(xué)生有能力畫出前4～5個具體圖形，并通過尋找數(shù)字規(guī)律的方式，發(fā)現(xiàn)1條直線到2條直線，多了2個平面；2條直線到3條直線，多了3個平面；…；以此類推，從n－1條直線到n條直線，會增加n個平面，即從最初的2

當(dāng)然，我們也可以從幾何的角度來分析這個問題——1條直線分平面為2部分，第2條直線與第1條相交，會經(jīng)過2個平面，經(jīng)過的平面都被一分為二，因此多了2個平面；第3條直線與前兩條直線相交，這條直線會被分成3段，即說明這條直線會經(jīng)過3個平面，而經(jīng)過的平面仍然被一分為二，因此會在原先基礎(chǔ)上多3個平面；…；以此類推，第n條直線會與直線的n－1條直線相交，它會被分成n段，即它會經(jīng)過n個平面，會多n個平面，一樣可以得到相同結(jié)果.但是，學(xué)生由于思維能力等客觀因素的限制，極少能從這個角度去想，絕大多數(shù)都會采取尋求數(shù)字規(guī)律的方法得到最后結(jié)果.

分成的平面：

問題3“以面分體”

空間內(nèi)若干個平面最多可以將這個空間分為幾部分？

分析：對于要求較高的第三類問題，需要學(xué)生有一定的空間想象能力，但多數(shù)同學(xué)只能想象出3個平面最多將空間分為8個部分，再之后的4個平面，基本是無法想象出來正確的分割方式了，更別說能由特殊歸納出一般的n個平面最多將空間分成幾部分了.

四、類比、解決問題

類比上述三類問題，都屬于幾何上的分割問題，而且是從一維、二維直至三維，逐層遞增，難度和要求自然也依次增加.通過第二類“以線分面”問題的分析，筆者發(fā)現(xiàn)，初中階段的學(xué)生當(dāng)遇到較為抽象的圖形時，很少主動從幾何角度去分析解決問題，此時，若是有代數(shù)的計算方法可以代替，絕大多數(shù)同學(xué)都會傾向用代數(shù)方法求解.而在第三類問題上之所以遇到瓶頸，是因為它們既無法想象出抽象的空間圖形，又找不到可以代替的代數(shù)方法.由此，引發(fā)我們思考，能否找到一種相關(guān)的代數(shù)計算方法，類似于第一、二類問題的找規(guī)律，來解決這個問題呢？

類比聯(lián)想，代數(shù)知識中也有一維與二維——一次函數(shù)與二次函數(shù)，而如果分別用x和y表示問題中的兩個變量，將已得到的“以點(diǎn)分線”和“以線分面”的結(jié)果以函數(shù)形式來表示，則不難發(fā)現(xiàn)，這兩類問題都能用函數(shù)來刻畫.由此，我們有理由猜想，第三類問題可以用“三次函數(shù)”來刻畫和解決.

問題 表達(dá)式 函數(shù)類型“以點(diǎn)分線”（x個點(diǎn)，y條線段） y=x-1 一次函數(shù)“以線分面”（x條線，y個平面） y=1 2x2+1 2x+1 二次函數(shù)“以面分體”（x個平面，y塊空間） ？ 三次函數(shù)

那么，對于“以線分面”問題，除了找數(shù)字規(guī)律以及從幾何角度分析求解這兩種方法外，我們也可以用“二次函數(shù)”這個模型來解決了.求解過程如下：

設(shè)有x條線，y個平面，則y與x應(yīng)滿足：y=ax2+bx+c（a≠0），接下來用待定系數(shù)法求出三個參數(shù)，即將已知

五、延伸思考

教師在研究題目時，不單要會求解、引導(dǎo)學(xué)生求解，還要對題目進(jìn)行更加深入的探索和發(fā)揮，用聯(lián)系的觀點(diǎn)使一題變“三隅”，同時也便于實施教學(xué)重難點(diǎn)的突破和安排解題教學(xué)之后變式訓(xùn)練.［4］筆者的第一個思考是對

維度，那么對于k維空間中的平面分空間問題，是否都有公式呢？［5］顯然，這已超出了初中學(xué)生的認(rèn)知范疇，這里不多做闡述，有興趣的讀者可研讀顏曉東先生的《一個平面分割問題的推廣》.

第二個思考仍是關(guān)于這三個公式：由于所求問題的結(jié)果都必是正整數(shù)，對于y=x-1，容易理解，但對于較為復(fù)雜的二次、三次函數(shù)表達(dá)式，或許學(xué)生會產(chǎn)生這樣的疑惑——為什么這些式子代入后的結(jié)果都一定會是正整數(shù)呢？尤其對于第三個式子而言，是不是取大一點(diǎn)的數(shù)，就會使結(jié)果出現(xiàn)分?jǐn)?shù)呢？為了解決這一問題，筆者認(rèn)為有必要證明一下后兩個式子必為正整數(shù).因為由題意x為非負(fù)整數(shù)，所以通常用因式分解的方法求證.

六、結(jié)束語

通過對分割問題，主要是從“平面分割”到“立體分割”問題的分析，揭示了其本質(zhì)是從二維到三維，類比代數(shù)中的函數(shù)模型，提煉了解決這一幾何問題的代數(shù)方法.應(yīng)用類比教學(xué)時應(yīng)明確，類比不單單是用于表面有較高相似度的知識點(diǎn)上，也可以進(jìn)一步分析，看透問題本質(zhì)，在內(nèi)源上找關(guān)聯(lián).這樣，往往就能將不同區(qū)塊的知識點(diǎn)聯(lián)系起來了.本文涉及的“數(shù)與代數(shù)”與“圖形與幾何”是浙教版教材中較為強(qiáng)調(diào)的兩塊內(nèi)容，但也不應(yīng)僅僅局限于這兩塊，尤其“綜合與實踐”這塊，雖是分值比重最小的一塊，卻是要求和區(qū)分度較高的.在近幾年的中考中，高分段之間3～8分的差距往往是在這塊內(nèi)容中體現(xiàn)出來的.

另外，本文提到的代數(shù)方法——利用三次函數(shù)模型解決“以面分體”問題，是基于目前初中階段學(xué)生空間想象能力較弱的現(xiàn)狀.但教師在教學(xué)過程中，除了介紹代數(shù)方法在本題中的優(yōu)勢外，也不應(yīng)忽視對學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng)，可布置作業(yè)讓學(xué)生課后那實物紙片去嘗試分割，或查找相關(guān)資料，了解空間圖形.

實際教學(xué)中，我們?nèi)詴錾虾芏啾举|(zhì)上相同的內(nèi)容，要看透本質(zhì)，作為教師，視野和高度就必須提高，不能只滿足于解題，解一類題，更需要我們觸類旁通.筆者作為青年教師，仍有相當(dāng)漫長的道路要走，望自己能不忘初心，砥礪前行，也在此與各位同仁共勉.

參考文獻(xiàn)：

1.中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.寧波市教育局教研室.寧波市2017初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試說明［Z］.

3.浙江省教育廳教研室.義務(wù)教育教材作業(yè)本七年級上①②［Z］，①33，②36.

4.鄭學(xué)濤.從特殊到一般——對2016年日照中考數(shù)學(xué)21題的深入探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（初中版），2017（2）.

5.顏曉東.一個平面分割問題的推廣［J］，數(shù)學(xué)教學(xué)研究，1999（4）.H