構(gòu)建衍生新知，發(fā)展高階思維
——以“矩形”的教學(xué)為例

☉江蘇常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué) 蔣 飛

“矩形”是蘇科版八年級(jí)下冊(cè)的重要內(nèi)容，是平行四邊形的后續(xù)銜接，也是研究幾何圖形的關(guān)鍵內(nèi)容，對(duì)于發(fā)展學(xué)生幾何觀，利用幾何思維分析問(wèn)題具有重要意義.為達(dá)到教學(xué)目標(biāo)，提升學(xué)生的知識(shí)水平和思維能力，需要教師準(zhǔn)確把握教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)情景，引導(dǎo)學(xué)生思考探究，自主構(gòu)建知識(shí)體系，以下是筆者對(duì)于“矩形”相關(guān)內(nèi)容的思考與建議.

一、基于不穩(wěn)定性，構(gòu)建矩形概念

矩形是生活中常見(jiàn)的圖形，學(xué)生對(duì)于生活中的矩形有一定的了解，但對(duì)于矩形的概念以及形成過(guò)程較為陌生，尤其是矩形與平行四邊形之間的關(guān)系理解不到位.矩形的概念是后續(xù)性質(zhì)、判定知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，幫助學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)矩形概念有著重要的意義，在教學(xué)中可以設(shè)置情景問(wèn)題，在已學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上構(gòu)建概念.

圖1

矩形教學(xué)可以在平行四邊形基礎(chǔ)上通過(guò)不穩(wěn)定性的衍生來(lái)創(chuàng)設(shè)情景，教學(xué)中可以基于教材從動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)視角設(shè)計(jì)操作活動(dòng)：圖1是四根木棒搭建的平行四邊形，輕輕地用手推其中的一點(diǎn)D，可以發(fā)現(xiàn)哪些規(guī)律？讓學(xué)生拉伸平行四邊形，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注拉伸過(guò)程中角的變化，探究出現(xiàn)直角的情形，讓學(xué)生理解此時(shí)的圖形即為矩形.基于不穩(wěn)定性，重現(xiàn)矩形的形成，利用兩者的聯(lián)系使學(xué)生接觸矩形的概念.也可以利用學(xué)生生活中常接觸的實(shí)例——校園拉伸們，設(shè)置如下情景問(wèn)題：走進(jìn)校門(mén)大家注意到伸縮門(mén)了嗎？構(gòu)成伸縮門(mén)的基本圖形是什么？在門(mén)進(jìn)行伸縮的過(guò)程中，有哪些基本圖形？這是利用圖形的什么性質(zhì)完成伸縮的？一系列的問(wèn)題設(shè)置，學(xué)生可以初步理解平行四邊形的一個(gè)角為直角時(shí)將變?yōu)榫匦?，這樣創(chuàng)設(shè)概念形成過(guò)程，完美實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的過(guò)渡.

基于上述情景問(wèn)題，學(xué)生經(jīng)歷了概念的形成過(guò)程，進(jìn)一步的教學(xué)可以從概念聯(lián)系性出發(fā)，讓學(xué)生對(duì)比矩形與平行四邊形的概念，從而加深概念理解.可以設(shè)置探究操作：平行四邊形與矩形之間有一定的聯(lián)系，兩者在圖形大小、長(zhǎng)度、內(nèi)角上有哪些改變呢？小組討論填寫(xiě)表1（相等或不等）.

表1 平行四邊形與矩形聯(lián)系

初始活動(dòng)僅僅是對(duì)兩者聯(lián)系性的直觀認(rèn)識(shí)，通過(guò)圖表的填寫(xiě)則可以使學(xué)生從數(shù)學(xué)幾何角度充分認(rèn)識(shí)兩者之間的異同，另外可以利用圖2使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)兩者的關(guān)系，即矩形屬于平行四邊形，平行四邊形不都是矩形.而對(duì)于矩形概念講解的最終層次則是將其上升到數(shù)學(xué)的理論高度，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言將其表述出來(lái)，可以從數(shù)學(xué)因果關(guān)系證明來(lái)表達(dá)：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平性四邊形，∠A=90°，所以平行四邊形ABCD是矩形.同時(shí)也可以逆向命題，闡釋矩形的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述.

利用平行四邊形與矩形的聯(lián)系，在已有的知識(shí)基礎(chǔ)上進(jìn)行概念衍生，設(shè)置情景問(wèn)題，從一般到特殊，將語(yǔ)言表述上升到理論高度，這樣矩形概念的自主構(gòu)建過(guò)程，更有利于學(xué)生理解知識(shí)間的聯(lián)系性，也可以使學(xué)生感悟到知識(shí)背后的隱含內(nèi)容，如矩形的不穩(wěn)定性.

圖2

二、圖形衍生探究，學(xué)習(xí)矩形性質(zhì)

矩形的性質(zhì)是學(xué)習(xí)“矩形”章節(jié)的重要內(nèi)容，也是充分認(rèn)識(shí)、理解矩形的關(guān)鍵階段.之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形、平行四邊形等圖形的性質(zhì)，對(duì)于這些圖形性質(zhì)更為熟悉，新圖形的性質(zhì)探究則可以在這些基礎(chǔ)圖形上來(lái)衍生.

圖3

學(xué)生在學(xué)習(xí)平行四邊形時(shí)采用了動(dòng)態(tài)衍生的方式，即從一般幾何圖形（四邊形）出發(fā)，通過(guò)改變圖形的邊、角關(guān)系，讓圖形逐步衍生，從而實(shí)現(xiàn)圖形的教學(xué).在對(duì)矩形性質(zhì)的教學(xué)時(shí)，教學(xué)思路同樣可以基于衍生圖，通過(guò)知識(shí)鏈的銜接來(lái)完成.教學(xué)中矩形的衍生過(guò)程同樣從不規(guī)則的四邊形開(kāi)始，第一生長(zhǎng)節(jié)確立為平行四邊形，第二生長(zhǎng)節(jié)確立為矩形，第三生長(zhǎng)節(jié)為邊長(zhǎng)相等的平行四邊形，第四生長(zhǎng)節(jié)確立為特殊的矩形——正方形，衍生圖如圖3所示.教學(xué)中只需要引導(dǎo)學(xué)生思考每一個(gè)生長(zhǎng)點(diǎn)即可，以第一生長(zhǎng)點(diǎn)為例，兩組對(duì)邊分別平行且相等就實(shí)現(xiàn)了不規(guī)則四邊形向平行四邊形的過(guò)渡，學(xué)生對(duì)矩形的概念有了一定的理解，很容易就可以想到第二生長(zhǎng)點(diǎn)是存在一個(gè)內(nèi)角為90°，對(duì)于矩形性質(zhì)的探究只需要引導(dǎo)學(xué)生思考矩形是否同時(shí)具備兩個(gè)生長(zhǎng)點(diǎn)所代表的性質(zhì)，以及矩形是否具備平行四邊形的一些性質(zhì)，讓學(xué)生從邊長(zhǎng)、內(nèi)角、對(duì)角線、對(duì)稱性等角度來(lái)分析，然后對(duì)信息進(jìn)行匯總，如表2.

表2 平行四邊形和矩形的性質(zhì)

同樣可以利用三角形來(lái)衍生，并結(jié)合圖形衍生方式將其滲透到具體的課堂活動(dòng)中，參照平行四邊形旋轉(zhuǎn)，利用圖4所示的工具，設(shè)置如下活動(dòng)：首先將三角型工具變成直角三角形，然后繞任意一條邊的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，并在紙上勾畫(huà)出所得到的四邊形，觀察一下圖形所具有的一些特點(diǎn).由于圖形是由直角三角形旋轉(zhuǎn)來(lái)的，則需要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合直角三角形性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)來(lái)分析，合理地引導(dǎo)學(xué)生很容易就可以發(fā)現(xiàn)對(duì)角線將矩形分割為全等的兩個(gè)直角三角形，則矩形必然具備三角形全等所對(duì)應(yīng)的性質(zhì)，從而得出對(duì)邊相等，結(jié)合對(duì)應(yīng)角相等同樣可以獲得對(duì)邊平行.這樣充分利用了已學(xué)知識(shí)進(jìn)行的思維活動(dòng)，也是對(duì)學(xué)生已學(xué)知識(shí)強(qiáng)化，化知為用，是知識(shí)應(yīng)用性的體現(xiàn).

教材的前后知識(shí)內(nèi)容是一個(gè)緊密聯(lián)系、相對(duì)統(tǒng)一的整體，在學(xué)習(xí)方法上存在一致性，即在課堂探究過(guò)程中可以充分參照利用，而衍生的教學(xué)過(guò)程就是這樣的由已知探未知最好的方式，上述無(wú)論是從四邊形，還是從三角形衍生矩形的性質(zhì)，都是較為合理的教學(xué)方式，都是對(duì)學(xué)生思維過(guò)程的進(jìn)一步鍛煉，這種由已知進(jìn)行的衍生不僅是知識(shí)的生長(zhǎng)，還是思維的生長(zhǎng).

圖4

三、形成高階思維，發(fā)展數(shù)學(xué)思想

對(duì)于“矩形”的教學(xué)，矩形的概念、定義、判定是知識(shí)層面的重要內(nèi)容，而在課堂教學(xué)中教學(xué)的目標(biāo)不應(yīng)局限于教材知識(shí)本身，學(xué)生思維、思想的發(fā)展同等重要，課堂的教學(xué)也應(yīng)該偏重一些較高的思維層次，設(shè)計(jì)一些思維任務(wù)，滲透一定的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生思維的邏輯性.

例如，在學(xué)生掌握矩形概念后，可以先行組織學(xué)生系統(tǒng)歸納平行四邊形的特點(diǎn)，從邊、角、對(duì)稱、平分等方面進(jìn)行總結(jié)，然后類(lèi)比學(xué)習(xí)，讓學(xué)生思考矩形在這些方面又有哪些特點(diǎn)，可以得出怎樣的結(jié)論.又如，在定義、公式及規(guī)律探究過(guò)程中同樣可以設(shè)計(jì)思維任務(wù)，類(lèi)比平行四邊形，平行四邊形可以由三角形旋轉(zhuǎn)而來(lái)，也可以將平行四邊形沿對(duì)角線分割為兩個(gè)全等的一般三角形，讓學(xué)生思考，矩形是否具有上述的特點(diǎn)，是否可以沿對(duì)角線分割出全等三角性，有幾種分割方法，所獲得的三角形具有怎樣的特征？在這個(gè)過(guò)程中學(xué)生很可能發(fā)現(xiàn)矩形沿對(duì)角線分割有多種方法，獲得的全等三角形也各具特點(diǎn)，如等腰三角形、直角三角形，這樣的思維活動(dòng)為后續(xù)的性質(zhì)總結(jié)是十分有利的.

高階思維活動(dòng)的最后階段則是例題教學(xué)階段，在該階段可以分四個(gè)環(huán)節(jié)來(lái)開(kāi)展.首先讓學(xué)生獨(dú)立思考，擺脫解題依賴性，讓學(xué)生經(jīng)歷最原始的思維過(guò)程，即信息條件的整理；其次則是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)獲得的信息進(jìn)行思考，探尋解題思路，發(fā)展學(xué)生創(chuàng)造性思維.以教材例題為例：如圖5，已知矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，并且∠AOB=60°，AB=4，求矩形對(duì)角線的長(zhǎng)度.學(xué)生在自主思考過(guò)程可根據(jù)60°角結(jié)合對(duì)角線將矩形分割成小的等腰三角形得出△AOB是等邊三角形，進(jìn)而通過(guò)矩形對(duì)角線等長(zhǎng)、相互平分的性質(zhì)求解.也可作輔助線，從三角形全等的角度來(lái)分析.下一階段則是引導(dǎo)學(xué)生分析各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，并對(duì)例題變式，改變條件，同樣利用上述例題，將條件“∠AOB=60°”換為“∠DBC=30°”，讓學(xué)生進(jìn)一步探尋解題思路.最后則是思維的鍛煉環(huán)節(jié)，需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題的方法和方向進(jìn)行總結(jié)，將其上升到解題理論.

在對(duì)矩形判定定理的教學(xué)中同樣可以培養(yǎng)學(xué)生高層次的思維，如學(xué)生探究定理“有一個(gè)角是直角的平行四邊是矩形”時(shí)，可以讓學(xué)生思考：在判定一個(gè)平行四邊形是矩形時(shí)需要量幾個(gè)角？在判定一個(gè)四邊形是矩形時(shí)又需要量幾個(gè)角？是否可以說(shuō)有兩個(gè)角是直角的四邊形就是矩形？一連串的遞進(jìn)問(wèn)題可以引導(dǎo)學(xué)生思維向反例列舉的方向發(fā)展，進(jìn)而得到梯形這一特殊圖形，并拓展性地獲得任意四邊形是矩形的角度要求.上述從平行四邊形到一般四邊形的矩形判定，充分利用了特殊到一般的策略，同時(shí)對(duì)命題的真?zhèn)闻卸ㄑ苌鷣?lái)的反例列舉方法，也是對(duì)學(xué)生嚴(yán)密思考，嚴(yán)謹(jǐn)論證的思維鍛煉，無(wú)形中滲透的思想方法對(duì)于學(xué)生的思維是十分有利的.

四、結(jié)束語(yǔ)

圖5

“矩形”作為初中較為重要的知識(shí)內(nèi)容，在實(shí)際教學(xué)中要明確教學(xué)內(nèi)容，基于圖形不穩(wěn)定性，合理構(gòu)建矩形概念；把握知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)，開(kāi)展圖形衍生探究，學(xué)習(xí)矩形性質(zhì)；教學(xué)過(guò)程要注重學(xué)生高階思維的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，獨(dú)立思考，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思想為教學(xué)目標(biāo).

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