史料豐富的勾股定理該如何引入新課
——以勾股定理起始課為例

☉重慶市第七中學(xué)校 任 毅

勾股定理是教研活動(dòng)的熱點(diǎn)課題，也是一個(gè)難點(diǎn)課題.記得曾有專家說(shuō)過(guò)：“要看一個(gè)老師的基本功，就讓他上勾股定理.”筆者近期有機(jī)會(huì)參與一次教研活動(dòng)，聽(tīng)了一位有十年教齡的青年教師的勾股定理起始課，本文將整理該課的部分教學(xué)過(guò)程，并跟進(jìn)評(píng)課意見(jiàn)，供研討.

一、勾股定理起始課教學(xué)片段

片段1：開(kāi)課階段.

情景再現(xiàn)：古希臘學(xué)者、數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯，據(jù)傳他在一次朋友家做客吃飯時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家地磚中的圖形刻畫(huà)出了某種數(shù)學(xué)規(guī)律（顯示圖1）.

問(wèn)題1：觀察圖中的地面，正方形地磚被對(duì)角線分割成什么三角形？

學(xué)生活動(dòng)：觀察、聽(tīng)取老師講述的故事，從中發(fā)現(xiàn)圖片中每個(gè)正方形地磚被分割成四個(gè)等腰直角三角形.

圖1

問(wèn)題2：觀察以其三邊分別畫(huà)出的正方形，有什么性質(zhì)？

學(xué)生活動(dòng)：與同伴合作探討，發(fā)現(xiàn)以等腰直角三角形兩直角邊為邊長(zhǎng)的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積.

問(wèn)題3：還可以研究圖中的什么關(guān)系呢？

生1：可以研究正方形邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，因?yàn)檎叫蔚拿娣e公式與邊長(zhǎng)有關(guān).

師追問(wèn)：這三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)成的等腰直角三角形，它的三邊有什么關(guān)系？

生2：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

生3：直角邊平方的兩倍等于斜邊的平方.

師：從圖中我們發(fā)現(xiàn)，他們兩人的猜想好像都是正確的！我們重新表述一下，等腰直角三角形的三邊之間可能具有一種特殊的關(guān)系：斜邊的平方等于兩直角邊的平方和.

問(wèn)題4：這是由什么原因造成的呢？你這時(shí)會(huì)接著研究什么呢？

學(xué)生討論后，認(rèn)為可以進(jìn)一步研究任意直角三角形是否也有同樣的特點(diǎn).

教師顯示網(wǎng)格圖片，設(shè)定每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)均為1，（1）分別計(jì)算圖中正方形A、B、C的面積；（2）正方形A，B，C的面積之間有什么關(guān)系？（3）以上結(jié)論與直角三角形又有什么關(guān)系？與同伴交流.

學(xué)生：分小組討論，并踴躍發(fā)表自己的看法.

教師參與小組活動(dòng)，指導(dǎo)、傾聽(tīng)學(xué)生交流.針對(duì)不同認(rèn)識(shí)水平的學(xué)生，引導(dǎo)其用不同的方法（割補(bǔ)法）得出大正方形C的面積，并進(jìn)一步猜想直角三角形的三邊關(guān)系.

問(wèn)題5：仍然是兩個(gè)特例的驗(yàn)證，就此能說(shuō)明一般嗎？

生4：不能.因?yàn)榈谝粋€(gè)例子是通過(guò)研究特殊的等腰直角三角形得到的結(jié)論，第二個(gè)例子背景在網(wǎng)格中，三角形邊長(zhǎng)是整數(shù).

生5：我有補(bǔ)充說(shuō)明.我認(rèn)為第二個(gè)例子中三角形邊長(zhǎng)不一定是整數(shù)，因?yàn)橐粋€(gè)單位長(zhǎng)度可以代表任意實(shí)數(shù)，這個(gè)例子只能代表三邊比例固定的情形.

師：因此，這不是最一般的三角形，還需要我們繼續(xù)進(jìn)行研究.

……

片段2：教師組織學(xué)生拼圖并證明勾股定理.

師過(guò)渡：大家經(jīng)歷了勾股定理的發(fā)現(xiàn)歷程，思考一下：是不是所有的直角三角形都有這樣的特點(diǎn)呢？這就需要對(duì)一個(gè)一般的直角三角形進(jìn)行證明.下面請(qǐng)大家一起動(dòng)手體會(huì)一下，

拼圖活動(dòng)：小組合作，用準(zhǔn)備好的4個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)大的正方形（中間可以有空白）；你能拼出幾種不同的情形？

學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上以小組為單位，開(kāi)展拼接活動(dòng).教師參與小組拼圖活動(dòng)，關(guān)注學(xué)生能否進(jìn)行合理拼接，傾聽(tīng)學(xué)生的交流，對(duì)不同層次的學(xué)生給予幫助、指導(dǎo)學(xué)生完成拼圖活動(dòng).

對(duì)于率先拼接成功的小組進(jìn)行表?yè)P(yáng)，并安排他們小組派代表把拼接的結(jié)果展示到黑板上（如圖2、圖3）：

圖3

圖2

問(wèn)題1：利用圖2、圖3，可以研究圖形哪方面的性質(zhì)？生1：研究與面積有關(guān)的性質(zhì).

師：具體如何研究呢？

生2：以拼圖3為例，大正方形的面積有兩種算法：

問(wèn)題2：用文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言描述直角三角形三邊的關(guān)系.

生3：文字語(yǔ)言為：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

生4：符號(hào)語(yǔ)言為：在Rt△ABC中，∠C=90°，兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2.（勾股定理）

提示：實(shí)際上，（1）以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積等于某個(gè)大正方形的面積減去4個(gè)直角三角形的面積；（2）以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積等于4個(gè)直角三角形的面積加上某個(gè)小正方形的面積.

注意到三個(gè)正方形是分別“生長(zhǎng)”在直角三角形的三邊上，發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長(zhǎng)度之間存在聯(lián)系：設(shè)直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，可用三角形的三邊長(zhǎng)表示三個(gè)正方形的面積.于是猜想：如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2命題1，即勾股定理.

片段3：勾股定理證明之后，教師安排學(xué)生交流課前

搜集到的一些勾股定理的數(shù)學(xué)史話.

師：課前，學(xué)生已經(jīng)通過(guò)書(shū)本、網(wǎng)絡(luò)等渠道了解了一些勾股定理的歷史和文化，請(qǐng)他們來(lái)說(shuō)一說(shuō).

生1：公元前30世紀(jì)的古巴比倫的一塊泥石板，記錄了一些勾股數(shù)；公元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理，他的學(xué)派殺了一百只牛慶祝，勾股定理也叫作“百牛定理”.

師：國(guó)際上通行的將“勾股定理”稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”.這是什么原因呢？有同學(xué)了解到相關(guān)背景嗎？

生2：公元前11世紀(jì)，西周的商高提出“勾廣三，股修四，徑隅五”，是世界上有記載的最早的勾股出處，是我們值得自豪的榮耀一筆.

師：是的，但是，當(dāng)時(shí)商高并沒(méi)有提出勾股定理的證法，相當(dāng)于只提出了滿足勾股定理的一個(gè)特例.因此這正是被西方所詬病的地方.

生3：三國(guó)時(shí)期，趙爽在《周髀算經(jīng)》中給出了趙爽弦圖，作為勾股定理的注解和證明.

生4：公元前4世紀(jì)，歐幾里得在《幾何原本》中提出了一個(gè)很有代表性的歐幾里得證法.

師：這個(gè)證法非常經(jīng)典，除此之外，還有達(dá)芬奇證法等經(jīng)典證法，勾股定理的證明方法，迄今已經(jīng)有四百多種.同學(xué)們說(shuō)了古時(shí)候國(guó)內(nèi)外勾股定理的方方面面，再說(shuō)說(shuō)現(xiàn)代吧.

生5：2002年，在北京舉辦的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，趙爽弦圖作為大會(huì)的會(huì)徽.

師：這也充分說(shuō)明了勾股定理的地位，我國(guó)相當(dāng)于用趙爽弦圖來(lái)代表我國(guó)國(guó)家的數(shù)學(xué)形象.

二、評(píng)課意見(jiàn)

1.勾股定理關(guān)聯(lián)廣泛，數(shù)學(xué)史話豐富而復(fù)雜.

被尊稱“千古第一定理”的勾股定理因其關(guān)聯(lián)廣泛而聞名于世，不僅是在不同的古老文明都有相關(guān)的記載，本身證明方法也多達(dá)幾百種，而且與很多數(shù)學(xué)分支、著名難題（如費(fèi)馬大定理）都有密切聯(lián)系.所以在勾股定理的教學(xué)時(shí)，教師不是過(guò)多、無(wú)節(jié)制地引入相關(guān)的數(shù)學(xué)史話，而是要適可而止，不說(shuō)過(guò)頭的話（比如，打著民族自豪感的旗幟亂說(shuō)一些不知深淺的話），這些不當(dāng)?shù)难哉搨鬟f給學(xué)生的往往就是一時(shí)的“真理”，對(duì)端正學(xué)生的認(rèn)知不利.事實(shí)上，在BBC拍攝的《數(shù)學(xué)的故事》第一集就有關(guān)于勾股定理的一些考證介紹，感興趣的老師可關(guān)注，而不是從某些網(wǎng)站、網(wǎng)頁(yè)上摘引、夸大其辭.從上文課例中師生的一些對(duì)話中，我們看到這些不良傾向.

2.選擇怎樣的問(wèn)題引入和驅(qū)動(dòng)勾股定理教學(xué)值得商榷.

勾股定理的引入一直是教研的難點(diǎn)，好幾種版本的教材上都是選擇了畢達(dá)哥拉斯在友人家中坐客，由格子地磚得到靈感，發(fā)現(xiàn)了勾股定理及其證明.這可能是一種美妙的傳說(shuō)或故事，不可當(dāng)真.如前所述，勾股定理的數(shù)學(xué)史話豐富而復(fù)雜，在精選恰當(dāng)情境引入時(shí)，我們認(rèn)為，用上述傳說(shuō)或故事并不是最優(yōu)情境，一是因?yàn)樽屓烁杏X(jué)明顯作假，其二，沒(méi)有開(kāi)門見(jiàn)山揭示研究問(wèn)題或?qū)ο螅窍壤@到一個(gè)復(fù)雜的背景之下，發(fā)現(xiàn)其中一個(gè)局部的性質(zhì).我們認(rèn)為，基于目前初中平面幾何教學(xué)的順序，選擇一個(gè)直角三角形，并引導(dǎo)學(xué)生一起來(lái)研究直角三角形的相關(guān)性質(zhì)，梳理出研究它的角、邊、邊角之間的數(shù)量關(guān)系等研究方向之后，再有序介紹古人的研究成果與研究方法，也是值得借鑒的一種教學(xué)路徑.而且也符合章建躍博士倡導(dǎo)的向?qū)W生滲透面對(duì)一個(gè)新的幾何對(duì)象“研究套路”的意識(shí)：直角三角形從哪些元素來(lái)研究，角、邊、邊角之間的關(guān)系，等等.

3.課堂上難以發(fā)現(xiàn)勾股定理，但教師可幫助學(xué)生理解定理及證法.

由于勾股定理揭示的是直角三角形三邊之間的平方關(guān)系，常常被認(rèn)為智慧生命進(jìn)入較高文明層次后才能洞察，所以有人建議將勾股定理作為人類與外星智慧生物的溝通和對(duì)話的一種信號(hào)，這是有一定道理的.也正因?yàn)檫@個(gè)原因，要想在課堂上短短幾十分鐘創(chuàng)設(shè)情境來(lái)引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)勾股定理就比較困難，所以我們的想法“退一步”，由幾何研究特殊圖形的基本套路出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生思考幾個(gè)特殊直角三角形的三邊平方關(guān)系，然后走向一般，歸納出它們之間的平方關(guān)系，并介紹古人是如何利用趙爽弦圖進(jìn)行證明的，揭示趙爽弦圖之后，不急于給出證明，而讓學(xué)生在這個(gè)圖形的啟示之下演算證明，也可算是揭秘趙爽弦圖的奇妙之旅吧.

參考文獻(xiàn)：

1.蔡宗熹.千古第一定理——勾股定理［M］.北京：高等教育出版社，2013.

2.劉東升.基于HPM視角重構(gòu)“勾股定理”起始課教學(xué)［J］.教育研究與評(píng)論（課堂觀察版），2016（1）.

3.陳蓓蓓.例說(shuō)幾何定理教學(xué)的層次——由傅種孫先生數(shù)學(xué)教育思想說(shuō)起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（12）.