“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)”觀點(diǎn)下研究“最小覆蓋圓”問題的活動與思考

☉江蘇南京市雨花臺區(qū)教師發(fā)展中心 劉春書

一、問題的提出

許多數(shù)學(xué)教師都熱衷于數(shù)學(xué)課外拓展內(nèi)容的教學(xué)，但是，在實(shí)施中注重結(jié)果，而忽視經(jīng)驗(yàn).這是源于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)未得到初中數(shù)學(xué)課堂的廣泛接納，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的效能也就未得到很好地發(fā)揮.主要原因是：教師不知道數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的核心價(jià)值是活動經(jīng)驗(yàn)，而不是結(jié)果的呈現(xiàn).

為了檢驗(yàn)?zāi)撤N理論或假設(shè)是否具有預(yù)想效果而進(jìn)行的試驗(yàn)活動叫實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)要由操作、觀察、感受、體驗(yàn)得出結(jié)論.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有別于實(shí)驗(yàn)，它是基于思維通過動手操作，在操作中形成經(jīng)驗(yàn)，得出結(jié)論，再推理說明結(jié)論.最小覆蓋圓的實(shí)驗(yàn)課，教師注重引導(dǎo)，而忽視學(xué)生體驗(yàn)，進(jìn)行分類得出結(jié)論，注重了結(jié)果，而忽視了經(jīng)驗(yàn).只有凸顯學(xué)生的主體地位，通過操作實(shí)驗(yàn)與思維實(shí)驗(yàn)，收獲感性經(jīng)驗(yàn)與邏輯經(jīng)驗(yàn)，注重這些經(jīng)驗(yàn)的應(yīng)用，進(jìn)行研究，最小覆蓋圓的問題就會自然，思路清晰，從而享受數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)帶來的快樂，最終從最小覆蓋兩點(diǎn)到更多點(diǎn)，形成通性通法.

二、活動的設(shè)計(jì)

1.嘗試實(shí)驗(yàn)，形成經(jīng)驗(yàn).

概念有白描、歸納與概括三個過程，最小覆蓋圓的概念可以直接拋給學(xué)生，但效果欠佳，因?yàn)槿鄙贁?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，形成不了經(jīng)驗(yàn)，就會在后面研究最小覆蓋三點(diǎn)、四點(diǎn)或更多點(diǎn)的問題時缺少經(jīng)驗(yàn).

問題1：（1）請用直尺與圓規(guī)畫一個圓，將線段AB覆蓋；

（2）畫一個最小的圓，將線段AB覆蓋，并給這個圓取個名字；

（3）辨析：過線段兩端點(diǎn)的圓是線段最小的覆蓋圓.

設(shè)計(jì)意圖：依據(jù)圓的概念，作圓關(guān)鍵是定圓心，定半徑.如圖1，學(xué)生從能作覆蓋圓進(jìn)行比較，得到更小覆蓋圓，直至最小覆蓋圓，學(xué)生自己下概念.在這實(shí)驗(yàn)過程中有操作實(shí)驗(yàn)，也有思維實(shí)驗(yàn)，在概念的辨析環(huán)節(jié)，體驗(yàn)到圓心與半徑的確定是畫最小覆蓋圓的關(guān)鍵因素，進(jìn)一步體會線段最小覆蓋圓具有存在性和唯一性，這是感性經(jīng)驗(yàn)與邏輯經(jīng)驗(yàn)的結(jié)論.

2.進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，遷移經(jīng)驗(yàn).

三角形的外接圓是三角形的最小覆蓋圓，這一錯誤認(rèn)識是普遍現(xiàn)象，但是基于問題1的研究學(xué)生有一定數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，在此處有必要讓思維實(shí)驗(yàn)在前，操作實(shí)驗(yàn)在后，進(jìn)行數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)再積累.

問題2：（1）請用尺規(guī)畫任意三角形的最小覆蓋圓；

（2）結(jié)合構(gòu)圖過程與結(jié)果思考形成了哪些數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)？

設(shè)計(jì)意圖：本問題是開放性設(shè)計(jì)，主要讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)過程，最小覆蓋三點(diǎn)是在最小覆蓋兩點(diǎn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行再實(shí)驗(yàn)，最小覆蓋圓首先要覆蓋最長邊，此時第三點(diǎn)可能在圓內(nèi)、圓上、圓外.能覆蓋，如圖2.1與2.2，∠C≥90°；不能覆蓋，如圖2.3，∠C＜90°.其實(shí)這是所學(xué)圓周角的經(jīng)驗(yàn)遷移，直徑所對圓周角為直角，圓上點(diǎn)與圓內(nèi)點(diǎn)都能覆蓋，圓外點(diǎn)不能覆蓋.本環(huán)節(jié)不在乎結(jié)論的形成，而是注重積累從研究覆蓋兩點(diǎn)到研究覆蓋第三點(diǎn)的邏輯經(jīng)驗(yàn)，為覆蓋四邊形提供經(jīng)驗(yàn)準(zhǔn)備.三角形的最小覆蓋圓不是簡單對三角形分類研究再得出結(jié)果，而是基于覆蓋點(diǎn)從少到多的經(jīng)驗(yàn)想到分類.

圖2 .3

圖2 .1

圖2 .2

圖1

基本經(jīng)驗(yàn)1：距離最長兩點(diǎn)的最小覆蓋圓能覆蓋第三點(diǎn)，則此圓為三角形的最小覆蓋圓；距離最長兩點(diǎn)的最小覆蓋圓不能覆蓋第三點(diǎn)，三角形的外接圓就是最小覆蓋圓.

問題3：（1）如圖3.1，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，請問∠A與∠C的關(guān)系；如果改變點(diǎn)C的位置，請問∠A與∠C有怎樣的關(guān)系.B

圖3.1

圖3.2

圖3.4

圖3 .3

（2）如圖3.2，∠A＋∠C＞180°，△ABD的外接圓必覆蓋點(diǎn)C嗎？△BCD的外接圓必覆蓋點(diǎn)A嗎？為什么？你能得到什么結(jié)論？

設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生直接經(jīng)驗(yàn)圓內(nèi)接四邊性質(zhì)入手，生成新的活動經(jīng)驗(yàn).如果將點(diǎn)C移到圓內(nèi)，如圖3.2，∠A+∠C＞180°，則∠B+∠D=360°－（∠A+∠C）＜180°；如圖3.3，如果將點(diǎn)C移到圓外，∠A+∠C＜180°，但∠B+∠D=360°－（∠A+∠C）＞180°，其實(shí)就是A、B、D三點(diǎn)的外接圓不能覆蓋第四點(diǎn).問題（2）利用尺規(guī)或幾何畫板進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作，如圖3.4，△ABD與△BCD的外接圓都能覆蓋第四點(diǎn)，基于動手操作對兩個問題的解決得到經(jīng)驗(yàn)2.

基本經(jīng)驗(yàn)2：四邊形一組對角之和等于180°，四邊形的外接圓就是最小覆蓋圓；一對對角和大于180°，另一組對角和就一定小于180°，對角和小于180°的兩個角的頂點(diǎn)與第三個角的頂點(diǎn)的外接圓必覆蓋第四點(diǎn)，同時對角和大于180°的兩個角的頂點(diǎn)與第三個角的頂點(diǎn)的外接圓不能覆蓋第四點(diǎn).

3.推進(jìn)實(shí)驗(yàn)，積累經(jīng)驗(yàn).

四邊形的最小覆蓋圓基于三角形最小覆蓋圓的經(jīng)驗(yàn)遷移，而不是在零起點(diǎn)再做實(shí)驗(yàn)，如果零起點(diǎn)再做實(shí)驗(yàn)，那么更多邊形的最小覆蓋圓如何解決呢？因此解決四邊形覆蓋圓的時候一定讓學(xué)生回憶三角形最小覆蓋圓實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn).

問題4：（1）請用尺規(guī)畫任意四邊形的最小覆蓋圓；

（2）結(jié)合實(shí)驗(yàn)過程與結(jié)果，總結(jié)形成了哪些數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)與結(jié)論？

設(shè)計(jì)意圖：由基本經(jīng)驗(yàn)1思考：最長兩點(diǎn)的連線段的最小覆蓋圓能否覆蓋另兩點(diǎn)？有兩種可能結(jié)果：能與不能.

（1）能覆蓋另兩點(diǎn).

距離最長兩點(diǎn)的連線段可能是對角線，也有可能是一條邊，如圖4，若對角線最長，另一組對角為鈍角與鈍角、鈍角與直角、直角與直角，即∠B≥90°，∠D≥90°時，以AC為直徑的圓必覆蓋另兩點(diǎn)B、D.

圖4

如圖5，若四邊形的一邊最長，連接AD、BC，∠ABC≥90°，∠ADC≥90°時，將∠ADC沿最長邊AC翻折，便可化歸對角線最長的情況，統(tǒng)一這兩種情況得到基本結(jié)論1.

圖5

基本結(jié)論1：距離最長兩點(diǎn)的連線段的兩端點(diǎn)與另外兩點(diǎn)連線的夾角是鈍角或直角，那么此四邊形的最小覆蓋圓就是以距離最長兩點(diǎn)連線段為直徑的圓.

（2）不能覆蓋另兩點(diǎn).

若最長兩點(diǎn)的連線段的最小覆蓋圓不能覆蓋另兩點(diǎn)，有必要思考：覆蓋三點(diǎn)的最小覆蓋圓能否覆蓋第四點(diǎn)？四邊形任取三個頂點(diǎn)構(gòu)成三角形，作三角形的外接圓，有四個，能否覆蓋第四點(diǎn)？學(xué)生進(jìn)行操作實(shí)驗(yàn)，首先給出肯定，由基本經(jīng)驗(yàn)2可知：任意凸四邊形必有一組對角和大于或等于180°，另一組對角和小于或等于180°，從特殊到一般進(jìn)行思考：若對角和等于180°，這個四邊形四點(diǎn)共圓，最小覆蓋圓就是四邊形的外接圓，其實(shí)就是任意三點(diǎn)構(gòu)成的三角形的外接圓；一對對角和大于180°，另一組對角和就一定小于180°，如圖6.1，四邊形ABCD中，∠BAD+∠BCD＞180°，則∠ABC+∠ADC＜180°，過任意三點(diǎn)所對應(yīng)三角形的外接圓必覆蓋第四點(diǎn)嗎？連接AC，得△ABC與△ACD，由基本經(jīng)驗(yàn)2得這兩個三角形的外接圓不能覆蓋第四點(diǎn)，如圖6.2，連接BD，構(gòu)造鈍角△ABD的外接圓與銳角△BCD的外接圓，由基本經(jīng)驗(yàn)2得這兩個三角形的外接圓都能覆蓋第四點(diǎn)，同時得到△BCD的外接圓為⊙O1，△ABD的外接圓為⊙O2，由外心定義發(fā)現(xiàn)兩個圓的圓心O1、O2在BD的垂直平分線上，同時O1B＜O2B，合情推理得到⊙O1比⊙O2小，因此四邊形的最小覆蓋圓是⊙O1.

4.深入實(shí)驗(yàn)，運(yùn)用經(jīng)驗(yàn).

問題5：已知，如圖7，四邊形ABCD中，∠A+∠C＞180°，∠A＞90°＞∠C.

圖6.1

圖6.2

求證：△BCD的外接圓為覆蓋四邊形ABCD的最小覆蓋圓.

設(shè)計(jì)意圖：交代∠A+∠C＞180°為何還要追加條件∠A＞90°＞∠C？因?yàn)椤螦+∠C＞180°，可能情況有（1）∠A＞90°，∠C≥90°；∠A≥90°，∠C＞90°，這一情況可以利用基本結(jié)論1解決；（2）∠A＞90°，∠C＜90°或∠C＞90°，∠A＜90°，這兩種情況其實(shí)是一種情況，此時∠B+∠D＜180°.要證△BCD的外接圓覆蓋四邊形，同時要證△BCD的外接圓是最小覆蓋圓.

證明：如圖8.1，假設(shè)點(diǎn)A在△BCD的外接圓的外部，在弧上取一點(diǎn)E，連接BE，并且延長BE交AD于點(diǎn)F.

∠BFD是△ABF的外角，所以∠BFD＞∠A.同理，∠BED＞∠BFD，所以∠BED＞∠A.

因?yàn)樗倪呅蜝CDE是△BCD的外接圓的內(nèi)接四邊形，所以∠BED+∠C＝180°，所以∠A+∠C＜180°.

又因?yàn)闂l件∠A+∠C＞180°，兩者相矛盾，

所以假設(shè)不存在，所以點(diǎn)A在△BCD的外接圓的內(nèi)部.

圖7

圖8.1

圖8.3

圖8.2

如圖8.2，在△BCD的外接圓O1中，連接BD、BO1，并延長BO1交弧CD于點(diǎn)E，連接DE，∠E＝∠C.

因?yàn)锽E為直徑，所以∠BDE＝90°.

如圖8.3，在△ABD的外接圓O2中連接BD、BO2，并延長BO2交弧CD于點(diǎn)F，連接DF，∠F＝180°－∠A.

因?yàn)锽F為直徑，所以∠BDF＝90°.

因?yàn)椤螦+∠C＞180°，所以∠C＞180°－∠A.

又因?yàn)?0°＞∠C，所以90°＞∠C＞180°－∠A，所以sin∠C＞sin（180°－∠A）.

所以BE＜BF，所以圓O1是四邊形ABCD的較小覆蓋圓.

假設(shè)存在一個比圓O1還小的圓O3覆蓋四邊形ABCD，O3就覆蓋銳角△BCD.

因?yàn)殇J角△BCD的最小覆蓋圓為圓O1，相矛盾，所以假設(shè)不存在.所以圓O1是四邊形ABCD的最小覆蓋圓.

基本結(jié)論2：

（1）四邊形的對角互補(bǔ)，則最小覆蓋圓就是任意三點(diǎn)的外接圓；

（2）四邊形的一對對角不互補(bǔ)，以相對兩角之和小于180°的兩頂點(diǎn)與另一對對角中較小角的頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形的外接圓就是四邊形的最小覆蓋圓.

基于基本結(jié)論1、2，四邊形的最小覆蓋圓小結(jié)如下：四邊形的最小覆蓋圓，首先考慮距離最遠(yuǎn)兩點(diǎn)的最小覆蓋圓能否覆蓋另兩點(diǎn)，用基本結(jié)論1；若不滿足基本結(jié)論1，考慮覆蓋三點(diǎn)的最小覆蓋圓能否覆蓋第四點(diǎn)，就利用基本結(jié)論2.

5.無形實(shí)驗(yàn)，升華經(jīng)驗(yàn).

老子說：“道生一，一生二，二生三，三生萬物”.這就要求我們基于實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)，積極思維，掌握規(guī)律，才能“三生萬物”.研究了四邊形的最小覆蓋圓，必然會考慮如何研究五邊形的最小覆蓋圓及其基本事實(shí).首先肯定此時不是操作實(shí)驗(yàn)就能先行解決問題的，而是基于思維實(shí)驗(yàn)先行，所以實(shí)驗(yàn)無形，經(jīng)驗(yàn)有影.從覆蓋三點(diǎn)的最小覆蓋圓和覆蓋四點(diǎn)的最小覆蓋圓的邏輯經(jīng)驗(yàn)遷移，得五邊形的最小覆蓋圓也許存在困難，但是這種研究問題的經(jīng)驗(yàn)值得再遷移.具體經(jīng)驗(yàn)有如下兩點(diǎn).（1）從覆蓋點(diǎn)的個數(shù)增多研究最小覆蓋圓.先考慮過距離最遠(yuǎn)兩點(diǎn)的最小覆蓋圓能否覆蓋其余三點(diǎn)，能就是最小覆蓋圓.同樣是連接距離最遠(yuǎn)兩點(diǎn)與各點(diǎn)的夾角，滿足夾角為鈍角或直角時，此最長線段的最小覆蓋圓就是五邊形的最小覆蓋圓.覆蓋三點(diǎn)的最小覆蓋圓，能否覆蓋另兩點(diǎn)，此三點(diǎn)構(gòu)成的三角形為銳角三角形，另兩點(diǎn)與相鄰兩點(diǎn)的連線夾角為鈍角，并且滿足此角與銳角三角形的另一點(diǎn)的角之和大于或等于180°.（2）從圓內(nèi)接四邊形經(jīng)驗(yàn)到研究圓內(nèi)接五邊形的經(jīng)驗(yàn).再考慮覆蓋四點(diǎn)的最小覆蓋圓能否覆蓋第五點(diǎn)，如果行，應(yīng)該滿足怎樣的條件，若不行再繼續(xù)研究.

三、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要厘清關(guān)系

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不同于物理與化學(xué)實(shí)驗(yàn)，需要操作，更需要理性思考，因此，應(yīng)處理好操作實(shí)驗(yàn)與思維實(shí)驗(yàn)的關(guān)系；數(shù)學(xué)是一門發(fā)展思維的學(xué)科，思維有歸納與推理，一個完整的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)先經(jīng)歷歸納，再進(jìn)行推理，因此有必要處理好歸納與推理的關(guān)系；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在積累經(jīng)驗(yàn)的過程中歸納出結(jié)論，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)絕不是為了結(jié)論而實(shí)驗(yàn)，因此有必要處理好經(jīng)驗(yàn)與結(jié)論的關(guān)系.

1.處理好操作實(shí)驗(yàn)與思維實(shí)驗(yàn)的關(guān)系.

設(shè)置數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的目的是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生、形成、展開和應(yīng)用的過程，在操作和探究中感受數(shù)學(xué)、體驗(yàn)數(shù)學(xué)和理解數(shù)學(xué)，發(fā)展解決問題的策略.但是有的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，常常是為了“實(shí)驗(yàn)”而讓學(xué)生動手操作，缺少適宜的數(shù)學(xué)思維成分，因此有必要處理好操作實(shí)驗(yàn)與思維實(shí)驗(yàn)的關(guān)系.通過本案例發(fā)現(xiàn)：首先，很多時候需要操作實(shí)驗(yàn)先行，從而發(fā)現(xiàn)、理解數(shù)學(xué)內(nèi)涵與本質(zhì)，當(dāng)然本質(zhì)結(jié)論的形成需要一個反復(fù)的過程，不是一蹴而就的，在操作實(shí)驗(yàn)的過程中必須有邏輯經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行指引，否則就是盲人摸象毫無方向.其次，當(dāng)積累了一定的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)（包括操作經(jīng)驗(yàn)或是邏輯經(jīng)驗(yàn)）時，有必要思考一下能否改變實(shí)驗(yàn)的方式，就是先邏輯實(shí)驗(yàn)，推理歸納一些數(shù)學(xué)結(jié)論，再進(jìn)行操作經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證.最后，要邏輯經(jīng)驗(yàn)或操作經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行整合，形成合力，即邊操作邊推理，邊推理邊操作.

2.處理好歸納思維與演繹推理的關(guān)系.

任何數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)論都需要嚴(yán)密的推理證明.因此，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程中其終極目標(biāo)就是推理證明其合理性，無論實(shí)驗(yàn)的結(jié)果如何直觀，要想利用其解決問題必須證明其完畢性.本課例對實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)論進(jìn)行了嚴(yán)密的證明，使得在使用結(jié)論解決問題的過程中有理有據(jù).數(shù)學(xué)是發(fā)展思維能力的一門學(xué)科，主要是歸納與推理的能力，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)首先是一個經(jīng)歷操作與邏輯實(shí)驗(yàn)的歸納過程，作為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的落腳點(diǎn)還需要進(jìn)行必要的推理證明過程.

3.處理好活動經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)結(jié)論的關(guān)系.

“術(shù)”是“明道”后轉(zhuǎn)化而來的具體操作方法，數(shù)學(xué)教學(xué)中“優(yōu)術(shù)”是指歸納總結(jié)探究過程中的經(jīng)驗(yàn)，優(yōu)化解決問題的思維，掌握一定的思維技巧，以提高思維效果和效率.2011版新課標(biāo)提出注重過程，處理好過程與結(jié)果的關(guān)系，在許多數(shù)學(xué)課中老師注重結(jié)果，概念、法則、性質(zhì)、判定的探索過程被淡化，忽視了活動經(jīng)驗(yàn)的積累，看似解題能力大漲，其實(shí)數(shù)學(xué)的思維能力欠缺.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)恰恰注重過程，在過程中積累經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷操作與思維的實(shí)驗(yàn)過程歸納得出結(jié)論，并進(jìn)行推理證明.得出結(jié)果僅僅是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的一個維度的收獲，最為重要的是掌握研究這一類問題的經(jīng)驗(yàn)與方法，以便以后解決類似的問題.

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