☉江蘇南京市雨花臺(tái)區(qū)教師發(fā)展中心 劉春書
許多數(shù)學(xué)教師都熱衷于數(shù)學(xué)課外拓展內(nèi)容的教學(xué),但是,在實(shí)施中注重結(jié)果,而忽視經(jīng)驗(yàn).這是源于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)未得到初中數(shù)學(xué)課堂的廣泛接納,數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的效能也就未得到很好地發(fā)揮.主要原因是:教師不知道數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的核心價(jià)值是活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),而不是結(jié)果的呈現(xiàn).
為了檢驗(yàn)?zāi)撤N理論或假設(shè)是否具有預(yù)想效果而進(jìn)行的試驗(yàn)活動(dòng)叫實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)要由操作、觀察、感受、體驗(yàn)得出結(jié)論.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有別于實(shí)驗(yàn),它是基于思維通過動(dòng)手操作,在操作中形成經(jīng)驗(yàn),得出結(jié)論,再推理說明結(jié)論.最小覆蓋圓的實(shí)驗(yàn)課,教師注重引導(dǎo),而忽視學(xué)生體驗(yàn),進(jìn)行分類得出結(jié)論,注重了結(jié)果,而忽視了經(jīng)驗(yàn).只有凸顯學(xué)生的主體地位,通過操作實(shí)驗(yàn)與思維實(shí)驗(yàn),收獲感性經(jīng)驗(yàn)與邏輯經(jīng)驗(yàn),注重這些經(jīng)驗(yàn)的應(yīng)用,進(jìn)行研究,最小覆蓋圓的問題就會(huì)自然,思路清晰,從而享受數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)帶來的快樂,最終從最小覆蓋兩點(diǎn)到更多點(diǎn),形成通性通法.
概念有白描、歸納與概括三個(gè)過程,最小覆蓋圓的概念可以直接拋給學(xué)生,但效果欠佳,因?yàn)槿鄙贁?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),形成不了經(jīng)驗(yàn),就會(huì)在后面研究最小覆蓋三點(diǎn)、四點(diǎn)或更多點(diǎn)的問題時(shí)缺少經(jīng)驗(yàn).
問題1:(1)請(qǐng)用直尺與圓規(guī)畫一個(gè)圓,將線段AB覆蓋;
(2)畫一個(gè)最小的圓,將線段AB覆蓋,并給這個(gè)圓取個(gè)名字;
(3)辨析:過線段兩端點(diǎn)的圓是線段最小的覆蓋圓.
設(shè)計(jì)意圖:依據(jù)圓的概念,作圓關(guān)鍵是定圓心,定半徑.如圖1,學(xué)生從能作覆蓋圓進(jìn)行比較,得到更小覆蓋圓,直至最小覆蓋圓,學(xué)生自己下概念.在這實(shí)驗(yàn)過程中有操作實(shí)驗(yàn),也有思維實(shí)驗(yàn),在概念的辨析環(huán)節(jié),體驗(yàn)到圓心與半徑的確定是畫最小覆蓋圓的關(guān)鍵因素,進(jìn)一步體會(huì)線段最小覆蓋圓具有存在性和唯一性,這是感性經(jīng)驗(yàn)與邏輯經(jīng)驗(yàn)的結(jié)論.
三角形的外接圓是三角形的最小覆蓋圓,這一錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)是普遍現(xiàn)象,但是基于問題1的研究學(xué)生有一定數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),在此處有必要讓思維實(shí)驗(yàn)在前,操作實(shí)驗(yàn)在后,進(jìn)行數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)再積累.
問題2:(1)請(qǐng)用尺規(guī)畫任意三角形的最小覆蓋圓;
(2)結(jié)合構(gòu)圖過程與結(jié)果思考形成了哪些數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)?
設(shè)計(jì)意圖:本問題是開放性設(shè)計(jì),主要讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)過程,最小覆蓋三點(diǎn)是在最小覆蓋兩點(diǎn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行再實(shí)驗(yàn),最小覆蓋圓首先要覆蓋最長邊,此時(shí)第三點(diǎn)可能在圓內(nèi)、圓上、圓外.能覆蓋,如圖2.1與2.2,∠C≥90°;不能覆蓋,如圖2.3,∠C<90°.其實(shí)這是所學(xué)圓周角的經(jīng)驗(yàn)遷移,直徑所對(duì)圓周角為直角,圓上點(diǎn)與圓內(nèi)點(diǎn)都能覆蓋,圓外點(diǎn)不能覆蓋.本環(huán)節(jié)不在乎結(jié)論的形成,而是注重積累從研究覆蓋兩點(diǎn)到研究覆蓋第三點(diǎn)的邏輯經(jīng)驗(yàn),為覆蓋四邊形提供經(jīng)驗(yàn)準(zhǔn)備.三角形的最小覆蓋圓不是簡單對(duì)三角形分類研究再得出結(jié)果,而是基于覆蓋點(diǎn)從少到多的經(jīng)驗(yàn)想到分類.
圖2 .3
圖2 .1
圖2 .2
圖1
基本經(jīng)驗(yàn)1:距離最長兩點(diǎn)的最小覆蓋圓能覆蓋第三點(diǎn),則此圓為三角形的最小覆蓋圓;距離最長兩點(diǎn)的最小覆蓋圓不能覆蓋第三點(diǎn),三角形的外接圓就是最小覆蓋圓.
問題3:(1)如圖3.1,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,請(qǐng)問∠A與∠C的關(guān)系;如果改變點(diǎn)C的位置,請(qǐng)問∠A與∠C有怎樣的關(guān)系.B
圖3.1
圖3.2
圖3.4
圖3 .3
(2)如圖3.2,∠A+∠C>180°,△ABD的外接圓必覆蓋點(diǎn)C嗎?△BCD的外接圓必覆蓋點(diǎn)A嗎?為什么?你能得到什么結(jié)論?
設(shè)計(jì)意圖:從學(xué)生直接經(jīng)驗(yàn)圓內(nèi)接四邊性質(zhì)入手,生成新的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).如果將點(diǎn)C移到圓內(nèi),如圖3.2,∠A+∠C>180°,則∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)<180°;如圖3.3,如果將點(diǎn)C移到圓外,∠A+∠C<180°,但∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)>180°,其實(shí)就是A、B、D三點(diǎn)的外接圓不能覆蓋第四點(diǎn).問題(2)利用尺規(guī)或幾何畫板進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作,如圖3.4,△ABD與△BCD的外接圓都能覆蓋第四點(diǎn),基于動(dòng)手操作對(duì)兩個(gè)問題的解決得到經(jīng)驗(yàn)2.
基本經(jīng)驗(yàn)2:四邊形一組對(duì)角之和等于180°,四邊形的外接圓就是最小覆蓋圓;一對(duì)對(duì)角和大于180°,另一組對(duì)角和就一定小于180°,對(duì)角和小于180°的兩個(gè)角的頂點(diǎn)與第三個(gè)角的頂點(diǎn)的外接圓必覆蓋第四點(diǎn),同時(shí)對(duì)角和大于180°的兩個(gè)角的頂點(diǎn)與第三個(gè)角的頂點(diǎn)的外接圓不能覆蓋第四點(diǎn).
四邊形的最小覆蓋圓基于三角形最小覆蓋圓的經(jīng)驗(yàn)遷移,而不是在零起點(diǎn)再做實(shí)驗(yàn),如果零起點(diǎn)再做實(shí)驗(yàn),那么更多邊形的最小覆蓋圓如何解決呢?因此解決四邊形覆蓋圓的時(shí)候一定讓學(xué)生回憶三角形最小覆蓋圓實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn).
問題4:(1)請(qǐng)用尺規(guī)畫任意四邊形的最小覆蓋圓;
(2)結(jié)合實(shí)驗(yàn)過程與結(jié)果,總結(jié)形成了哪些數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)與結(jié)論?
設(shè)計(jì)意圖:由基本經(jīng)驗(yàn)1思考:最長兩點(diǎn)的連線段的最小覆蓋圓能否覆蓋另兩點(diǎn)?有兩種可能結(jié)果:能與不能.
(1)能覆蓋另兩點(diǎn).
距離最長兩點(diǎn)的連線段可能是對(duì)角線,也有可能是一條邊,如圖4,若對(duì)角線最長,另一組對(duì)角為鈍角與鈍角、鈍角與直角、直角與直角,即∠B≥90°,∠D≥90°時(shí),以AC為直徑的圓必覆蓋另兩點(diǎn)B、D.
圖4
如圖5,若四邊形的一邊最長,連接AD、BC,∠ABC≥90°,∠ADC≥90°時(shí),將∠ADC沿最長邊AC翻折,便可化歸對(duì)角線最長的情況,統(tǒng)一這兩種情況得到基本結(jié)論1.
圖5
基本結(jié)論1:距離最長兩點(diǎn)的連線段的兩端點(diǎn)與另外兩點(diǎn)連線的夾角是鈍角或直角,那么此四邊形的最小覆蓋圓就是以距離最長兩點(diǎn)連線段為直徑的圓.
(2)不能覆蓋另兩點(diǎn).
若最長兩點(diǎn)的連線段的最小覆蓋圓不能覆蓋另兩點(diǎn),有必要思考:覆蓋三點(diǎn)的最小覆蓋圓能否覆蓋第四點(diǎn)?四邊形任取三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成三角形,作三角形的外接圓,有四個(gè),能否覆蓋第四點(diǎn)?學(xué)生進(jìn)行操作實(shí)驗(yàn),首先給出肯定,由基本經(jīng)驗(yàn)2可知:任意凸四邊形必有一組對(duì)角和大于或等于180°,另一組對(duì)角和小于或等于180°,從特殊到一般進(jìn)行思考:若對(duì)角和等于180°,這個(gè)四邊形四點(diǎn)共圓,最小覆蓋圓就是四邊形的外接圓,其實(shí)就是任意三點(diǎn)構(gòu)成的三角形的外接圓;一對(duì)對(duì)角和大于180°,另一組對(duì)角和就一定小于180°,如圖6.1,四邊形ABCD中,∠BAD+∠BCD>180°,則∠ABC+∠ADC<180°,過任意三點(diǎn)所對(duì)應(yīng)三角形的外接圓必覆蓋第四點(diǎn)嗎?連接AC,得△ABC與△ACD,由基本經(jīng)驗(yàn)2得這兩個(gè)三角形的外接圓不能覆蓋第四點(diǎn),如圖6.2,連接BD,構(gòu)造鈍角△ABD的外接圓與銳角△BCD的外接圓,由基本經(jīng)驗(yàn)2得這兩個(gè)三角形的外接圓都能覆蓋第四點(diǎn),同時(shí)得到△BCD的外接圓為⊙O1,△ABD的外接圓為⊙O2,由外心定義發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圓的圓心O1、O2在BD的垂直平分線上,同時(shí)O1B<O2B,合情推理得到⊙O1比⊙O2小,因此四邊形的最小覆蓋圓是⊙O1.
問題5:已知,如圖7,四邊形ABCD中,∠A+∠C>180°,∠A>90°>∠C.
圖6.1
圖6.2
求證:△BCD的外接圓為覆蓋四邊形ABCD的最小覆蓋圓.
設(shè)計(jì)意圖:交代∠A+∠C>180°為何還要追加條件∠A>90°>∠C?因?yàn)椤螦+∠C>180°,可能情況有(1)∠A>90°,∠C≥90°;∠A≥90°,∠C>90°,這一情況可以利用基本結(jié)論1解決;(2)∠A>90°,∠C<90°或∠C>90°,∠A<90°,這兩種情況其實(shí)是一種情況,此時(shí)∠B+∠D<180°.要證△BCD的外接圓覆蓋四邊形,同時(shí)要證△BCD的外接圓是最小覆蓋圓.
證明:如圖8.1,假設(shè)點(diǎn)A在△BCD的外接圓的外部,在弧上取一點(diǎn)E,連接BE,并且延長BE交AD于點(diǎn)F.
∠BFD是△ABF的外角,所以∠BFD>∠A.同理,∠BED>∠BFD,所以∠BED>∠A.
因?yàn)樗倪呅蜝CDE是△BCD的外接圓的內(nèi)接四邊形,所以∠BED+∠C=180°,所以∠A+∠C<180°.
又因?yàn)闂l件∠A+∠C>180°,兩者相矛盾,
所以假設(shè)不存在,所以點(diǎn)A在△BCD的外接圓的內(nèi)部.
圖7
圖8.1
圖8.3
圖8.2
如圖8.2,在△BCD的外接圓O1中,連接BD、BO1,并延長BO1交弧CD于點(diǎn)E,連接DE,∠E=∠C.
因?yàn)锽E為直徑,所以∠BDE=90°.
如圖8.3,在△ABD的外接圓O2中連接BD、BO2,并延長BO2交弧CD于點(diǎn)F,連接DF,∠F=180°-∠A.
因?yàn)锽F為直徑,所以∠BDF=90°.
因?yàn)椤螦+∠C>180°,所以∠C>180°-∠A.
又因?yàn)?0°>∠C,所以90°>∠C>180°-∠A,所以sin∠C>sin(180°-∠A).
所以BE<BF,所以圓O1是四邊形ABCD的較小覆蓋圓.
假設(shè)存在一個(gè)比圓O1還小的圓O3覆蓋四邊形ABCD,O3就覆蓋銳角△BCD.
因?yàn)殇J角△BCD的最小覆蓋圓為圓O1,相矛盾,所以假設(shè)不存在.所以圓O1是四邊形ABCD的最小覆蓋圓.
基本結(jié)論2:
(1)四邊形的對(duì)角互補(bǔ),則最小覆蓋圓就是任意三點(diǎn)的外接圓;
(2)四邊形的一對(duì)對(duì)角不互補(bǔ),以相對(duì)兩角之和小于180°的兩頂點(diǎn)與另一對(duì)對(duì)角中較小角的頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形的外接圓就是四邊形的最小覆蓋圓.
基于基本結(jié)論1、2,四邊形的最小覆蓋圓小結(jié)如下:四邊形的最小覆蓋圓,首先考慮距離最遠(yuǎn)兩點(diǎn)的最小覆蓋圓能否覆蓋另兩點(diǎn),用基本結(jié)論1;若不滿足基本結(jié)論1,考慮覆蓋三點(diǎn)的最小覆蓋圓能否覆蓋第四點(diǎn),就利用基本結(jié)論2.
老子說:“道生一,一生二,二生三,三生萬物”.這就要求我們基于實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn),積極思維,掌握規(guī)律,才能“三生萬物”.研究了四邊形的最小覆蓋圓,必然會(huì)考慮如何研究五邊形的最小覆蓋圓及其基本事實(shí).首先肯定此時(shí)不是操作實(shí)驗(yàn)就能先行解決問題的,而是基于思維實(shí)驗(yàn)先行,所以實(shí)驗(yàn)無形,經(jīng)驗(yàn)有影.從覆蓋三點(diǎn)的最小覆蓋圓和覆蓋四點(diǎn)的最小覆蓋圓的邏輯經(jīng)驗(yàn)遷移,得五邊形的最小覆蓋圓也許存在困難,但是這種研究問題的經(jīng)驗(yàn)值得再遷移.具體經(jīng)驗(yàn)有如下兩點(diǎn).(1)從覆蓋點(diǎn)的個(gè)數(shù)增多研究最小覆蓋圓.先考慮過距離最遠(yuǎn)兩點(diǎn)的最小覆蓋圓能否覆蓋其余三點(diǎn),能就是最小覆蓋圓.同樣是連接距離最遠(yuǎn)兩點(diǎn)與各點(diǎn)的夾角,滿足夾角為鈍角或直角時(shí),此最長線段的最小覆蓋圓就是五邊形的最小覆蓋圓.覆蓋三點(diǎn)的最小覆蓋圓,能否覆蓋另兩點(diǎn),此三點(diǎn)構(gòu)成的三角形為銳角三角形,另兩點(diǎn)與相鄰兩點(diǎn)的連線夾角為鈍角,并且滿足此角與銳角三角形的另一點(diǎn)的角之和大于或等于180°.(2)從圓內(nèi)接四邊形經(jīng)驗(yàn)到研究圓內(nèi)接五邊形的經(jīng)驗(yàn).再考慮覆蓋四點(diǎn)的最小覆蓋圓能否覆蓋第五點(diǎn),如果行,應(yīng)該滿足怎樣的條件,若不行再繼續(xù)研究.
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不同于物理與化學(xué)實(shí)驗(yàn),需要操作,更需要理性思考,因此,應(yīng)處理好操作實(shí)驗(yàn)與思維實(shí)驗(yàn)的關(guān)系;數(shù)學(xué)是一門發(fā)展思維的學(xué)科,思維有歸納與推理,一個(gè)完整的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)先經(jīng)歷歸納,再進(jìn)行推理,因此有必要處理好歸納與推理的關(guān)系;數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在積累經(jīng)驗(yàn)的過程中歸納出結(jié)論,數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)絕不是為了結(jié)論而實(shí)驗(yàn),因此有必要處理好經(jīng)驗(yàn)與結(jié)論的關(guān)系.
設(shè)置數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的目的是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生、形成、展開和應(yīng)用的過程,在操作和探究中感受數(shù)學(xué)、體驗(yàn)數(shù)學(xué)和理解數(shù)學(xué),發(fā)展解決問題的策略.但是有的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),常常是為了“實(shí)驗(yàn)”而讓學(xué)生動(dòng)手操作,缺少適宜的數(shù)學(xué)思維成分,因此有必要處理好操作實(shí)驗(yàn)與思維實(shí)驗(yàn)的關(guān)系.通過本案例發(fā)現(xiàn):首先,很多時(shí)候需要操作實(shí)驗(yàn)先行,從而發(fā)現(xiàn)、理解數(shù)學(xué)內(nèi)涵與本質(zhì),當(dāng)然本質(zhì)結(jié)論的形成需要一個(gè)反復(fù)的過程,不是一蹴而就的,在操作實(shí)驗(yàn)的過程中必須有邏輯經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行指引,否則就是盲人摸象毫無方向.其次,當(dāng)積累了一定的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)(包括操作經(jīng)驗(yàn)或是邏輯經(jīng)驗(yàn))時(shí),有必要思考一下能否改變實(shí)驗(yàn)的方式,就是先邏輯實(shí)驗(yàn),推理歸納一些數(shù)學(xué)結(jié)論,再進(jìn)行操作經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證.最后,要邏輯經(jīng)驗(yàn)或操作經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行整合,形成合力,即邊操作邊推理,邊推理邊操作.
任何數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)論都需要嚴(yán)密的推理證明.因此,在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程中其終極目標(biāo)就是推理證明其合理性,無論實(shí)驗(yàn)的結(jié)果如何直觀,要想利用其解決問題必須證明其完畢性.本課例對(duì)實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)論進(jìn)行了嚴(yán)密的證明,使得在使用結(jié)論解決問題的過程中有理有據(jù).數(shù)學(xué)是發(fā)展思維能力的一門學(xué)科,主要是歸納與推理的能力,數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)首先是一個(gè)經(jīng)歷操作與邏輯實(shí)驗(yàn)的歸納過程,作為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的落腳點(diǎn)還需要進(jìn)行必要的推理證明過程.
“術(shù)”是“明道”后轉(zhuǎn)化而來的具體操作方法,數(shù)學(xué)教學(xué)中“優(yōu)術(shù)”是指歸納總結(jié)探究過程中的經(jīng)驗(yàn),優(yōu)化解決問題的思維,掌握一定的思維技巧,以提高思維效果和效率.2011版新課標(biāo)提出注重過程,處理好過程與結(jié)果的關(guān)系,在許多數(shù)學(xué)課中老師注重結(jié)果,概念、法則、性質(zhì)、判定的探索過程被淡化,忽視了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累,看似解題能力大漲,其實(shí)數(shù)學(xué)的思維能力欠缺.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)恰恰注重過程,在過程中積累經(jīng)驗(yàn),經(jīng)歷操作與思維的實(shí)驗(yàn)過程歸納得出結(jié)論,并進(jìn)行推理證明.得出結(jié)果僅僅是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的一個(gè)維度的收獲,最為重要的是掌握研究這一類問題的經(jīng)驗(yàn)與方法,以便以后解決類似的問題.
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