積累作圖經(jīng)驗 建構(gòu)認知體驗*
——從八年級一節(jié)“與作圖有關(guān)的圖形”談起

☉江蘇無錫市太湖格致中學(xué) 陳 鋒

一、問題的提出

在全面關(guān)注學(xué)生綜合素養(yǎng)的大背景下，幾何作圖能力成為學(xué)生必不可少的一種數(shù)學(xué)素養(yǎng).但是作圖的知識較為零散，教學(xué)形式較為單一，內(nèi)容難以把握，目標(biāo)不易確定，同時對教師的要求較高，鑒于此，在2017年11月23日無錫市數(shù)學(xué)名師工作室活動上，一位老師上了一節(jié)“與作圖有關(guān)的圖形”的數(shù)學(xué)研討課，本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計巧妙，學(xué)生課堂表現(xiàn)精彩，給筆者留下了深刻的印象.現(xiàn)將該課的幾個精彩片段和對課堂教學(xué)的思考呈現(xiàn)出來，與大家分享.

二、教學(xué)過程摘錄與點評

1.設(shè)置體驗情境，激活認知體驗.

第一步：觀察圖形.

師：（展示圖1）請同學(xué)們觀察圖形，你能聯(lián)想到什么問題？

生1：在直線l上找一點，使得A點到這個點的距離與B點到這個點的距離的和最短.

師：也就是說在直線l上找一點P，使得PA+PB最短.誰能解決這個問題？

生2：連接A、B兩點與直線l的交點即為點P.

師：這個原理是什么？

生2：兩點之間線段最短.

圖2

圖1

第二步：改變位置.

師：如果把點A、B放到直線l的同一側(cè)（如圖2），你又能想到什么問題？

生4：在直線l上找一點P，使得PA+PB最短.

師：哪位同學(xué)能解決這一問題？

生5：作A點關(guān)于直線L的對稱點A′，連接A′B交直線l于一點，即為所求點P.這是因為兩個對稱點到直線l的距離相等，兩點之間線段最短，那么PA+PB可以轉(zhuǎn)化為PA′+PB=A′B.

第三步：拓展條件.

師：如圖1，能否在直線l上找一點P，使得直線l平分∠APB？給大家兩分鐘的時間在本子上畫一畫，相互之間可以交流一下.

眾生思考交流.

師：請同學(xué)們看一下圖1，P點肯定在直線l上，那P點在什么位置才能滿足條件？你能不能先告訴我P點的大致位置在什么地方？能不能在這里？

生：不能.

師：為什么？

生：看起來不可能.

師：哦，根據(jù)你的直觀感受P點不可能在這里，所以直觀感受很重要.

師：請說出你的具體做法.

生：分別作點A、B關(guān)于直線l的對稱點A′、B′，連接A′B和AB′并分別延長，交直線l于一點，即為所求點P.

師：其實剛才該生分別作了點A、B關(guān)于直線l的對稱點A′、B′，其實這里面我們只要作一個點關(guān)于直線l的對稱點就可以了，比如說作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′B并延長交直線l于點P，這個點是不是就是所求點？（生肯定），其實這里面就用到了對稱的知識，而且A′、B′點涉及了畫圖的知識，這方面的知識請大家熟練掌握，其實老師剛才聽到了同學(xué)們說這不就是利用了等腰三角形的性質(zhì)嗎？如果連接AA′，就使得直線l是頂角的角平分線.

點評：在這一教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師選擇了數(shù)學(xué)中常見的線段和線段一側(cè)的兩個點作為引入，簡單易懂，降低了數(shù)學(xué)在同學(xué)們心中的神秘感，加強了學(xué)生的數(shù)學(xué)認同感和親切感，第一步，通過拋出一個開放性問題的方式，不僅激發(fā)了學(xué)生對課堂參與的積極性，而且培養(yǎng)了學(xué)生用發(fā)散的眼光看待數(shù)學(xué)問題的習(xí)慣；第二步，通過改變A、B兩點的位置關(guān)系繼續(xù)討論第一步中的問題，讓學(xué)生從另一個角度看待問題，與第一種情況比較，激發(fā)學(xué)生對問題的興趣，增強學(xué)生全面分析、思考問題的能力；第三步，通過逐漸增加問題難度的設(shè)置，激發(fā)學(xué)生的心理挑戰(zhàn)，不僅形成用數(shù)學(xué)思想解決問題的方法，而且提升自己的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，開啟了活動探究的第一步.通過這三步使得學(xué)生的觀察力、注意力、想象力、思考力得到了發(fā)展.

2.創(chuàng)設(shè)認知階梯，建構(gòu)方法策略.

第一步：作出圖形.

師：（展示一條線段）請同學(xué)們仔細觀察呈現(xiàn)在面前的一個圖形.這是一個什么圖形，你能聯(lián)想到什么知識？

生7：這是一條以A、B為端點的線段.

師：看到一條線段，你能聯(lián)想到哪些知識？

生8：線段是軸對稱圖形且對稱軸是這條線段的垂直平分線.

師：還有嗎？其實我們上面的討論已經(jīng)涉及了.眾生齊聲回答：兩點之間，線段最短.

師：對，這是一條公理，是基本事實.現(xiàn)在請你以AB為邊，作一個等邊三角形ABC，保留必要的作圖痕跡.請注意這里是要求作等邊三角形.

生9上黑板作出等邊三角形ABC（如圖3），并解釋方法.（以A點為圓心，AB長為半徑畫圓弧，再以B點為圓心，AB長為半徑畫圓弧，交點即為C點）

第二步：感受特征.

師：那看到等邊三角形，大家可以想到等邊三角形有哪些性質(zhì)？

生10：等邊三角形三邊相等，三角也相等且每個角都是60度.

師：除了這些性質(zhì)，等邊三角形還有哪些性質(zhì)？

生11：等邊三角形也是軸對稱圖形，有三條對稱軸，分別是三邊的中垂線.

師：很好，剛才同學(xué)們說的都是三角形的性質(zhì)，由這些性質(zhì)我們就可以判斷一個三角形是不是等邊三角形，那反過來通過對這些性質(zhì)的逆向使用，能不能判斷一個三角形是等邊三角形？請同學(xué)們想一想等邊三角形的判定有哪幾條.

（板書三角形的性質(zhì)及判定條件）

第三步：深化認知.

師：好，那現(xiàn)在等邊三角形ABC已經(jīng)作出來了，如果現(xiàn)在讓同學(xué)們作∠A、∠B的角平分線，交點為O，應(yīng)該怎么作？請學(xué)生描述作∠A的平分線的方法.

圖3

生11：如圖4，以A為圓心，任意長為半徑畫圓弧，分別交AB、AC與點M、N，再分別以M、N為圓心，任意長為半徑畫圓弧，交于點P.

師：那AP為∠A的角平分線的依據(jù)是什么？

生11：利用全等三角形的判定條件.

師：很好（補充作出∠B的角平分線交AP與點O，即為兩角平分線交點），你還能發(fā)現(xiàn)其他的性質(zhì)嗎？

生12：AO=BO.師：為什么？

生13：因為AO、BO分別為∠A、∠B的角平分線，且∠A=∠B，所以∠OAB=∠OBA，根據(jù)等角對等邊，所以AO=BO.

師：沒錯，根據(jù)等角對等邊，能判斷出AO=BO，即三角形OAB為等腰三角形，且我們能算出它的頂角是多少度？（生齊答：120°）

師：所以判斷等腰三角形的一個方法是利用等角對等邊.這個圖形還有哪些性質(zhì)？

生14：點O到等邊三角形ABC三邊的距離相等？師：為什么？

生14：因為點O是∠A和∠B的角平分線的交點，所以點O到三角形的三邊距離相等.過點O作OR垂直于AB、OS垂直于BC、OT垂直于AC，由于點O是角A和角B的角平分線的交點，所以根據(jù)AAS（角角邊）可以判定三角形OAR≌三角形OAT，則OR=OT.同理，OR=OS，從而OR=OS=OT.

師：很好，這里面用到了角平分線的性質(zhì)，同學(xué)們知不知道角平分線的性質(zhì)怎么描述？

教師板書角平分線的性質(zhì).

點評：本環(huán)節(jié)的教學(xué)有兩個亮點：一是較好地體現(xiàn)了“產(chǎn)生式教學(xué)策略”，教師積極引導(dǎo)學(xué)生把信息與自己已有的認知結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來，這樣不僅可以激發(fā)學(xué)生對學(xué)習(xí)任務(wù)和學(xué)習(xí)過程、學(xué)習(xí)策略的積極性，也可以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.在教學(xué)時，教師充分放手讓學(xué)生通過自主探索，合作交流，觀察對比等活動，在學(xué)生經(jīng)歷了作圖之后，引導(dǎo)學(xué)生自主歸納總結(jié)作圖的方法，這使得學(xué)生的認知被調(diào)動起來，學(xué)生的主體地位也得到了充分的體現(xiàn)；二是較好地體現(xiàn)了教學(xué)的本質(zhì)——引導(dǎo)，教師在教學(xué)過程中對學(xué)生進行了較好的引導(dǎo).既尊重了學(xué)生的個性化思維，對學(xué)生合理的作圖方法給予了充分的肯定，又能有意識地引導(dǎo)學(xué)生從多種方法中選擇一種合理、簡潔的方法進行作圖.

圖4

3.拓展圖形變式，提升能力素養(yǎng).

第一步：聯(lián)想性質(zhì).

師：（展示圖5）現(xiàn)在老師分別作OA、OB的垂直平分線交AB于M、N兩點，你又能發(fā)現(xiàn)什么性質(zhì)？

生：線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等.

師：很好，那我們把M、N分別和線段的兩個端點連接起來（連接OM、ON），就得到了AM=MO、NO=NB，同學(xué)們想一想△OMN是什么三角形？

生齊答：等邊三角形.

師：那我們就得到了AM=MN=NB，也就是說我們？

生齊答：把線段AB三等分.

第二步：圖形變式.

師：現(xiàn)在把△ABC變成等腰三角形，其余條件不變，那么情況又如何？（教師通過幾何畫板改變圖形）請同學(xué)們分組討論.

第三步：總結(jié)方法.

學(xué)生相互交流，教師最后歸納總結(jié).

師：我們從一條線段開始，通過尺規(guī)一步一步地把這條線段進行了三等分，請同學(xué)們整理一下用尺規(guī)把線段三等分的思路.

學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)作出自己的解讀：①作（畫）圖，②等（腰）邊三角形，③尺規(guī)等分線段，④線段相等證明.

點評：有價值的、富有挑戰(zhàn)性的問題是開啟學(xué)生思維的金鑰匙.在解決了等邊三角形的問題之后，教師沒有就此作罷，而是拋出了“如果把等邊三角形換成等腰三角形，情況又如何？”這樣一個有挑戰(zhàn)性的問題，課堂上，從學(xué)生的表情和參與度上可以看出，學(xué)生的思維被激活了，互相討論得很有激情，再加上教師的合理引導(dǎo)，學(xué)生參與課堂的熱情空前高漲，這充分證明了只要我們給學(xué)生提供舞臺，就會有意想不到的精彩.

圖5

三、總評

作圖是本節(jié)課的重點，怎樣讓學(xué)生掌握作圖方法并做好知識建構(gòu)是本節(jié)課的難點，教師以一條線段為題基，以作圖方法為知識主線，以圍繞這條線段產(chǎn)生的各種作圖問題為情景主線，課堂教學(xué)始終圍繞這兩條主線展開，教學(xué)過程中教師力圖發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，教學(xué)過程的巧妙設(shè)計和學(xué)生的課堂表現(xiàn)都非常精彩，下面筆者從三個方面進行分析.

1.挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)，突出概念教學(xué).

數(shù)學(xué)概念是客觀現(xiàn)實事物中數(shù)與形的本質(zhì)屬性的反映，是建構(gòu)數(shù)學(xué)理論的基石，是指導(dǎo)數(shù)學(xué)法則和數(shù)學(xué)定理的邏輯基礎(chǔ)，也是提高解題能力的前提.所以在教學(xué)過程中要注意數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生背景，尊重數(shù)學(xué)概念的發(fā)展規(guī)律，達成對數(shù)學(xué)概念的實質(zhì)性理解，真正做到將概念內(nèi)化.在教學(xué)中，要幫助學(xué)生分析概念的內(nèi)涵和外延，相似概念及性質(zhì)的區(qū)別和聯(lián)系，特別關(guān)注概念、性質(zhì)中的獨特成分，以促進學(xué)生對知識的記憶和理解.總而言之，數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生和發(fā)展和對數(shù)學(xué)概念的認識都要經(jīng)歷“實踐—認識—再實踐—再認識”的不斷深化的過程.這就決定了對數(shù)學(xué)概念的教學(xué)要針對學(xué)生的現(xiàn)有情況靈活調(diào)整教學(xué)方法，幫助學(xué)生認識、體驗、理解和掌握概念，提高運用數(shù)學(xué)概念靈活處理相關(guān)問題的能力.

2.理清教學(xué)思路，建構(gòu)認知體驗.

教師要按照科學(xué)知識的內(nèi)在邏輯和學(xué)生的認知發(fā)展規(guī)律進行教學(xué)，使學(xué)生掌握系統(tǒng)的知識，能力得到發(fā)展，如果教學(xué)沒有順序，雜亂無章地進行，學(xué)生就會陷入紊亂而沒有收獲.本節(jié)課，教師從一條直線及兩側(cè)的兩個點著手，讓學(xué)生自己提出問題，在直線上找一點P，使得點P到兩點距離之和最短，并讓學(xué)生自己解決，接著教師增加難度，把兩點移到直線同一側(cè)，再讓學(xué)生思考與之相關(guān)的問題，這個時候?qū)W生已經(jīng)有了前面的鋪墊，很容易想出還是在直線上找一點P，使得點P到兩點距離之和最短，教師借機進一步考查點P的作法，并將此點的作法轉(zhuǎn)化為實際問題：如何在河邊找一點建立供電站使得供電站到兩村莊距離之和最小，將數(shù)學(xué)知識用到實際生活中去.接下來，教師進一步循序漸進地引導(dǎo)學(xué)生探索如何在直線上找一點P、平分∠APB、等邊三角形的作法、三角形三邊中垂線交點的作法等問題，由淺入深、由易到難、從簡單到復(fù)雜，使學(xué)生的認知活動進程逐步深化.

3.尊重學(xué)生主體，體現(xiàn)人文關(guān)懷.

在課堂教學(xué)過程中，教師始終扮演一個組織者、引導(dǎo)者、合作者的角色，充分尊重學(xué)生的主體地位，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，在教學(xué)實施過程中，教師每給出一個圖形，都是讓學(xué)生自己思考與之相關(guān)的問題，而不是直接拋出問題讓學(xué)生回答，這不僅能激發(fā)學(xué)生思考的潛能，更能提高他們的課堂參與率和對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，比如，在第二部分，教師用幾何畫板展示一條線段，先讓學(xué)生思考和線段有關(guān)的知識，很多學(xué)生會想起“兩點之間，線段最短”這個基本事實，教師適當(dāng)引導(dǎo)，學(xué)生還會想起線段是軸對稱圖形，它的對稱軸就是它的中垂線這個知識點.這些激發(fā)學(xué)生主動思考來獲取知識的過程要比教師生硬的告知效果要好得多.

參考文獻：

1.陳鋒，薛鶯.以問題引領(lǐng)，提升復(fù)習(xí)效能——對初三“圓的復(fù)習(xí)課”的幾點感悟［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（5）.

2.陳鋒，薛鶯，童偉偉.多元化的“微探究”：從機械記憶走向理解建構(gòu)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（9）.

3.陳鋒，薛鶯.從課堂“微探究”談初中數(shù)學(xué)有效教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2013（4）.