層階式提升，遞進(jìn)式生長*
——“相似三角形的性質(zhì)”習(xí)題課設(shè)計(jì)與分析

☉江蘇蘇州中學(xué)園區(qū)校 許 彬

一、寫在前面

習(xí)題是數(shù)學(xué)知識的重要載體，是數(shù)學(xué)思想、方法生長的起點(diǎn).數(shù)學(xué)習(xí)題課是數(shù)學(xué)課的一種重要課型，它的主要任務(wù)是鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，形成熟練的技能、技巧，發(fā)展學(xué)生的思維能力，提高問題的解決能力［1］，因此在設(shè)計(jì)習(xí)題課時(shí)，選擇的題目要具有較強(qiáng)的目標(biāo)性，題組之間要具有連貫性，要有利于學(xué)生形成知識系統(tǒng)，要有利于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和思維的迅速發(fā)展.

不久前，在市教育局舉行的送教活動(dòng)中，筆者執(zhí)教了蘇科版教材九年級下冊“相似三角形的性質(zhì)”習(xí)題課，本節(jié)課的題組設(shè)計(jì)低入高出，通過對一道題的系列變式，層階式推進(jìn)訓(xùn)練，遞進(jìn)式助力學(xué)生發(fā)展，受到與會(huì)教師的一致好評.現(xiàn)將習(xí)題設(shè)計(jì)和思考予以呈現(xiàn)，與各位同仁分享與交流.

二、習(xí)題設(shè)計(jì)及分析

心理學(xué)研究表明“知識只有組織成系統(tǒng)，才會(huì)被學(xué)生迅速、準(zhǔn)確而牢固地掌握并遷移，而這個(gè)系統(tǒng)應(yīng)該是有序的、有層次性的”.因?yàn)楸竟?jié)習(xí)題課安排在剛剛新授了“相似三角形的性質(zhì)”之后，是為了掌握新知，鞏固技能，所以筆者將其定位為使學(xué)生掌握知識、形成能力，并將新知融入初中數(shù)學(xué)體系的“形成性習(xí)題課”.因此，本節(jié)課的題組構(gòu)成是“低起點(diǎn)，高立意”，決定采用“一題多變”的訓(xùn)練形式，分層次、分階段推進(jìn)，在變式中逐漸提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，具體設(shè)計(jì)如下：

1.層階一：知識整合.

引題：如圖1，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，若△ABC的BC邊上的高為6，面積為24，求EF邊上的高及△DEF的面積.

變式1：若將△DEF平移使得點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，點(diǎn)E、F分別落在邊AB和AC上，那么例題中的“AB＝2DE，AC＝2DF”可以改成“________________”，問題依然可求.

變式2：如圖2，EF是△ABC的中位線，連接BF、CE交于點(diǎn)M，若S△MEF＝1，那么還能求出哪些圖形的面積？請說明理由.

圖1

圖2

設(shè)計(jì)分析：“相似三角形的性質(zhì)”重點(diǎn)學(xué)習(xí)了“相似三角形周長比等于相似比，面積比等于相似比平方，對應(yīng)線段的比等于相似比”，是后續(xù)學(xué)習(xí)“圖形位似”“銳角三角函數(shù)”等知識的重要基礎(chǔ)，因此起始題起點(diǎn)較低，重在知識整合與關(guān)聯(lián)，又兼顧可延伸性.根據(jù)原題中兩三角形邊之間的特殊關(guān)系，將三角形的中位線導(dǎo)入，變式1既關(guān)聯(lián)了三角形中位線性質(zhì)，又為變式2、3做鋪墊.變式2被設(shè)計(jì)為一道開放題，給學(xué)生留出充分的思考空間，例如：S△BMC、S△BEM、S△MCF、S△BEC、S△BFC等，是對相似三角形的性質(zhì)全面、靈活的運(yùn)用.

2.層階二：提升訓(xùn)練.

變式3：如圖3，EF是△ABC的中位線，邊BC＝8，BC邊上的高AD＝6，若以EF為一邊作正方形EFGH，求GH與BC之間的距離.

變式4：如圖4，在△ABC中，BC＝8，高AD＝6，點(diǎn)E、F分別在AB、AC上，點(diǎn)G、H在BC上，當(dāng)四邊形EFGH是正方形時(shí)，求EF的長.

圖3

圖4

變式5：如圖5，在△ABC中，BC＝8，高AD＝6，點(diǎn)E、F分別在AB、AC上，點(diǎn)G、H在BC上，當(dāng)四邊形EFGH是矩形，且EF＝2EH時(shí)，求EF的長（或求矩形EFGH的周長）.

變式6：如圖5，在△ABC中，BC=8，高AD=6，點(diǎn)E、F分別在AB、AC上，點(diǎn)G、H在BC上，當(dāng)四邊形EFGH是矩形時(shí)，求S矩形EFGH的最大值.

圖5

圖6

設(shè)計(jì)分析：變式3沿著變式2順勢而上，以中位線為邊作正方形，由中位線EF與邊BC的關(guān)系，能知道EF到BC邊的距離，從而可以求得GH與BC之間的距離，正方形的相關(guān)性質(zhì)就順利進(jìn)入問題，為變式4埋下伏筆.變式4可以看作前題中正方形的動(dòng)態(tài)上移，根據(jù)EF∥BC得到△AEF∽△ABC，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊上高的比等于相似比解決問題.變式5是將變式4中的正方形一般化，變?yōu)橐话阈问较碌木匦危诟郊訔l件的協(xié)助之下解決問題.變式6在變式5的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)為一道探究題，是變式5的拓展，但數(shù)學(xué)思維量和能力要求要遠(yuǎn)大于變式5，是檢驗(yàn)學(xué)生解決問題的能力和小組合作學(xué)習(xí)能力的有效時(shí)機(jī)，同時(shí)二次函數(shù)知識堂而皇之地走入了解題過程，為變式7做足了熱身準(zhǔn)備.

3.層階三：形成能力.

變式7：如圖6，在△ABC中，BC=8，高AD=6，點(diǎn)E、F分別在AB、AC上，點(diǎn)G、H在BC上，當(dāng)矩形EFGH的面積最大時(shí)，該矩形以1cm/s的速度沿射線DA勻速向上水平運(yùn)動(dòng)，（當(dāng)GH到達(dá)A點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)），設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，矩形EFGH與△ABC重疊部分的面積為s，求s與t的函數(shù)表達(dá)式，并寫出t的取值范圍.

圖7

圖8

設(shè)計(jì)分析：為了檢驗(yàn)學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力及解決問題的能力，以變式6的結(jié)論為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)了變式7.這是二次函數(shù)的動(dòng)態(tài)類問題，需要運(yùn)用分類、類比、化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，對學(xué)生的動(dòng)腦和動(dòng)手能力均具有挑戰(zhàn)性.從變式6可知，當(dāng)矩形長EF是△ABC的中位線時(shí)面積最大，即EF=4，EH=3時(shí)，顯然當(dāng) 0≤t≤3時(shí)，矩形與三角形重疊部分如圖7中的陰影部分，可以把陰影部分分割為梯形+矩形MNGH，用t表示s的函數(shù)為s=

EFGH與△ABC重疊的部分為三角形，如圖8，用t表示s

三、思考

G·波利亞說“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就在于加強(qiáng)解題能力的訓(xùn)練”，習(xí)題課則在絕大多數(shù)時(shí)刻承載著這樣重要的訓(xùn)練使命.在習(xí)題課設(shè)計(jì)之前，教師要清楚學(xué)生已有的知識；要有明確的訓(xùn)練目標(biāo)；還要有預(yù)期達(dá)到的訓(xùn)練效果；明確遵循何種認(rèn)知規(guī)律引導(dǎo)學(xué)生，將采取哪種有效訓(xùn)練形式.

筆者在設(shè)計(jì)本課例時(shí)，首先思考的是如何設(shè)置題組才能調(diào)動(dòng)起學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動(dòng)性.基于這節(jié)課是新授課之后的習(xí)題課，決定設(shè)計(jì)為以教師為主導(dǎo)的“一題多變”訓(xùn)練形式.變式是讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識從不同的角度、不同層次解決問題，前后式之間邏輯緊密，環(huán)環(huán)相扣，解題的思維要求逐漸抬升，總給學(xué)生一種“跳一跳摸得著”的感覺，用挑戰(zhàn)性驅(qū)動(dòng)個(gè)人學(xué)習(xí)的積極性；變式還能夠使學(xué)生準(zhǔn)確地掌握數(shù)學(xué)知識，掌握一類問題的解法，有利于培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力，觸類旁通的能力，更能大大提升課堂教學(xué)效率.其次，筆者結(jié)合學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)掌握了“相似三角形的判定”“二次函數(shù)”等數(shù)學(xué)核心知識，同時(shí)還要為后續(xù)學(xué)習(xí)圖形位似、銳角三角函數(shù)做知識儲(chǔ)備，所以選擇一道低起點(diǎn)但有較強(qiáng)延伸性的基礎(chǔ)題，通過對這道基礎(chǔ)題的若干變式，對學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力、數(shù)學(xué)思維、探究能力都予以訓(xùn)練和提升，這樣的設(shè)計(jì)有較強(qiáng)的針對性、關(guān)聯(lián)性、整合度，對相似圖形知識的運(yùn)用由“熟”到“透”！

數(shù)學(xué)是思維的體操，習(xí)題課對數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練適宜邁小步“趁勢上臺(tái)階”［2］，本課例的題組設(shè)計(jì)就采用了層階式訓(xùn)練方式.層階一是針對剛剛新授的“相似三角形的性質(zhì)”，是基礎(chǔ)性訓(xùn)練，達(dá)到熟悉知識、熟練技能的目的；層階二是把已經(jīng)學(xué)習(xí)過的“相似三角形判定”“二次函數(shù)”等核心知識與“相似三角形的性質(zhì)”綜合運(yùn)用，這種設(shè)計(jì)是在學(xué)生已有的知識儲(chǔ)備基礎(chǔ)上進(jìn)行的，對個(gè)人能力的要求合情合理；層階三是依托變式6的結(jié)論拓展而成，在考查學(xué)生解題能力的同時(shí)，滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論、類比等諸多數(shù)學(xué)思想方法.縱觀整體設(shè)計(jì)，符合學(xué)生認(rèn)知水平的遞進(jìn)式生長，解題能力的層階式上升，從學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)入手，實(shí)現(xiàn)了知識的正向遷移，有利于解題活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累.

參考文獻(xiàn)：

1.肖柏榮.高中數(shù)學(xué)典型課示例［M］.北京：人民教育出版社，2001.

2.王永生.基于教材的數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)的理論與實(shí)踐［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（4）.