用洛必達(dá)法則巧解“恒成立時(shí)參數(shù)取值范圍”型高考?jí)狠S題

楊剛

[摘 要] 縱觀高考數(shù)學(xué)壓軸題中，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題是十分常見(jiàn)，其中求參數(shù)的取值范圍是重點(diǎn)考查題型.在常規(guī)變量分離法等解題時(shí)，會(huì)出現(xiàn)“■”型或“■”型的不定式問(wèn)題，解決這類(lèi)問(wèn)題的有效方法就是洛必達(dá)法則，這種方法簡(jiǎn)單，討論直接，有效提高學(xué)生解決問(wèn)題的效率.

[關(guān)鍵詞] 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)；參數(shù)；洛必達(dá)法則

洛必達(dá)又音譯為羅必塔，是法國(guó)的一名數(shù)學(xué)家.他最重要的著作是《闡明曲線的無(wú)窮小于分析》（1696），這本書(shū)是世界上第一本系統(tǒng)的微積分學(xué)教科書(shū)，他由一組定義和公理出發(fā)，全面地闡述變量、無(wú)窮小量、切線、微分等概念，在書(shū)中第九章記載了約翰·伯努利在1694年7月22日告訴他的一個(gè)著名定理：洛必達(dá)法則，也就是求一個(gè)分式當(dāng)分子和分母都趨于零時(shí)或都趨于無(wú)窮大的極限的法則.后人誤以為是他的發(fā)現(xiàn)，故以洛必達(dá)法則（或羅必塔法則）之名沿用至今.

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，高考數(shù)學(xué)壓軸題基本都和函數(shù)與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用有關(guān)，試題常常會(huì)遇見(jiàn)通過(guò)變形之后，轉(zhuǎn)化為形如：m>■（或m<■）在某個(gè)給定的區(qū)間I上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍之類(lèi)的題型.通常的解法是：先求函數(shù)y=■的導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)在區(qū)間I上的單調(diào)性，再求出函數(shù)y=■的最值，從而求出m的取值范圍.在區(qū)間I上，若函數(shù)y=■在x=x0處取得最值，當(dāng)函數(shù)在x0處有意義時(shí)，只需把x0代入函數(shù)，即可求出函數(shù)的最值；當(dāng)函數(shù)在x0處無(wú)意義時(shí)，常常有x→x0時(shí)，f（x）→0，g（x）→0，就不能直接代入函數(shù)求最值，此時(shí)一般的解法是構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)參數(shù)恰當(dāng)分類(lèi)，再求導(dǎo)，分情況討論，這對(duì)學(xué)生的推理和運(yùn)算能力要求非常之高，多數(shù)學(xué)生很難找到正確的切入點(diǎn)，會(huì)選擇放棄，這時(shí)如果考慮用洛必達(dá)法則，那么問(wèn)題就會(huì)迎刃而解了.

■【洛必達(dá)法則Ⅰ】 “■”型

（1）■f（x）=0，■g（x）=0；

（2）f（x）與g（x）在x0的空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且g′（x）≠0；

（3）■■=A（A可為有限數(shù)，也可為∞或-∞），則■■=■■=A.

■【洛必達(dá)法則Ⅱ】 “■”型

（1）■f（x）=∞，■g（x）=∞；

（2）f（x）與g（x）在x0的空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且g′（x）≠0；

（3）■■=A（A可為有限數(shù)，也可為∞或-∞），則■■=■■=A.

利用洛必達(dá)法則求不定式的極限時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：

①將上面公式的x→x0換成x→x■，x→x■，x→∞，x→+∞，x→-∞時(shí)，洛必達(dá)法則也成立.

②洛必達(dá)法則不僅可求■型和■型的極限，也可求0·∞，∞0，00，1∞，∞-∞等型的極限，只需把它們轉(zhuǎn)化為■型和■型，再用洛必達(dá)法則即可求出.

③在著手求極限前，先檢查是否為■，■，0·∞，∞0，00，1∞，∞-∞等型不定式，再檢查是否滿(mǎn)足三個(gè)前提條件，否則不能用洛必達(dá)法則.

④若三個(gè)條件滿(mǎn)足，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止.

下面我們來(lái)看看，如何用洛必達(dá)法則巧解近幾年高考導(dǎo)數(shù)壓軸題.

例1（2015年山東卷理科）設(shè)f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R，

（1）討論函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；

（2）若？坌x>0，f（x）≥0成立，求a的取值范圍.

解：在參考答案的解法中，第（2）問(wèn)要在第（1）問(wèn)順利解決的情況下才有可能完成，而第（1）問(wèn)難度很大. 因此，能做對(duì)第（2）問(wèn)的少之又少. 對(duì)于第（2）問(wèn)，轉(zhuǎn)化為？坌x∈（0，1），a≤■恒成立①；x=1時(shí)，f（x）≥0②；？坌x∈（1，+∞），a≥■恒成立③，則a的取值范圍是同時(shí)滿(mǎn)足①②③式的a取值集合的交集. 顯然，對(duì)于第②問(wèn)，a為任何實(shí)數(shù)均成立. 下面解答①③式，令g（x）=■，則g′（x）=■.

再令h（x）=（x-x2）+（2x2+x-1）ln（x+1），則h′（x）=（4x+1）ln（x+1）.

對(duì)于①式，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）>0，所以h（x）在（0，1）上遞增，所以h（x）>h（0）=0，

從而g′（x）>0，所以g（x）=■在（0，1）上遞增.

當(dāng)x→0+時(shí)，有l(wèi)n（x+1）→0，x-x2→0.

由洛必達(dá)法則有■g（x）=■■=■■=■=■=1，

所以當(dāng)x→0+時(shí)，g（x）→1，所以要①式成立，則a≤1.

對(duì)于③式，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，同理可得g（x）=■在（1，+∞）上遞增.

當(dāng)x→+∞時(shí)，有l(wèi)n（x+1）→∞，x-x2→∞

由洛必達(dá)法則有■g（x）=■■=■■=■=■=0，

所以當(dāng)x→+∞時(shí)，g（x）→0，所以要③式成立，則a≥0.

綜合①②③式可得，a的取值范圍為[0，1].

例2 （2014年陜西卷理科）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+1），g（x）=xf ′（x），x≥0，其中f ′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù).

（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. （（1）（3）略）

解：（2）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（x+1）≥■恒成立.

①？搖當(dāng)x=0時(shí)，a為任意實(shí)數(shù)，均有不等式恒成立.

②？搖當(dāng)x>0時(shí)，不等式變形為a≤■恒成立.

令h（x）=■，則h′（x）=■，再令φ（x）=x-ln（x+1），則φ′（x）=■.

因?yàn)閤>0，所以φ′（x）>0，所以φ（x）=x-ln（x+1）在（0，+∞）上遞增，從而有φ（x）>φ（0）=0.

進(jìn)而有h′（x）>0，所以h（x）=■在（0，+∞）上遞增.

當(dāng)x→0■時(shí)，有（x+1）ln（x+1）→0，x→0，

由洛必達(dá)法我們可得有■h（x）=■■=■■=■=■=1，

所以當(dāng)x→0+時(shí)，h（x）→1. 所以要a≤■恒成立，則a≤1.

綜合①②式可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，1].

讀者不妨用洛必達(dá)法則試解以下高考?jí)狠S題：

1. （2013年全國(guó)大綱卷理科）已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-■.

（1）若x≥0時(shí)f（x）≤0，求λ的最小值.（2）略？搖（答案：■）

2. （2011年全國(guó)新課標(biāo)卷理科）已知函數(shù)f（x）=■+■，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+2y-3=0.

（1）求a，b的值；（2）如果當(dāng)x>0，且x≠1時(shí)，f（x）>■+■，求k的取值范圍.

（答案：（1）a=1，b=1，（2）（-∞，0]）

3. （2010年新課標(biāo)卷理科）設(shè)函數(shù)f（x）=ex-1-x-ax2.

（1）略；（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0，求a的取值范圍.

（答案：（2）a≤■）

通過(guò)以上兩例可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于在某個(gè)區(qū)間上，不等式恒成立時(shí)，求參數(shù)取值范圍的題型，通常用分離變量的方法，把參數(shù)分離出來(lái)，然后對(duì)參數(shù)分離之后的函數(shù)y=■求導(dǎo)，研究單調(diào)性、極值.若遇到“當(dāng)x=x0時(shí)，函數(shù)y=■無(wú)意義”，此時(shí)可以檢驗(yàn)是否滿(mǎn)足洛必達(dá)法則的條件，若滿(mǎn)足，便可用洛必達(dá)法則來(lái)求解，這是解決此類(lèi)難題很有效的方法.洛必達(dá)法則雖然不是高考考綱中需要掌握的內(nèi)容，但它在高等數(shù)學(xué)中占有重要的地位. 如果學(xué)生在高中階段就能認(rèn)識(shí)理解洛必達(dá)法則，既可在高考數(shù)學(xué)考試中節(jié)約時(shí)間和有效解題，還將會(huì)對(duì)學(xué)生進(jìn)入大學(xué)后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 同時(shí)也要明白，解決此類(lèi)恒成立問(wèn)題，洛必達(dá)法則未必是唯一可用的最佳方法，但洛必達(dá)法則為我們提供了較為簡(jiǎn)明的解題思路，易于理解掌握，因此也不愧是一種高效實(shí)用的解題方法.