論一道好題的知識匯聚力和發(fā)散力

沈雪清

[摘 要] 向量是浙江高考中非常重要的內(nèi)容，由于題目靈活，知識跨度大，是學(xué)生非常頭痛的題型. 但是只要認(rèn)真總結(jié)，還是可以找到這類題型的主要解題思路和解法. 事實(shí)上，對于向量問題只要從代數(shù)角度和幾何角度兩方面切入，再結(jié)合向量的概念和幾何意義，總能找到破解之法.

[關(guān)鍵詞] 向量；代數(shù)思想；幾何思想；結(jié)合應(yīng)用

[案例] 已知向量a，b滿足a-b=a+3b=2，求a的取值范圍.

此題總體難度不高，學(xué)生初見它時(shí)會覺得眼熟親切，與平時(shí)所練的向量題大同小異，但是當(dāng)翻出海量的向量儲備知識后，發(fā)現(xiàn)搞定它并不輕松. 本文從代數(shù)和幾何兩條主線切入分析，挖掘了多種解法，并適當(dāng)拓展、變式、類比，達(dá)到了全方位復(fù)習(xí)向量知識的目的，將向量知識體系中的各個(gè)要點(diǎn)一一展現(xiàn)，展現(xiàn)了此題的獨(dú)特魅力.

■代數(shù)思想

解1（絕對值不等式法）：一方面：3a-3b=6，a+3b=2，

所以3a-3b+a+3b≥（3a-3b）+（a+3b）=4a，

即8≥4a，a≤2. 當(dāng)且僅當(dāng)a-b與a+3b同向共線時(shí)取等號.

另一方面：3b-3a=6，a+3b=2，

所以3b-3a-a+3b≤（3b-3a）-（a+3b）=-4a，

即4≤4a，a≥1.

點(diǎn)評：絕對值不等式和向量的完美結(jié)合，成就了此題的完美解法. 知識跨越度較大，學(xué)生較難想到這種處理方法.

解2（換元法）：令m=a-b，n=a+3b，則a=■n+■m，b=■n-■m，

且m=2，n=2.

所以a2=■n+■m■=■n2+■n·m+■m2=■+■cosθ∈[1，4].

即：1≤a≤2.

點(diǎn)評：引用了反解法的思想，換位思考，角度獨(dú)特，有種“在向量中又跳出向量的圈子”的感覺，非常漂亮地處理了這個(gè)問題，并且此法可以同時(shí)解決下列問題：

（1）求b的取值范圍；

（2）求xa-yb（x，y∈R）的取值范圍；

（3）已知x1a+y1b=m，x2a+y2b=n，求a，b取值范圍.

■幾何思想

解3（構(gòu)造圓的軌跡）：由a-b=a+3b=2，可得動點(diǎn)G的軌跡是圓，所以P的軌跡也是圓，圓心■，0，半徑r=■，所以POmin=■-■=1，此時(shí)a，b反向共線，POmax=■+■=2，此時(shí)b=0.

點(diǎn)評：構(gòu)造動點(diǎn)的軌跡，根據(jù)G的軌跡得到聯(lián)動點(diǎn)P的軌跡，由圓的知識解決了最值，還可以非常直觀地看到取得最值時(shí)a，b的關(guān)系和值，構(gòu)圖巧妙，形象直觀.

解4（構(gòu)造動態(tài)三角形）：如圖2所示，3BO=OC，且M為BC的中點(diǎn)，所以AM⊥BC，AB=AC=2，所以當(dāng)固定BC，A沿MA無限向上運(yùn)動，得到amax=2，此時(shí)b=0.當(dāng)固定點(diǎn)A，BC無限靠近A點(diǎn)，得到BCmax=4，此時(shí)A與M點(diǎn)重合，amin=1. 此時(shí)a，b反向共線.

點(diǎn)評：構(gòu)造三角形，然后根據(jù)動點(diǎn)動態(tài)，找動態(tài)極限位置，從而求得a的最值.

解5（構(gòu)造平行四邊形性質(zhì)）：如圖3，M是BC的中點(diǎn)，O是BM的中點(diǎn)，則AB=2，AC=2. 設(shè)AM=x，MC=y，則：x2+y2=4（1），0≤x≤2，根據(jù)平行四邊形對角線與邊長關(guān)系法則：（2a）2+y2=（x2+4）×2（2）.

由（1）（2）可得：4a2=3x2+4∈[4，16]，

所以1≤a≤2. 當(dāng)x=0時(shí)取最小值，當(dāng)x=2時(shí)取最大值.

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圖3

點(diǎn)評：構(gòu)造平行四邊形，利用平行四邊形邊長與對角線關(guān)系式，求得a的函數(shù)關(guān)系，從而求解.

■幾何思想與代數(shù)思想結(jié)合應(yīng)用

兩邊平方得：a2-2a·b+b2=a2+6a·b+9b2=4，所以8b2=-8a·b=-8a·bcosθ，即b=-acosθ（cosθ≤0）.

如圖4可得到重要的幾何結(jié)論（投影）：a在b的投影與b長度相等，方向相反（即O是BC的中點(diǎn)，AC垂直BC）.

■

圖4

解6（函數(shù)思想）：根據(jù)上述投影的結(jié)論，如圖所示，BO=OC，在△OAB中，由余弦定理：4=a2+a2cos2θ+2a2cos2θ，所以a2=■∈[1，4]，

所以：1≤a≤2. 當(dāng)cosθ=0時(shí)取到最大值，當(dāng)cosθ=-1時(shí)取到最小值.

點(diǎn)評：發(fā)現(xiàn)了a，b投影之間的結(jié)論，就從另一個(gè)角度打開了解題的思路，在三角形中利用余弦定理，建立函數(shù)關(guān)系求最值.

解7（建系法）：以C為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)A（0，t），B（s，0），O■，0，則AB2=s2+t2=4（0≤s≤2） ，

所以a2=AO2=■+t2=4-■s2∈[1，4]，所以1≤a≤2.

點(diǎn)評：建系法是向量中常用的方法，化幾何為代數(shù)，可以免去找?guī)缀侮P(guān)系之苦.

本題可以用以上7種方法解答，從代數(shù)思想切入時(shí)，涉獵了絕對值不等式、換元思想、建系法、函數(shù)方程值域等知識.從幾何思想切入時(shí)，從構(gòu)造軌跡、臨界分析、幾何性質(zhì)等角度分析，尤其是投影關(guān)系的發(fā)現(xiàn)，更是打開了多種解法的另一個(gè)方向.

■拓展應(yīng)用

[拓展應(yīng)用一]？搖向量的投影

利用投影，可以把復(fù)雜的向量問題圖形化、簡易化，從而可以秒殺題目，是很多優(yōu)秀學(xué)生解決向量問題的秘密武器，也是高考復(fù)習(xí)階段教師重點(diǎn)傳授給學(xué)生的解題絕招.下面來看幾例近幾年的考題.

[拓展案例1] （2014年金華市二模第17題）？搖：？搖如圖5，已知AC=BC=4，∠ACB=90°，M為BC中點(diǎn)，D是以AC為直徑的圓上一動點(diǎn)，則■·■的最大值是_____.

■

圖5

解：■·■=DC·AM·cosθ=DC·DF=DC·（DC+CF）=4cosα（4cosα+2sinα）=16cos2α+8cosαsinα=8（1+cos2α）+4sin2α=8+4■sin（2α+φ），■·■的最大值為8+4■.

[拓展應(yīng)用二]？搖向量的極化恒等式

向量數(shù)量積有一種幾何形式，廣泛使用在各種考試中，可以破解很多難題，我們稱之為向量的極化恒等式，如圖6，a·b=■[（a+b）2+（a-b）2]，即a·b=AM2-BM■.

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圖6

[拓展案例2] （2013浙江理科第7題）：在△ABC中，P0為線段AB上一點(diǎn)，滿足P0B=■AB，且對于AB上任意一點(diǎn)P，恒有■·■≥■·■，則（ ）

A. ∠ABC=90°

B. ∠BAC=90°

C. AB=BC

D. AC=BC？搖

解：■·■=PM2-BM2，■·■=P0M2-BM2，所以PM≥P0M，所以P0M⊥AB.

取P為AB的中點(diǎn)，由P0B=■AB，得P0為BP的中點(diǎn)，所以MP=MB，所以AC=BC.

一道好題猶如知識海洋中的一盞指明燈，引領(lǐng)著屬于它的船只遨游和聚攏.在向量的知識海洋中，這樣一道題，集結(jié)了向量知識體系中的多個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，既完美地詮釋了向量的基本概念和基本意義，又旁征博引了其他知識體系的美妙應(yīng)用. 從試題的角度看，可以全面考查學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)能力，從教師上課角度看，可以全方位剖析此題，成為復(fù)習(xí)向量知識的優(yōu)質(zhì)課堂例題，使師生在繁重的高三復(fù)習(xí)和題海戰(zhàn)術(shù)中，得到一次營養(yǎng)豐富的滋補(bǔ). 所以一道好題充滿了知識的匯聚力和發(fā)散力，極其珍貴，且用且珍惜！