通過“以問啟思”，培養(yǎng)學生數(shù)學思維

高遠

[摘 要] 高中數(shù)學課程應注意提高學生的數(shù)學思維能力，這是數(shù)學教育的基本目標之一. 學生數(shù)學思維的發(fā)展對問題的解決有很大的作用. 通過“以問啟思”，可以促使教師設計有效的問題，啟發(fā)學生高效思考，從而促進數(shù)學思維的發(fā)展，提升學生的思維品質(zhì).

[關鍵詞] 高中數(shù)學；以問啟思；數(shù)學思維

加里寧曾說：“數(shù)學是鍛煉思維的體操. ”《普通高中數(shù)學課程標準》（實驗）中指出，培養(yǎng)和發(fā)展學生的數(shù)學思維能力是發(fā)展智力、培養(yǎng)全面數(shù)學能力的主要途徑，因此，高中數(shù)學課程應注意提高學生的數(shù)學思維能力，這也是數(shù)學教育的基本目標之一. 我們還要認識到，“提出問題”是我國數(shù)學教育中的一個薄弱環(huán)節(jié)，我們的學生會做現(xiàn)成的題，但是不會提問題、不善于提問題. 由此反觀高中數(shù)學課堂，筆者以為“問”是不可忽視的，只有有效的提問，才能打開學生的思維空間，激活學生的思維欲望，培養(yǎng)學生的思維能力. 基于這一思考，筆者以高中數(shù)學教學為例，談談如何在“以問啟思”的實踐中培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力.

■“以問啟思”的價值內(nèi)涵

“以問啟思”的語境中，“問”通常是指問題，而“思”則是指學生的數(shù)學思維發(fā)展，其中的“啟”，則是一種發(fā)揮機制. “問”通常有兩個方面：一是教師面向?qū)W生提出的問題，二是學生自己問出的問題. 在“以問啟思”的邏輯中，“問”是“思”的載體，前者要對后者有“啟”的作用，載體首先得有豐富的價值內(nèi)涵，最起碼的，一個問題一定要有明確的指向，且能夠讓學生的思有所依.

譬如在函數(shù)概念的學習中，要讓學生有效地判斷哪些對應是函數(shù)，那就要讓學生在一定的事例分析基礎上去歸納、總結(jié). 于是筆者給學生呈現(xiàn)了（蘇教版教材必修一第25頁）例1：（1）x→■，x≠0，x∈R；（2）x→y，這里y2=x，x∈N，y∈R. 讓學生判斷這種對應是不是函數(shù). 在學生思考的時候，他們重點思考的就是給出的對應中，根據(jù)函數(shù)的定義域和對應法則，要看每一個輸入值x在其定義域內(nèi)的每一個值是不是能夠確定唯一的輸出值. 學生清楚地回答出在（1）中，任意一個輸入值x都有一個唯一的值與之對應，因而是一個函數(shù)；（2）中的一個輸入值x，會出現(xiàn)兩個y值對應，因而不是函數(shù). 筆者又繼續(xù)舉例：A=N，B=N*， f：x→y=x-2. 學生對于這個對應就產(chǎn)生了爭議，看來他們對概念的理解還是有偏差的. 最后學生自己歸納得出的結(jié)論是：要判斷從集合A到集合B的對應是不是函數(shù)，還是要緊緊抓住函數(shù)的概念，A中的x不能有剩余，在B中有y與之對應并唯一，可以多對一，但不能一對多，此外還要注意特殊值的分析等. 可見學生對函數(shù)這一概念的真正理解、掌握和運用是需要一個過程的，必須要自己深度反思才能深刻理解.

從這個角度講，“以問啟思”的價值內(nèi)涵不在于花哨的情境與膚淺的活動，而在于學生的思維圍繞數(shù)學學科的特點進行充分的理性思考，以促進自身的數(shù)學思維不斷發(fā)展與完善. 只有學生的數(shù)學思維發(fā)展了，那包括數(shù)學抽象、邏輯推理與數(shù)學建模在內(nèi)的核心素養(yǎng)的培育也就有了堅實的基礎. 故而在高中數(shù)學教學中，教師要立足于有效地“問”去發(fā)展學生的數(shù)學思維，這樣才能讓“啟”具有面向?qū)W生思維的意義.

■“以問啟思”的實踐途徑

1. 尋找學生的最近發(fā)展區(qū)

“以問啟思”的教學中，體現(xiàn)教師教學水平并能發(fā)現(xiàn)學生數(shù)學思維發(fā)展水平的環(huán)節(jié)在于“啟”，因為問題提出之后，學生的思維并不總是能夠立即附著到問題之上的，很多時候還需要教師的引導、啟發(fā)，有時候還需要臨時生成一些更為細小的“子問題”來輔助主要問題的提出與理解，這樣才能保證“以問啟思”的過程的高效性. 比如在復習“直線與圓的位置關系”中研究直線與圓相切問題時，從基礎的求切線方程和切線長入手，進而研究有關最值和定點問題.

例：已知圓M的方程為x2+（y-2）2=1，直線l的方程為x-2y=0，點P在直線l上，過P點作圓M的切線PA，PB，切點為A，B.

（1）若P點的坐標為1，■，求直線PA的方程；

（2）求切線長PA的最小值；

這兩問涉及求切線方程和切線長，學生能自己獨立解決. （強調(diào)不要漏掉斜率不存在的情形）

變式1：求四邊形MAPB面積的最小值.

此問是對第（2）問的一個強化訓練，學生可以解決.

變式2：若P點的坐標為1，■，求兩切點AB（切點弦）所在的直線方程.

師：如何解決？？搖

生：數(shù)學結(jié)合，畫圓和直線.

師：用什么知識點解決呢？

生：PM垂直平分AB，直線的斜率可求，但是找不到點.

師：是有困難，解決不了，這樣吧，我們先看看下一問吧！

（3）求證：經(jīng)過A，P，B三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標.

師：第（3）問要考慮這樣的一個圓，這個圓到底有什么特點呢？看能不能借助初中的幾何知識來解決呢？學生思考，課堂安靜.

生：原來是P，A，B，M四點共圓??！

這樣，第（3）問和變式2就都可以解決了，切點弦方程就轉(zhuǎn)化成兩圓的相交弦方程. 在這里，教師提問，引導學生發(fā)現(xiàn)問題的突破口，實現(xiàn)這一目的的關鍵就是尋找了學生的最近發(fā)展區(qū)，先解決第（3）問，再解決變式2，有針對性地教學，使學生真正得到發(fā)展.

2. 設計梯度化的“問題串”

繼續(xù)上一個例題第（4）問：若∠APB=60°，試求點P的坐標.

這一問學生可以解決，再看其變式.

變式3：若圓M上存在兩點S，T，使∠SPT=60°，求點P的縱坐標m的取值范圍.

師：讀題時需要把哪些字圈出來呢？如何分析呢？

其實只需要教師這樣一問，學生的思維就會在“存在”兩個字上下功夫.

生：如何才能夠在圓上一定存在這樣的兩個點呢？

利用極端思想考慮相切時的情形，這個問題也就迎刃而解了. 在上面的例子中，學生對一個問題的思維常常是處于離散狀態(tài)的，也就是說他們在面對個別事例的時候，通常能夠做出比較準確的判斷，但大腦里就是缺乏一個整體的認識. 尤其是在初學階段，這樣的現(xiàn)象非常明顯，這個時候就需要教師以更為根本、細節(jié)的問題，組織成一系列的梯度化的“問題串”來有效地培養(yǎng)學生的問題意識，引領學生主動探求，提高數(shù)學思維.

3. 實現(xiàn)學生的深度學習

師：通過上面的一系列題，你們能自己思考，自己提問題嗎？你覺得點P在直線上運動的過程中還有什么問題可以研究嗎？小組討論，自己編題目，自己解答.

學生要回答這樣的問題，比解題的思維層次更高，一定要深入思考，才能提出新問題. 最后在師生的努力下，學生提出的問題如下：求∠APB的最大值； 求■·■的最小值；求AB中點的軌跡，等等.

筆者以為，學生能夠經(jīng)由自己的思考得出這些認識，就說明以上述問題來撬動學生的思維是有效的. 這樣的“以問啟思”的過程，使得相關知識得到了鞏固，數(shù)學思想方法得到了進一步提升. 有挑戰(zhàn)，有思辨，才有深度. 課堂上注重思維互動，比如學生的分析、討論、探究、展示等，可以促進深度學習，是培養(yǎng)學生思維能力的有效途徑.

■“以問啟思”的自我評價

總結(jié)上述實踐過程，可以發(fā)現(xiàn)教師設計的問題對學生思維的方向影響是非常大的. 我們通常所強調(diào)的主導作用在“以問啟思”的學習過程中，主要就體現(xiàn)為問題的設計. 當然，很多時候問題也是由學生提出的，這種情形之下學生更容易深入思考，且對自身思維水平的促進更為明顯，不過這也取決于學生所提出的問題在不在自己的解決范圍之內(nèi)，這個時候“最近發(fā)展區(qū)”理論也就起作用了.

要重點強調(diào)的是，在“以問啟思”的教學實踐中，學生的自我評價非常重要. 筆者通常指導學生圍繞這樣的幾個問題進行：第一，教師為什么會設計這樣的問題？第二，面對這樣的問題，最佳思維方向在哪里？（即思考用哪方面的數(shù)學知識來解答）第三，自己思考過程中出現(xiàn)了哪些不足？應當如何矯正？事實證明，這樣的自我反思，常常可以讓學生對問題本身有更多的思考，從而避免了學生只顧追求正確答案而忽視了問題思考過程的不足. 高中階段的學生處于高度理性的思維階段，這樣的自我反思可以讓學生對自己思維的質(zhì)量有高度重視，這實際上也是培養(yǎng)數(shù)學思維的重要組成部分.

總之，高中數(shù)學中堅持“以問啟思”，可以有效地培養(yǎng)學生的思維廣度與深度，可以提升學生的思維品質(zhì)，因此應當是數(shù)學教師重視的研究領域.