中學數(shù)學部分概率內(nèi)容的問題與建議

羅荔齡，曹廣福

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中學數(shù)學部分概率內(nèi)容的問題與建議

羅荔齡，曹廣福

（廣州大學 數(shù)學與信息科學學院，廣東 廣州 510006）

針對中學概率論中部分重要概念以及教學中常見的問題展開討論，從歷史發(fā)展的角度出發(fā)指出，教材最好先系統(tǒng)介紹概率論，在此基礎上再介紹統(tǒng)計．應該明確基本事件與隨機事件之間的關系，隨機變量概念的定義適宜嚴格化，特別是不適合將隨機變量與函數(shù)做類比，前者是隨機現(xiàn)象的量化表示，是一個數(shù)學化過程，后者是不同確定性事件量化后的數(shù)量關系，兩者不屬于同一個范疇，隨機變量的合適類比對象是確定性變量．同時指出，隨機思想、隨機方法是概率教學價值的兩個重要方面．此外，對教材中出現(xiàn)的一些疏忽提出了一些建設性意見，并指出有必要將分布函數(shù)引入中學課堂．

隨機事件；樣本空間；隨機變量；分布函數(shù)

1 引言

客觀世界充滿著隨機性，老天爺陰晴不定，說變臉就變臉，土地老爺又何嘗能夠捉摸，很難說哪天不高興了一跺腳，某地就發(fā)生地震了．宏觀世界如此，微觀世界也是如此，粒子的運動就充滿著不確定性，空氣中的懸浮微粒就在不停地做著無規(guī)則運動，這就是著名的布朗運動．雖然概率生于賭場，但隨著理論的不斷完善，這一理論在自然科學、社會科學中發(fā)揮著越來越重要的作用．無論是工程理論中的噪聲問題還是經(jīng)濟、金融理論中的風險問題都與該理論有關（參見文[1]）．

世界上中學階段教授概率的國家不只有中國，美國、英國、日本等國家在高中階段也開設概率課程．中學階段是否有必要學習概率？這似乎是個有爭議的話題，也許這里該討論的不是開不開設概率的問題，而是怎么開設？開設到何種程度？教材通常將概率與統(tǒng)計交叉融合在一起，例如某版教材高中版在數(shù)學選修1-2、選修2-3以及必修3中都以交叉的方式介紹了概率與統(tǒng)計，必修3先介紹統(tǒng)計再介紹概率，選修2-3則反其道而行之．這與大學階段的概率與統(tǒng)計教學很不相同．大學階段通常是先系統(tǒng)地學習概率論，再學習統(tǒng)計學（參見文[2]），這么安排是有道理的，事實上，雖然概率與統(tǒng)計密不可分，但概率的誕生早于統(tǒng)計學，兩者的思想方法也大相徑庭，前者偏重于推理，后者側重于歸納．概率是統(tǒng)計的基礎，主要根據(jù)給定的數(shù)據(jù)觀測、研究其性質(zhì)，判斷事件發(fā)生的可能性．而統(tǒng)計學則是通過搜集、整理、分析統(tǒng)計資料，認識客觀現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律，根據(jù)觀測的數(shù)據(jù)，思考其數(shù)據(jù)生成過程，預測、分類、聚類、估計等都是統(tǒng)計的主要形式，強調(diào)對于數(shù)據(jù)生成過程的研究，它具有客觀、準確和可檢驗的特點．如果說中學概率教材有什么值得進一步改進的地方，其中之一或許將概率與統(tǒng)計分開更合適一點．中學教材并未對隨機變量作嚴格的數(shù)學定義，只是給了一個直觀描述．例如某版教材選修2-3是這樣定義的：“如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量．”這個定義沒有把隨機變量的本質(zhì)特征揭示出來，而且很不嚴格，可能與教材沒有在概率部分明確定義樣本空間有關．隨機變量的本質(zhì)特征是什么？首先，隨機變量是樣本空間到實數(shù)域的一個映射，換句話說，給定一個樣本點，就對應一個實數(shù)，但隨機變量取什么值是不確定的，因為隨機試驗的結果是不確定的．其次，隨機變量一旦確定下來，可以用它來表示隨機事件．上述定義既沒有強調(diào)隨機變量的不確定性，也忽略了隨機變量可以表示隨機事件的重要特征．雖然對于中學生不一定非得給予隨機變量嚴格的數(shù)學定義不可，但最好把隨機變量的重要特征說清楚，否則，學生很可能對隨機變量的引入莫名所以．這里針對中學概率論教學中常見的一些問題進行了深入的分析，試圖找出一種行之有效的教學方案．

2 概率論的教育價值

概率論作為一門特殊的數(shù)學分支，其教育價值主要體現(xiàn)在兩個方面．

（1）隨機思想．學生習慣了確定性數(shù)學方法，對隨機試驗、隨機事件等概念都很陌生，而隨機思想對于認識隨機現(xiàn)象、理解隨機事件是非常重要的．雖然古典概型、幾何概型都基于等可能性假設，但這種假設的基礎實際上也是統(tǒng)計經(jīng)驗，可見隨機思想的核心是認識隨機現(xiàn)象背后的統(tǒng)計規(guī)律．通過大量觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律性的結論對于習慣了確定性數(shù)學思維的學生是一個難點，而隨機思想正是通過對大量偶然現(xiàn)象的觀察與分析從而發(fā)現(xiàn)隱藏在其中的必然結果（概率），進而把握隨機現(xiàn)象．

掌握隨機思想的重要手段是隨機試驗，然而，大量重復試驗在教學過程中是很難實現(xiàn)的，而概率恰恰是大量重復試驗過程中隨機事件出現(xiàn)頻率的極限，這是教學中的一個難以解決的悖論．隨著計算機技術的發(fā)展，隨機模擬成為一個有效手段，例如著名的蒙特卡羅方法就是用來模擬隨機試驗的重要方法．不過對于目前的中學教師而言，把隨機模擬引進課堂可能不太現(xiàn)實．不妨簡單向?qū)W生介紹一下，利用計算機可以模擬隨機試驗，一些數(shù)學軟件如Mathlab就可以做這些事．另一個辦法是結合學生的生活經(jīng)驗，例如不會有學生懷疑投擲硬幣時出現(xiàn)正反面的可能性不同，在此基礎上說明，如果進行大量投擲，正面朝上的頻率會越來越接近1/2，即正面朝上的概率為1/2．雖然中學階段不可能向?qū)W生介紹大數(shù)定理，但通過這類簡單問題的闡述應該容易讓學生理解頻率與概率之間的不同．

（2）隨機方法．中學教材涉及的概率中的概念并不少，不僅介紹了隨機試驗、隨機事件、古典概型、幾何概型，甚至對隨機變量、二項分布、均值、方差、正態(tài)分布等都有介紹，但貌似缺少一點系統(tǒng)性與嚴謹性，讓人感覺有些凌亂．

直觀不等于不要嚴謹，例如某版教材是這樣介紹隨機事件的：“對于某個現(xiàn)象，如果能讓其條件實現(xiàn)一次，那么就是進行了一次試驗，而試驗的每一種可能的結果，都是一個事件．”這里的事件指的是什么事件？基本事件還是隨機事件？接著，教材以開始時的幾個例子說明什么叫必然事件，什么叫不可能事件，什么叫隨機事件．教材寫道：“在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機事件．”在古典概型一節(jié)又回過頭來定義什么叫基本事件，即“在一次試驗中可能出現(xiàn)的每一個基本結果稱為基本事件”．這個說法有失嚴謹，什么叫基本結果？與“每一個可能的結果”有什么不同？隨機事件與基本事件之間是什么關系？教材一概不提，這樣很容易讓學生如霧里看花般弄不清概念的內(nèi)涵．事實上，基本事件是一個相對概念，正如擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果把奇數(shù)用白色涂上，偶數(shù)用黑色涂上，每次投擲骰子有兩個可能的結果：“白色”或“黑色”，這與“奇數(shù)”或“偶數(shù)”本質(zhì)上沒有差別．

處理隨機現(xiàn)象的一般方法是什么？教材并未給予總結，眾所周知，“感知、歸納、抽象、鞏固、運用”是課堂教學的幾個基本環(huán)節(jié)，作為一個與其它數(shù)學分支有著完全不同思維方法的重要內(nèi)容，至少應該幫助學生梳理一下處理問題的基本方法．概念的定義也應該是嚴格的．那么概率的基本處理方法是什么？教師在一些實例的基礎上不妨幫助學生總結一下．有幾個基本概念是需要梳理清楚的：隨機現(xiàn)象、隨機試驗、隨機試驗所有可能的結果（樣本空間）、基本事件（樣本點）、隨機事件（樣本空間的子集）、頻率、概率、隨機變量、分布函數(shù)．盡管教材中沒有介紹分布函數(shù)，但既然提到了隨機變量，而且也介紹了一些特殊的概率分布，完全可以沒有難度地引入分布函數(shù)的概念．在此基礎上說明處理隨機現(xiàn)象的一般方法：（1）明確隨機現(xiàn)象或隨機試驗（隨機假設）；（2）確定問題的目標（要解決什么問題？即需要計算何種隨機事件的概率？）；（3）根據(jù)目標確定樣本空間（同樣的隨機試驗可能導致不同的樣本空間，所以問題的目標很關鍵）；（4）計算隨機事件的概率．如果按照這樣的處理方法，教材其實不必過分強調(diào)古典概型與幾何概型，只需要強調(diào)等可能性是針對什么試驗作出的假設就可以了，學生不僅不會對教輔材料中的隨機射線問題產(chǎn)生疑惑，甚至對于貝特朗問題的不同解答也能理解．總而言之，等可能性假設不過是一種特殊的隨機假設，只需根據(jù)隨機假設與問題的目標確定樣本空間與概率分布（分布函數(shù)）就可以了，這是處理概率問題的一般方法．

3 教材中值得商榷的一些問題

通過對某個版本教材的分析，感覺概率與統(tǒng)計的編寫存在許多有待改進的問題．從編寫體例看，教材中例子很多，但缺少嚴格的數(shù)學定義，雖然中學階段對概率的要求不高，尤其是隨機變量只做直觀解釋，但直觀不等于不要嚴謹，尤其是不能出現(xiàn)令人無法理解的概念．例如某教材是這樣引入隨機事件的．

3.1 隨機事件及其概率

3.1.1 隨機現(xiàn)象

觀察下列現(xiàn)象：

（1）在標準大氣壓下把水加熱到100℃，沸騰；

（2）導體通電，發(fā)熱；

（3）同性電荷，互相吸引；

（4）實心鐵塊丟人水中，鐵塊浮起；

（5）買一張福利彩票，中獎；

（6）擲一枚硬幣，正面向上．

這些現(xiàn)象各有什么特點？

（1）、（2）兩種現(xiàn)象必然發(fā)生，（3）、（4）兩種現(xiàn)象不可能發(fā)生，（5）、（6）兩種現(xiàn)象可能發(fā)生，也可能不發(fā)生．

在一定條件下，事先就能斷定發(fā)生或不發(fā)生某種結果，這種現(xiàn)象就是確定性現(xiàn)象．在一定條件下，某種現(xiàn)象可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，事先不能斷定出現(xiàn)哪種結果，這種現(xiàn)象就叫隨機現(xiàn)象．在自然界和人類社會的生產(chǎn)與生活中，存在著大量的確定性現(xiàn)象和隨機現(xiàn)象．

對于某個現(xiàn)象，如果能讓其條件實現(xiàn)一次，那么就是進行了一次試驗．而試驗的每一種可能的結果，都是一個事件．

可以看到，如果把（1）、（2）的條件各實現(xiàn)一次，那么一定出現(xiàn)“沸騰”與“發(fā)熱”的結果，“沸騰”與“發(fā)熱”都是一個事件．這種在一定的條件下，必然會發(fā)生的事件叫做必然事件．

當（3）、（4）的條件各實現(xiàn)一次時，“吸引”與“浮起”也都是一個事件，但這兩個事件都是不可能發(fā)生的．在一定條件下，肯定不會發(fā)生的事件叫做不可能事件．

當（5）、（6）的條件各實現(xiàn)一次時，“中獎”及“正面向上”也都是一個事件，但這2個事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生．在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做隨機事件．

必然事件域不可能事件反映的都是在一定條件下的確定性現(xiàn)象，而隨機事件反映的則是隨機現(xiàn)象．

以后用，，等大寫英文字母表示隨機事件，簡稱為事件．

…………

3.1.2 隨機事件的概率

前面已經(jīng)學習過用概率表示一個事件在一次試驗或觀測中發(fā)生的可能性的大小，它是在0~1之間的一個數(shù)，將這個事件記為，用()表示事件發(fā)生的概率．對于任意兩個隨機事件，()必須滿足如下基本要求：0≤()≤1．

怎樣確定一個事件發(fā)生的概率呢？

奧地利遺傳學家孟德爾用豌豆進行雜交試驗……

3.2 古典概型

有紅心1、2、3和黑桃4、5這5張撲克牌，將其牌點向下置于桌上，現(xiàn)從中任意抽取1張，抽到的牌為紅心的概率有多大？

若進行大量重復試驗，“用抽到紅心”這一事件的頻率估計概率，工作量較大且不夠準確．

有更好地解決辦法嗎？

如果把“抽到紅心”記為事件，那么“抽到紅心”相當于“抽到紅心1”“抽到紅心2”“抽到紅心3”這3中情況，而“抽到黑桃”相當于“抽到黑桃4”“抽到黑桃5”這2種情況，因為是任意抽取的，所以可以認為出現(xiàn)這5種情況的可能性都相等．

當出現(xiàn)抽到紅心1、2、3這3種情形之一時，事件B就發(fā)生了，于是()=3/5．

在一次試驗中可能出現(xiàn)的每一個基本結果稱為基本事件．如在上面的問題中，“抽到紅心1”即為一個基本事件．若在一次試驗中，每個基本事件發(fā)生的可能性都相同，則稱這些基本事件為等可能基本事件．

上面的問題具有以下兩個特點：

（1）所有的基本事件只有有限個；

（2）每個基本事件的發(fā)生都是等可能的．

將滿足上述條件的隨機試驗的概率模型稱為古典概型．

…………

先來分析一下上述基本內(nèi)容．教材首先定義了隨機事件：“在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做隨機事件．”在第二節(jié)又定義基本事件：“在一次試驗中可能出現(xiàn)的每一個基本結果稱為基本事件．”什么叫基本結果？基本事件與隨機事件之間是什么關系？教材一概沒有解釋．在定義古典概型時，教材利用統(tǒng)計意義下的概率來說明頻率與概率的關系：“若進行大量重復試驗，‘用抽到紅心’這一事件的頻率估計概率，工作量較大且不夠準確．”這句話實際是具體否定了這一做法，進而轉向等可能性事件，得到古典概型的定義．把概率的歷史來了個乾坤顛倒．如此處理的合理性是什么不得而知，至少這是對歷史的不尊重．眾所周知，統(tǒng)計意義下的概率來自貝努利，它的產(chǎn)生在古典概型之后，這個定義本身就存在邏輯循環(huán)的問題，現(xiàn)在再來一個乾坤顛倒，即使是學過概率的人恐怕也被繞暈了．如果中學教材不介紹互斥事件，按上述方法處理也還可以理解（互斥是基本事件的重要特征之一），可接著又在第四節(jié)介紹了互斥事件．這讓人無法通過教材理清邏輯關系．幾何概型的定義也顯得有些粗糙：

設是一個可度量的區(qū)域（例如線段、平面圖形、立體圖形等），每個基本事件可以視為從區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，區(qū)域內(nèi)的每一點被取到的機會都一樣；隨機事件的發(fā)生可以視為恰好取到區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點．這時，事件發(fā)生的概率與的測度（長度、面積、體積等）成正比，與的形狀和位置無關．把滿足這樣調(diào)價的概率模型稱為幾何概型．

這個定義應該來自數(shù)學辭海，什么叫區(qū)域？數(shù)學辭海是有定義的，但教材并沒有定義，正如在定義古典概型時沒有定義什么叫基本結果一樣．其次，將概率說成區(qū)域的“測度”之比在這里是否合適？也許在這里將“測度”換成“度量”更合適一些．幾何概型是古典概型的一種擴充，與古典概型的本質(zhì)差別在于幾何概型的樣本空間是無限的，因此就不能用樣本點的數(shù)量作為度量了．至于怎么度量無限的樣本空間則需要專門的理論，這就是公理化概率論中提到的測度．不管學生對概念的理解是否有難度，作為標準化教材，概念的定義應該是嚴格的，寧可在概念之后向?qū)W生作出適當解釋：由于涉及空間的度量問題，我們目前能做的僅限于部分幾何概型．

中學教材涉及的概率中的概念很多，在理科選修2-3中隨機變量、概率分布、獨立性、超幾何分布、二項分布、均值與方差、正態(tài)分布等無所不包，但依舊是例子加直觀描述．在人們的理解中，從感知性的例子到抽象化或符號化的數(shù)學概念與定理應該形成一個邏輯嚴謹?shù)耐暾R體系，數(shù)學概念的內(nèi)涵與外延應該是清晰明確的，遺憾的是，從某版教材中似乎沒有能看到這一點．

教材為了講超幾何分布與二項分布，花了相當?shù)钠榻B排列組合，達45頁之多，超幾何分布、二項分布則總共不過占據(jù)了6頁的篇幅，顯得有些頭重腳輕．當然，排列組合本身也是重要的內(nèi)容，作為一個獨立的知識點講授倒也無妨，但已超出這里談及的主題．

在條件概率部分，教材設計了一個思考題還是很好的：

思考：若事件與事件互斥，則(|)等于多少？

這個問題可以有效地幫助學生理解互斥事件與后續(xù)介紹的獨立事件之間的本質(zhì)不同．

但教材也有一個疏忽，首先給出了條件概率的一個描述性定義：

一般地，對于兩個時間和，在已知事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率，稱為事件發(fā)生的條件下事件的條件概率，記為(|)．

在通過一個具體的例子說明了條件概率與概率的關系之后便指出：

一般地，若()>0，則事件發(fā)生的條件下發(fā)生的條件概率是：(|)=()/()．

這個等式是定義還是定理？教材沒有明確說明，但從上下文（前面已經(jīng)給出了條件概率的描述性定義）顯然給讀者一種暗示：這是個定理．很遺憾，這是條件概率的數(shù)學化定義而非定理，雖然很多概率論教材也是通過若干具體問題說明條件概率滿足上面的等式，但似乎沒有一個概率論教材把它作為一個定理或命題．

既然教材花了大量篇幅介紹排列組合，那么貝努力試驗（二項式分布）的分析就不再是一件困難的事情，但教材又用了一個類似楊輝三角的圖給予分析，這對學生理解二項式分布能帶來什么幫助？它真的顯得更直觀嗎？直接用組合（教材的第二種方法）分析方法不夠嗎？教材在排列組合一章已經(jīng)介紹了二項式定理并給出了類似楊輝三角的二項式系數(shù)規(guī)律，這里完全沒必要重復這一做法．

選修2-3中還有一個值得商榷的問題：教材介紹了隨機變量與概率分布的概念，卻沒有介紹分布函數(shù)，然而，在后面的很多地方又使用了諸如(≤-1.49)、(0.57<≤2.3)之類的符號．如果學生能理解這些符號，就應該能理解分布函數(shù)，教材屢屢使用了分布函數(shù)卻偏偏諱莫如深，羞羞答答不好意思挑明一個概率中堪稱最重要的概念．分布函數(shù)是隨機事件與確定性數(shù)學方法之間的紐帶，雖然古典概型可以不涉及分布函數(shù)，但只要涉及無窮的樣本空間，就無法避開分布函數(shù)，即使是離散的情形也需要搞清楚分布列是什么．

4 隨機變量的嚴格化定義

大學教材對隨機變量的定義是公理化的，這個概念對于中學生或許有些抽象，但作為教師應該有所了解．

定義1：假設(Ω,,)是概率空間，是定義在Ω上的實值函數(shù)，即對任意∈Ω，()∈R，如果對任意∈R，{∈Ω|()<}∈，換言之，{|()<}是隨機事件，則稱是一個隨機變量．

隨機變量的本質(zhì)是將某種隨機現(xiàn)象量化，即賦予每個隨機結果（樣本點）一個實數(shù)值，然后將隨機事件通過該隨機變量的取值范圍來確定，從而可以采用數(shù)學手段進行處理．實際教學過程中，可以將上述定義中的3個要素具體化一些，例如，可以將定義修改成：

定義2：假設Ω是某個隨機試驗的樣本空間（基本事件全體），是隨機事件全體（Ω的子集，不一定是全部的子集），是Ω到實數(shù)域R的映射，即對任意樣本點∈Ω，()∈R，如果對任意∈R，{∈Ω|()<}都是隨機事件，即{∈Ω|()<}∈，則稱是一個隨機變量．

需要說明的是，教材將隨機變量與函數(shù)做類比是不合適的，雖然他們都是映射，但從隨機變量的本質(zhì)看，兩者不屬于同一范疇．事實上，隨機變量是樣本空間（基本事件）的“量化”，但由于基本事件（樣本點）具有不確定性，所以隨機變量的取值也是不確定的，然而隨機變量是將隨機試驗數(shù)學化的一個過程，或者說是對隨機試驗的符號化表達，是一個抽象過程．函數(shù)則是已經(jīng)抽象之后的數(shù)學模型，也就是說，已經(jīng)將現(xiàn)實中兩個確定性的事件進行了數(shù)學化，通過兩個事件之間的內(nèi)在關系確定數(shù)學化后的兩個量之間的內(nèi)在關系，如果兩個事件是變化著的，那么對應的量也是變化的，稱之為變量，兩個變量之間建立了某種關系之后，就稱它們有函數(shù)關系，其中一個變量稱為自變量，另一個變量稱為因變量．從隨機變量與函數(shù)可以看出，隨機變量是從現(xiàn)實到符號的數(shù)學化過程，函數(shù)則是經(jīng)過了對現(xiàn)實的數(shù)學化之后兩個不同量之間的因果關系，也就是說利用數(shù)量之間的因果關系刻畫現(xiàn)實的因果關系．隨機變量與函數(shù)做類比僅僅抽取了兩者的表象特征——“映射”，而“映射”是一個非常寬泛的概念，用“映射”做類比涵蓋的可類比的東西很多，這種類比沒有任何實際意義．如果以“映射”作為類比的特征，不僅隨機變量可以與函數(shù)做類比，概率也可以與函數(shù)做類比，因為概率是隨機事件到[0, 1]區(qū)間的映射，這種類比有意義嗎？與概率有關的真正函數(shù)是分布函數(shù)，它是R到[0, 1]的映射．

兩個對象之間的比較應該遵循一定的原則，即兩者之間具有某種共同的本質(zhì)特征，這種特征的內(nèi)涵應該具有某種特殊性，否則概念的外延會變得很大，從而使得類比沒有價值．提取對象的何種特征則需要視問題的目標而定．例如一個動物學家可能以“哺乳”作為特征進行動物分類，在這種分類標準下，人、狗、貓、豬等都屬于一類．但他也可能以“語言”為特征進行分類，顯然，人與其它動物不能歸為一類，因為動物之間雖然也能傳遞信息，但沒有與人一樣的書面語言，口語也不發(fā)達．所以類比的標準非常重要．就隨機變量而言，如果一定要將它與某個數(shù)學概念做類比，該提取何種特征才是合適的？這就要看隨機變量從何而來，為了解決什么問題，這樣才有可能找到合適的類比對象．如前所說，隨機變量是現(xiàn)實與數(shù)學之間的一座橋梁，是隨機現(xiàn)象的量化表達，這是隨機變量的本質(zhì)特征，與之做類比的數(shù)學概念自然也應該具有這種特征．一個可以與之類比的數(shù)學概念就是“變量”，因為變量也是一種映射，它是現(xiàn)實到某個數(shù)集的映射，其本質(zhì)是將現(xiàn)實中的確定性事件數(shù)量化，從而通過不同量之間的內(nèi)在關系（函數(shù)）反映現(xiàn)實中不同事件之間的內(nèi)在關系，這樣的例子比比皆是．只不過在函數(shù)論中掩蓋了變量的本質(zhì)特征，尤其是自變量的本質(zhì)特征，一般的微積分教材不像引入隨機變量一樣引入變量，而是直接假定自變量在某個實數(shù)域內(nèi)變化．

在定義了隨機變量概念后，不妨回過頭來用隨機變量描述有限的概率空間，這樣可以強化學生對隨機變量的理解．假設Ω是具有個點的樣本空間，是Ω的子集全體（它有多少元素？），記Ω={1,2,…,a}，令(a)=，則對任意∈R，{a∈Ω|(a)<}顯然是Ω的子集，就是有限概率空間上的隨機變量．

如何用隨機變量描述古典概型？假設古典概型的樣本空間為Ω={1,2,…,a}，可以定義隨機變量為：(a)=，=1, 2,…,．

顯然，

在貝特朗問題中，隨機變量顯然是弦長，按照3種不同的理解，第一種解答的樣本空間是圓內(nèi)任意弦的中點，第二種解答的樣本空間是與一條固定直徑垂直的弦之中點，第三種解答的樣本空間是弦與圓過弦一個端點的切線的夾角．在第一與第三種情形，隨機變量都是多對一的映射，在第二種情形，隨機變量是一對一的映射．只要隨機變量出現(xiàn)多對一的情形，就有可能導致度量方法的不同，歧義就無法避免．因此，在樣本空間沒有明確定義的情況下，避免出現(xiàn)歧義的有效方法也是合理的方法是根據(jù)目標確定合適的樣本空間，使得隨機變量是從樣本空間到實數(shù)域的一對一映射，只要隨機性不發(fā)生變化，目標（隨機事件）不發(fā)生變化，盡管樣本空間可能不同，但不同的樣本空間可以做一對一的相互轉換，所以不會產(chǎn)生歧義．貝特朗問題的第二種解答中，既可以取樣本點為與一條固定直徑垂直的弦，也可以取樣本點為弦長，雖然得到的是不同的樣本空間，而且兩種不同的樣本空間導出了兩個不同類型的概率問題，前者是幾何概型，后者是非幾何概型，但答案是一樣的．

5 要不要分布函數(shù)

中學教材介紹隨機變量但不介紹分布函數(shù)多少有點令人費解，不介紹分布函數(shù)緣何要介紹隨機變量？因為隨機變量與分布函數(shù)是兩個不可分割的概念，正是因為有了隨機變量，使得隨機事件可以用隨機變量來表示，從而可以方便地表示隨機事件的概率分布，即分布函數(shù)，換句話說，隨機變量與分布函數(shù)是一個有機的整體．相對于教材很多后續(xù)的概念，分布函數(shù)并不顯得更難理解，而且教材中很多概率問題的計算實際上暗含了分布函數(shù)的概念，一層窗戶紙為什么不直接捅破呢？例如教材在介紹分布列時使用了諸如(2<<5)的表達式，為什么不稍微純粹一點，把分布函數(shù)的概念引出來？與教材很多內(nèi)容的風格類似，“生活化”的“雜質(zhì)”把概率的“數(shù)學味”沖淡了很多，如此處理真的可以降低學生對概率理解的難度嗎？恐怕未必．反而是五花八門的“生活化”例子有些讓人眼花繚亂，把本質(zhì)的東西給淹沒了．有了隨機變量的“數(shù)學化”定義，分布函數(shù)的定義也就水到渠成了．

定義3：假設隨機試驗的樣本空間為Ω，是定義在Ω上的隨機變量，稱()={<}={∈Ω|()<}，∈R為的分布函數(shù)．

不同的隨機變量對應的分布函數(shù)用不同的字母表示，或者在分布函數(shù)左下角用對應的隨機變量標注以示區(qū)別，例如，隨機變量的分布函數(shù)記為F()，隨機變量的分布函數(shù)記為F()．

在上述定義中，中學生對于符號{∈Ω|()<}的理解可能會有些困難，困難之處在于{∈Ω|()<}為什么代表一個隨機事件，但對于{<}應該沒有任何理解上的困難．

對于中學生而言，了解什么叫分布函數(shù)就可以了，至于分布函數(shù)的性質(zhì)可以根據(jù)實際情況決定是否有所涉獵，但作為教師，應該清楚分布函數(shù)的基本性質(zhì)：

（1）對任意1<2，都有(1)<(2)（單調(diào)性）；

根據(jù)概率的性質(zhì)可知（1）是顯而易見的，但（2）與（3）的證明需要一點單調(diào)集合與測度的上下連續(xù)性等知識，雖然對于任何讀過大學數(shù)學專業(yè)的本科畢業(yè)生來說應該不是一件陌生的事，但考慮到時過境遷，學生時代的很多知識由于疏于使用可能早已忘卻，這也是情有可原的．至于分布函數(shù)的進一步性質(zhì)，例如什么樣的非負單調(diào)遞增函數(shù)是某個隨機變量的分布函數(shù)以及分布函數(shù)的結構就不是一般中學教師能夠搞明白的了，需要一點有界變差函數(shù)的專門知識才能搞清楚，中學教師可以作為一種興趣決定是否進一步在此方面鉆研下去．

[1] 蘇淳．概率論[M]．北京：科學出版社，2010：39-42．

[2] 盛驟，謝式千．概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用[M]．北京：高等教育出版社，2004：114．

Teaching Discussion on Some Concepts in Probability Theory for Middle School

LUO Li-ling, CAO Guang-fu

(Faculty of Mathematics and Information Science, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China)

This paper discussed some important concepts in the probability theory of middle school and the common problems in teaching. From the perspective of historical development, the article pointed out that the textbook should first systematically introduce the theory of probability, and on the basis of this, the statistics was introduced. The relationship between basic events and random events should be clarified, and the definition of the concept of the random variables should be strict. Especially, it was not suitable for the analogy between random variables and functions. The former was a quantitative representation of random phenomena, it was a mathematical process, the latter was the quantitative relationship after the quantification of different deterministic events. The two concepts were not in the same category, and the appropriate analogy of random variables was the deterministic variable. Meanwhile, it was pointed out that random thought and stochastic method were two important aspects of probability teaching value. In addition, some constructive suggestions for some carelessness in teaching materials were put forward, and it is pointed out that it was necessary to introduce distribution function into middle school classroom.

random event; sample space; random variables; distribution function

[責任編校：周學智]

2018–04–14

國家“萬人計劃”領軍人才、廣東省“特支計劃”、廣州市教育名家工作室聯(lián)合資助

羅荔齡（1979—），女，廣西臨桂人，博士生，主要從事數(shù)學教育研究．

G632

A

1004–9894（2018）02–0065–05

羅荔齡，曹廣福．中學數(shù)學部分概率內(nèi)容的問題與建議[J]．數(shù)學教育學報，2018，27（2）：65-69．