漸開線拓?fù)湫扌锡X面空間評價方法

廖志軒, 汪中厚, 劉欣榮, 曹 歡, 孫奇楠

(上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 上海 200093)

齒輪作為傳動系統(tǒng)中重要的基礎(chǔ)元件之一，直接影響傳動機(jī)構(gòu)的可靠性、振動與噪聲等性能指標(biāo)。采用拓?fù)湫扌蝸砀纳讫X輪的傳動性能已成為一種發(fā)展趨勢，而精確測量與評價拓?fù)湫扌锡X面是提高齒輪質(zhì)量的重要手段。

目前通過齒面測量數(shù)據(jù)對齒輪進(jìn)行評價的方法主要有3種：第一種是SPC(statistical process control)方法[1-2]，該方法可以檢測加工過程的穩(wěn)定性，但沒有分析加工誤差的來源[3]；第二種是基于ISO1328.1的齒輪精度標(biāo)準(zhǔn)的評價方法[4]，該方法在評價齒形偏差與螺旋線偏差時僅以一條測量線的偏差來評價整個齒面的加工誤差；第三種是GPS(geometrical product specification and verification)方法[5]，該方法尚處于起步階段，對于復(fù)雜零件的應(yīng)用還不成熟。現(xiàn)有的評價方法主要采用單項誤差的評價方法，對拓?fù)湫扌锡X面的評價尚不成熟[6]。

隨著拓?fù)湫扌锡X面技術(shù)的不斷發(fā)展，齒面的整體形貌特征越來越復(fù)雜，為了更加全面地檢測拓?fù)湫扌锡X面的加工誤差，王笑一、石照耀[7]提出了一種基于齒面全信息樣本和統(tǒng)計分析方法的齒輪精度新指標(biāo)的體系，可以完整地分析與評價拓?fù)湫扌锡X面。林虎等[8]運(yùn)用最小二乘法獲得與實際齒面匹配的理論齒面，由此來求得齒面拓?fù)湔`差、齒廓誤差以及螺旋線誤差。李剛、汪中厚等人[9-10]對數(shù)字化真實齒面的構(gòu)建進(jìn)行了深入研究。

本文在前人的基礎(chǔ)上提出一種齒面空間評價方法，該方法首先基于拓?fù)湫扌锡X面的成形原理，構(gòu)建理論拓?fù)湫扌锡X面模型；然后基于最小二乘法曲面擬合原理將獲取的采樣點(diǎn)差值擬合成實際齒面數(shù)學(xué)模型；最后將理論拓?fù)湫扌锡X面與實際拓?fù)湫扌锡X面相匹配，建立空間誤差評定模型。

1 漸開線拓?fù)湫扌锡X面數(shù)學(xué)模型

1.1 理論齒面成形原理

理論漸開線拓?fù)湫扌锡X面模型建立過程：(1)建立漸開線齒輪端面方程；(2)齒輪端面繞齒輪軸線做螺旋運(yùn)動形成漸開線螺旋面；(3)根據(jù)拓?fù)湫扌锡X輪空間接觸線形成原理得到接觸線方程；(4)通過機(jī)床各主軸空間運(yùn)動的疊加，加工出拓?fù)湫扌锡X面。

1.2 拓?fù)湫扌卫碚擙X面構(gòu)建

圖1 空間坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換示意圖

圖2 齒輪端面截形示意圖

圖3 拓?fù)湫扌问疽鈭D

為了便于分析拓?fù)湫扌锡X面，在齒輪上建立坐標(biāo)系Og-XgYgZg，其中Zg軸與齒輪軸線重合；在砂輪上建立坐標(biāo)系Ow-XwYwZw，其中Zw軸與砂輪軸線重合，a為齒輪軸線和砂輪軸線之間的最短距離，即中心距，兩軸線的夾角即為砂輪安裝角Σ，所建坐標(biāo)系如圖1所示。

齒輪坐標(biāo)系轉(zhuǎn)為砂輪坐標(biāo)系的公式為(1)，砂輪坐標(biāo)系轉(zhuǎn)為齒輪坐標(biāo)系的公式為(2)：

(1)

(2)

首先創(chuàng)建將齒輪端面方程沿著齒輪軸線做螺旋角為β的螺旋運(yùn)動，形成漸開線螺旋面。在磨削時，砂輪表面與齒輪螺旋面在空間接觸，接觸條件為：漸開線螺旋面的法線與砂輪旋轉(zhuǎn)表面的軸線相交。漸開線螺旋曲面的法線方程為

(3)

其中，(x,y,z)為齒輪空間螺旋面上的任意一點(diǎn)，(x1,y1,z1)為齒輪螺旋面與砂輪表面的接觸點(diǎn)，(nx,ny,nz)為漸開線斜齒輪螺旋面上的法向矢量。

齒輪端面截形如圖2所示，齒輪端面截形通過做螺旋參數(shù)為p的螺旋運(yùn)動形成齒輪螺旋面，得到齒輪螺旋面方程為式(4)，其中，ξy是端面上M點(diǎn)的矢徑方向與截形切線正方向間的夾角；δy是齒輪端面截形上M點(diǎn)位置的極角。

(4)

經(jīng)過變換并化簡得到接觸線條件式為

(5)

式中

n1=rycosξy·(a+pcotΣ)/p2,

n2=acotΣ/p+(rycosξy)2/p2，

根據(jù)拓?fù)湫扌锡X面的形成原理建立拓?fù)湫扌锡X面，如圖3所示。

2 漸開線拓?fù)湫扌螌嶋H齒面數(shù)學(xué)模型

2.1 擬合法構(gòu)建實際齒面

曲面構(gòu)建的方法主要分為兩種：擬合法和插值法。當(dāng)采樣點(diǎn)精度較高時，適合采用插值法；當(dāng)采樣點(diǎn)精度較低時，適合采用擬合法。為了排除可能存在的系統(tǒng)誤差，本文采用擬合法。

運(yùn)用最小二乘法不斷尋找距離采樣點(diǎn)偏差最小的點(diǎn)，在Matlab中，polyfit(x,y,n)函數(shù)實際上就是運(yùn)用最小二乘法的擬合原理，其中n越大，越接近離散點(diǎn)，但越不平滑。

2.2 實際齒面測量采樣

在建立空間實際齒面之前需要對齒面進(jìn)行采樣，本文通過對實際齒面的測量來構(gòu)建實際齒面。在某五軸三聯(lián)動磨齒機(jī)床上進(jìn)行，具體測量步驟：(1)對測頭中心進(jìn)行標(biāo)定，即確定測頭中心相對于齒輪坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置；(2)根據(jù)上述的標(biāo)定值以及齒輪的幾何尺寸，將測頭運(yùn)行到位于齒寬中心、齒輪分度圓處、齒輪軸心面處的位置；(3)根據(jù)上述操作確定測頭中心的位置，通過觸碰齒面，確定齒輪齒槽中心的位置；(4)根據(jù)公式(6)確定齒輪與機(jī)床主軸的聯(lián)動關(guān)系，使得測頭正好位于齒輪的齒槽中心，如圖4(a)所示；(5)從齒面的左端面開始依次進(jìn)行如圖4(b)所示的齒形測量。

(6)

(a)齒形 (b)整體齒面 圖4 齒面測量示意圖

2.3 實際齒面數(shù)學(xué)模型及精度分析

通過得到的采樣點(diǎn)構(gòu)建空間齒面數(shù)學(xué)模型，根據(jù)機(jī)床主軸與測頭之間的相對運(yùn)動關(guān)系，將測量點(diǎn)轉(zhuǎn)換到三坐標(biāo)系中。并通過擬合法建立實際齒面的模型。

曲面重構(gòu)技術(shù)是逆向工程中的核心技術(shù)之一。由于空間齒面中自變量x與y之間相互獨(dú)立，所以在空間曲面擬合時可以分開擬合二維曲線。首先依據(jù)殘差的定義，得出殘差的個數(shù)等于采樣點(diǎn)的個數(shù)，通過殘差分析提供的信息，分析采樣點(diǎn)是否可靠，以及采樣點(diǎn)的周期性變化和外界干擾情況[11]。然后根據(jù)Matlab中評價曲線擬合效果的參數(shù)，在曲面擬合的過程中，不同的數(shù)據(jù)適應(yīng)不同的擬合方法。為了尋找最佳擬合方法，Matlab中設(shè)定如下表1所示的參數(shù)來評價擬合效果，擬合殘差如圖5所示。利用Matlab中附帶的cftool曲面擬合工具，可以通過曲面擬合的方法得出除了采樣點(diǎn)以外的數(shù)值，選擇合適的曲面擬合算法，通過誤差參數(shù)來評定擬合效果。

圖5 殘差圖

參數(shù)說明分析SSE和方差、誤差平方和越接近于0擬合效果越好MSE均方差、方差均方差的值越接近于0擬合效果越好RMSE均方根、標(biāo)準(zhǔn)差均方根的值越接近于0擬合效果越好R-square確定系數(shù)反映線性化擬合的好壞,0～1之間,越接近1,表示方程的變量對函數(shù)的解釋越強(qiáng)

最后，從以上評價參數(shù)中選取一個參數(shù)SSE，研究該參數(shù)與擬合曲線效果的關(guān)系，假設(shè)曲線方程為

φ(x)=P(xi,a0,a1,…，an)，

(7)

構(gòu)造殘差平方和函數(shù)為

(8)

式(7)展開表示為

φ(x)=a0φ0(x)+a1φ1(x)+…+anφn(x)，

(9)

假設(shè)φ0(x),φ1(x)，…，φn(x)線性無關(guān)，將式(9)代入式(8)得：

(10)

對式(10)求導(dǎo)得：

(11)

將式(11)中部分式子標(biāo)記成

(12)

將式(12)代入式(11)得：

(13)

矩陣表示為

(14)

由式(14)得到解ai(i=0,1,2,…,n)，最后將解代入式(11)，得曲線擬合函數(shù)。

3 漸開線拓?fù)湫扌锡X面空間評價試驗

3.1 實驗齒輪基本參數(shù)

基于齒面誤差空間評價理論，以拓?fù)湫扌涡饼X輪為研究對象，通過實驗驗證齒面空間評價的優(yōu)勢。齒輪基本參數(shù)為：齒數(shù)19，齒寬70 mm，壓力角20°，法向模數(shù)5 mm，螺旋角20°，其余均為標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)。其中，拓?fù)潺X輪的修形方式為：在齒形方向折線修形，齒頂修形長度3 mm，齒頂修形量0.015 mm，齒根修形長度6 mm，齒根修形量0.01 mm；在齒向方向鼓形修形，最大鼓形量為0.02 mm。

3.2 實際齒面偏差

測量實際拓?fù)湫扌锡X輪的一個齒槽，根據(jù)獲取的采樣點(diǎn)，基于實際齒面構(gòu)建原理，構(gòu)建實際齒面數(shù)學(xué)模型。齒面誤差的定義為：采樣齒面與設(shè)計齒面之間的偏差；測量誤差的定義為：采樣齒面與實際齒面之間的偏差；加工誤差的定義為：實際齒面與設(shè)計齒面之間的偏差。由于本實驗在齒面測量之前已經(jīng)對測頭的徑向誤差進(jìn)行了補(bǔ)償[12]，提高了測量精度，本文不考慮測量誤差，將采樣齒面視為實際齒面[13]。如圖6(a)所示，是將實際齒面偏差去除修形量之后的整個齒面加工誤差。從圖6(b)中可以看出在齒根與齒頂?shù)牟糠旨庸ふ`差比較大。

(a)考慮修形量的齒面偏差云圖 (b)考慮修形量的齒面偏差等高線圖 圖6 考慮修形量的齒面偏差

3.3 提取單項誤差

空間評價體系還可以提取齒面上任意一條齒廓線的單項誤差，如圖3所示，將齒面分成左、中、右三個區(qū)域，依次表示為A區(qū)、B區(qū)、C區(qū)。將齒形誤差以圖表的形式顯示，如圖7所示。圖7(a)從左到右齒形偏差依次降低，僅修形初期修形量較大；圖7(b)從左到右齒形傾斜偏差逐漸升高，主要是由于修形改變中心距時引起的；圖7(c)齒形的形狀偏差較為穩(wěn)定。

圖7 全齒面誤差變化趨勢

4 結(jié) 論

本文提出的拓?fù)湫扌锡X面空間評價方法具有以下特點(diǎn)：

(1)針對現(xiàn)有單項誤差評定方法不能全面評價漸開線拓?fù)湫扌锡X面的問題，采用齒面重構(gòu)技術(shù)實現(xiàn)齒面空間評價方法。

(2)從空間層面上分析，實際齒面與設(shè)計齒面之間的偏差三維圖可以分析齒面的整體加工情況，從加工誤差的等高線圖中可以看出齒面修形的殘缺情況。

(3)從時間層面上分析，空間誤差評價體系還可以提取單項誤差，從齒廓偏差變化曲線圖中可以分析在齒面修形過程中的加工誤差變化。

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