基于Grümwald-letnikov的分數(shù)階積分圖像去噪算法

陳 莉

(陜西理工大學 物理與電信工程學院， 陜西 漢中 723000)

分數(shù)階積分理論誕生于300年前，在近年，隨著對其在信號分析處理領域的應用研究，發(fā)現(xiàn)分數(shù)階積分在衰減信號高頻信息的同時能夠保留低、中頻信息，因此可以被應用于圖像去噪，這一新的方法在近年成為研究熱點。

圖像去噪是圖像處理的重要步驟，經(jīng)典圖像去噪算法包括中值濾波去噪算法、均值濾波去噪算法、維納濾波去噪算法等基于濾波的去噪算法[1-3]。這些算法在去噪的同時圖像紋理細節(jié)信息丟失較多，造成圖像模糊，因此研究人員又提出了基于濾波的改進算法[4-6]，其主要目標是在去噪的同時盡可能保留圖像紋理細節(jié)信息。信號分數(shù)階積分的頻率特性是高頻成分被衰減的同時，甚高頻成分可以被非線性地保留，因此應用分數(shù)階積分去噪可以較好地保留圖像紋理細節(jié)信息。分數(shù)階積分圖像去噪算法的本質(zhì)是對圖像像素進行積分運算，其方法是構造積分模板，用模板與圖像進行卷積運算，實現(xiàn)圖像像素的積分，從而實現(xiàn)圖像去噪。

1 分數(shù)階積分定義及頻率特性分析

1.1 Grümwald-letnikov定義

Grümwald-letnikov是分數(shù)階微積分的數(shù)學定義，分階數(shù)為正表示分數(shù)階微分運算，分階數(shù)為負表示積分運算。分數(shù)階積分的Grümwald-letnikov定義[7]為

(1)

1.2 信號分數(shù)階積分的頻率特性分析[8-9]

已知信號f(t)的傅里葉變換為

(2)

根據(jù)傅里葉變換的積分性質(zhì)得到

其中v的取值小于0，得到信號的傅里葉變換：

(3)

圖1 分數(shù)階積分運算的 信號頻率特性曲線

分數(shù)階積分可以看成是廣義的調(diào)幅調(diào)相，振幅隨頻率成分數(shù)階冪指數(shù)變換，相位是頻率的廣義Hilbert變換。振幅特性是偶函數(shù)，相位特性是奇函數(shù)。

如圖1所示，當-11頻率段，分數(shù)階積分對高頻信號具有一定的衰減作用，分數(shù)階積分的分階數(shù)的絕對值增大時，高頻信號的衰減程度有所增大，說明分數(shù)階積分運算可以衰減高頻信號，實現(xiàn)圖像去噪；但隨著信號頻率的增大，頻率特性曲線平穩(wěn)，說明甚高頻成分可以被非線性保留，因此在應用分數(shù)階積分進行圖像去噪的同時可以非線性保留圖像邊緣細節(jié)信息。

2 分數(shù)階積分去噪算法構造

分數(shù)階積分去噪的本質(zhì)是對圖像像素進行積分運算，分數(shù)階積分去噪算法的構造本質(zhì)是從分數(shù)階積分數(shù)學定義出發(fā)，提取用于構造積分去噪模板的系數(shù)，將系數(shù)放入模板后，使用模板與待處理的含噪圖像卷積，通過卷積運算，實現(xiàn)圖像去噪。

算法實現(xiàn)步驟如下：(1)推導模板系數(shù)；(2)構造去噪模板；(3)模板與待去噪圖像卷積運算。

2.1 模板系數(shù)推導

根據(jù)分數(shù)階微積分Grümwald-letnikov定義，分階數(shù)v為負時，公式(1)數(shù)學表達式為積分運算，展開得到：

水平方向積分運算數(shù)學表達式為

(4)

垂直方向積分運算數(shù)學表達式為

(5)

對角方向積分運算數(shù)學表達式為

(6)

從公式(4)—(6)得到模板系數(shù)：

(7)

2.2 去噪模板構造

根據(jù)2.1節(jié)數(shù)學推導得到的模板系數(shù)，構造積分去噪濾波器模板。如圖2所示，為了達到較好的去噪效果，本文將得到的模板系數(shù)應用到濾波器模板的水平正方向、水平負方向、垂直正方向、垂直負方向及45°、135°、225°、275°對角方向，得到八方向的濾波模板，可以實現(xiàn)對含噪圖像8個方向的去噪處理。

(-v)(-v+1)/20(-v)(-v+1)/20(-v)(-v+1)/20-v-v-v0(-v)(-v+1)/2-v8-v(-v)(-v+1)/20-v-v-v0(-v)(-v+1)/20(-v)(-v+1)/20(-v)(-v+1)/2

圖2 分數(shù)階積分去噪模板

2.3 圖像去噪的卷積運算

用設計的分數(shù)階積分去噪模板與圖像進行卷積運算，可以實現(xiàn)對圖像的去噪處理[10]。卷積運算如式(8)：

(8)

3 算法去噪效果分析

3.1 加性高斯白噪聲下去噪效果

使用分數(shù)階積分算法處理含有加性高斯白噪聲的plane.bmp圖像，分階數(shù)v取值為-0.1、-0.3、-0.5、-0.7、-0.8、-0.9，處理效果如圖3所示。

圖3 高斯噪聲下分數(shù)階積分算法去噪效果圖

圖3所示的實驗結果可以表明：分數(shù)階積分算法可以實現(xiàn)對圖像的去噪，在去噪的同時保留圖像紋理信息；并且隨著分階數(shù)絕對值的增大，算法的去噪效果逐步提高，v=-0.9時，圖像去噪效果最好。

3.2 乘性噪聲下去噪效果

使用分數(shù)階積分算法處理含有乘性噪聲的qianbi.jpg圖像，分階數(shù)v取值為-0.2、-0.4、-0.6、-0.9，處理效果如圖4所示。

圖4 乘性噪聲下分數(shù)階積分算法去噪效果圖

圖4所示實驗結果表明：分數(shù)階積分算法在去噪時，很好的保留了圖像邊緣信息，圖像沒有因為去噪而變得模糊。隨著分階數(shù)絕對值的增大，圖像的去噪效果逐步提高，說明算法的去噪能力隨著分階數(shù)絕對值的增大而提高。

3.3 分數(shù)階積分去噪算法與經(jīng)典去噪算法效果對比

3.3.1 加性高斯噪聲下效果對比

對含有加性高斯白噪聲的hudie.jpg圖像，分別使用分數(shù)階積分去噪算法、經(jīng)典中值濾波算法和維納濾波算法處理，分數(shù)階積分算法的分階數(shù)v取值為-0.6，處理效果如圖5所示。

圖5 加性高斯白噪聲下分數(shù)階積分算法與經(jīng)典去噪算法效果對比

圖5所示的實驗結果表明：分數(shù)階積分去噪算法在高斯噪聲下的去噪效果與中值濾波算法及維納濾波算法相比，有明顯優(yōu)勢。分數(shù)階積分算法濾除了大部分噪聲，并且較好地保留了圖像的紋理細節(jié)信息，圖像在去噪處理后較清晰。中值濾波算法具備一定的去噪能力，但去噪處理后的圖像仍含有大量噪聲。維納濾波的去噪效果優(yōu)于中值濾波，但在經(jīng)過去噪處理后圖像中依然含有少量噪聲，且圖像的紋理信息存在丟失現(xiàn)象，邊緣變得模糊。

3.3.2 乘性噪聲下對比

對含有乘性噪聲的katong.jpg圖像，分別使用分數(shù)階積分去噪算法、經(jīng)典中值濾波算法和維納濾波算法處理，分數(shù)階積分算法的分階數(shù)v為取值為-0.6，處理效果如圖6所示。

圖6 乘性噪聲下分數(shù)階積分去噪算法與經(jīng)典算法去噪效果對比

圖6所示的實驗結果表明：分數(shù)階積分去噪算法在乘性噪聲下的去噪效果與中值濾波算法及維納濾波算法相比，有明顯優(yōu)勢；維納濾波的去噪效果優(yōu)于中值濾波。分數(shù)階積分去噪算法不僅濾除了大部分噪聲，并且圖像邊緣紋理信息保留較好，去噪處理后的圖像較清晰，沒有因為去噪丟失大量細節(jié)邊緣紋理信息。

4 結束語

分數(shù)階積分在圖像去噪方面的應用具有簡單性和高效性，可以在去噪的同時較好地保留圖像紋理信息，使得含噪圖像在去噪處理后邊緣紋理較清晰，圖像不模糊。

本文從頻率特性角度出發(fā)，分析了分數(shù)階積分應用于圖像去噪的可行性，從分數(shù)階積分數(shù)學模型出發(fā)，構造了八方向的分數(shù)階積分模板，即在4個水平、垂直方向的基礎上增加了4個對角方向的模板系數(shù)，用這樣的多方向模板與含噪圖像卷積運算，可以擴大圖像去噪處理范圍，更有效、更全面地去除圖像噪聲。但在使用分數(shù)階積分算法去噪時，分階數(shù)的取值沒有唯一確定，如果能針對不同紋理特點的圖像，自適應確定最佳分階數(shù)，將大大提高算法性能，這將是進一步研究的方向。

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