局部臨界周期分岔的若干進展

陳興武

(四川大學 數學學院, 四川 成都 610064)

1 引言及基本理論

平面中心型微分系統(tǒng)

(1)

的研究一直是微分方程定性理論及分岔理論(見文獻[1-2])的研究熱點,這里x,y∈R，P(x,y)和Q(x,y)是解析函數且P(0,0)=Q(0,0)=0.由經典結果[2]，系統(tǒng)(1)的平衡點O:(0,0)要么是中心，要么是焦點.此時的中心也稱為細中心，焦點也稱為細焦點.所以，系統(tǒng)(1)的平衡點O也被稱為中心- 焦點.經典的中心問題就是判定中心-焦點O在什么樣的參數條件下是中心.這是對平衡點類型的判定.

在分岔方面，系統(tǒng)(1)常常發(fā)生的Hopf分岔吸引了國內外眾多學者的關注.Hopf分岔是指當參數發(fā)生微小變化時，在系統(tǒng)(1) 的平衡點O充分小鄰域內產生出極限環(huán)的現象.這屬于傳統(tǒng)分岔研究中的一種，即在參數微小變化下微分系統(tǒng)相圖的拓撲結構發(fā)生變化.Hopf分岔與著名的希爾伯特第16問題有密切關系.迄今，系統(tǒng)(1) 在Hopf分岔的研究方面已有了豐富結果.而且，大部分的結果都是針對系統(tǒng)(1)的平衡點O是細焦點的情形，有少量結果是針對細中心的情形[3].對細中心的情形，系統(tǒng)(1)還存在另外一種分岔.這就是本文主要介紹的局部臨界周期分岔.

當平衡點O是系統(tǒng)(1)的細中心時，在相平面中圍繞O的是一族周期軌道.根據這族周期軌道中每條軌道的最小正周期，可以定義一個周期值函數.具體地，令Γ(r)是系統(tǒng)(1)的相平面內周期軌道族中經過點(r,0)的周期軌道，其中0

其中，所有pi(λ)是解析函數且滿足在收斂冪級數環(huán)R{λ}中

p2k+1∈(p2,p4,…,p2k),

其中,(p2,p4,…,p2k)是p2,p4,…,p2k在收斂冪級數環(huán)R{λ}中生成的理想.所以，p2k稱為第k階周期量.

由于周期值函數P(r,λ)的單調性等性質對系統(tǒng)(1)的定性分析和分岔研究極其重要，國內外眾多學者非常關注周期值函數P(r,λ)的研究.如果對所有充分小的r，周期值函數P(r,λ)恒為常數，也即所有階周期量都為0,則稱細中心O為等時中心.可見，等時中心是被一族具有相同最小正周期的周期軌道圍繞.判定細中心在什么樣的參數條件下是等時中心就是所謂的等時中心問題.如果O不是等時中心，則一定存在一個非負整數κ，使得

p0(λ)=…=p2κ(λ)=0,p2κ+2(λ)≠0,

這里p0(λ)定義為零函數.此時，稱O為κ重細中心.有時也稱等時中心為無窮重細中心.

周期值函數P(r,λ)的臨界點對應的周期值稱為臨界周期.給定參數值λ*∈Rm，如果對任意的>0及λ*的任意小鄰域W，存在點λ1∈W使得方程P′(ξ,λ1)=0在(0,)中有k個解，則稱k個局部臨界周期從對應于參數值λ*的細中心分岔出來.與傳統(tǒng)的分岔相區(qū)別的是：局部臨界周期分岔并不改變系統(tǒng)相空間內的相圖拓撲結構，僅僅是周期值函數的性質發(fā)生變化.

Chicone等[4]于1989年建立了局部臨界周期分岔的基本理論.

引理1.1[4]假設λ=λ*時，系統(tǒng)(1)的平衡點O是一個k重細中心,則至多k個局部臨界周期從O分岔出來.

由引理1.1知，細中心的重數是其分岔出局部臨界周期個數的一個上界.但是，這個上界是否可達還是未知.為了確定這個可達性，首先需要介紹如下無關性定義.

定義1.1[4]對一族連續(xù)函數fi:RN→R，i=1,…,l，如果

3) 滿足f1(μ″)=0,f2(μ″)≠0的點μ″的任意小鄰域內有點μ?，使得f1(μ?)f2(μ″)<0;

則稱f1,…,fl-1在μ*處與fl是無關的.

特別地，如果函數f1,…,fl是連續(xù)可導的，則根據定義1.1不難推導出：l個向量▽f1(μ*),…,▽fl(μ*)線性無關蘊含f1,…,fl-1在μ*處與fl是無關的，其中▽fi(μ*)表示μ*處的梯度向量.但反之不成立,即f1,…,fl-1在μ*處與fl無關不能導出向量▽f1(μ*),…,▽fl(μ*)線性無關.有了無關性定義，可以給出如下2個局部臨界周期分岔的基本定理.

定理1.1[4](有限重分岔定理)假設λ=λ*時，系統(tǒng)(1)的平衡點O是一個k重細中心,則至多k個局部臨界周期從O分岔出來.進一步，如果周期量p2,p4…,p2k在λ*處與p2k+2是無關的，則存在λ*附近的擾動，使得恰有j(j≤k) 個局部臨界周期分岔出來.

定理1.2[4](等時分岔定理)假設λ=λ*時，系統(tǒng)(1)的平衡點O是一個等時中心，且所有周期量都屬于p2,…,p2k+2在R{λ}λ*中生成的理想.其中R{λ}λ*是在λ*處收斂的冪級數環(huán),則至多k個局部臨界周期從O分岔出來.進一步，如果周期量p2,p4…,p2k在λ*處與p2k+2是無關的，則存在λ*附近的擾動，使得恰有j(j≤k)個局部臨界周期分岔出來.

自1989年Chicone等[4]建立局部臨界周期分岔的基本理論以來，局部臨界周期分岔越來越受到關注.而近十年來多項式代數及符號計算的發(fā)展更是極大地推動了局部臨界周期分岔的研究.本文將圍繞二次及三次多項式微分系統(tǒng)、Liénard系統(tǒng)、非多項式微分系統(tǒng)及剛性中心系統(tǒng)等，介紹局部臨界周期的若干結果及最新發(fā)展.

2 二次系統(tǒng)

當P(x,y)、Q(x,y)是二次齊次多項式時，系統(tǒng)(1)是二次多項式微分系統(tǒng).由文獻[5]，任何具有圍繞O的周期軌道的二次系統(tǒng)都可以經過坐標線性變換而化為Bautin系統(tǒng)

(2)

其中(λ1,…,λ6)∈R6.局部臨界周期分岔是在細中心的情形下考慮的.所以，限定λ1=0且(λ2,…,λ6)位于中心簇內,即

其中

B1:={(λ2,…,λ6)∈R5:λ4=λ5=0},

B2:={(λ2,…,λ6)∈R5:λ3=λ6},

B3:={(λ2,…,λ6)∈R5:λ5=

λ4+5λ3-5λ6=λ3λ6-2λ62-λ22=0},

B4:={(λ2,…,λ6)∈R5:λ2=λ5=0}.

在中心簇的基礎上，Loud于1964年給出了Bautin系統(tǒng)(2)的等時中心條件和有限重細中心的最大重數.

定理2.1[6]當Bautin系統(tǒng)(2)的平衡點O是有限重細中心時，其重數不超過2.Bautin系統(tǒng)(2)的平衡點O是等時中心當且僅當λ1=0且要么(λ2,…,λ6)=(0,…,0)，要么經過坐標線性變換原系統(tǒng)化為Loud系統(tǒng)

其中(F,D)=(1,0)或(2,-1/2)或(1/4,0)或(1/2,-1/2).具體地，Bautin系統(tǒng)(2)的平衡點O是等時中心當且僅當λ1=0且

其中

B1:={(λ2,…,λ6)∈R5:λ3-λ6=

λ4+4λ3=λ5+4λ2=0},

B2:={(λ2,…,λ6)∈R5:λ2=λ5=

λ6=λ4+3λ3=0},

B3:={(λ2,…,λ6)∈R5:λ2=λ5=

λ6=λ4+6λ3=0},

B4:={(λ2,…,λ6)∈R5:λ2=λ5=

λ3-4λ6=λ4+10λ6=0}.

通過對有限重細中心及定理2.1中給出的等時中心進行擾動分析，Chicone等[4]給出了二次多項式微分系統(tǒng)局部臨界周期分岔結果：

定理2.2[4]1) 如果二次多項式微分系統(tǒng)的平衡點O是一個有限重細中心，則至多2個局部臨界周期分岔出來.而且，存在參數擾動使得恰有j(j=1,2)個局部臨界周期分岔出來.

2) 從非線性的二次系統(tǒng)的等時中心至多分岔出1個局部臨界周期；線性等時中心在二次系統(tǒng)族中擾動時，至多2個局部臨界周期分岔出來.并且，這兩種情況的最大個數1和2 都是可達的.

3 三次系統(tǒng)

從上一章可見，二次多項式微分系統(tǒng)的局部臨界周期分岔已研究完整.然而，雖然三次多項式微分系統(tǒng)局部臨界周期分岔的研究吸引了眾多學者，但由于其中心問題至今都沒有得到完全解決，其局部臨界周期分岔僅對某些特殊的三次系統(tǒng)有研究結果.一般三次系統(tǒng)的局部臨界周期分岔問題還沒得到完全解決.在本章中，將對現有的三次系統(tǒng)的局部臨界周期分岔結果作介紹.1991年，李繼彬等[7]考慮了

(3)

即系統(tǒng)(1)中的P、Q為三次齊次多項式.他們給出了有限重細中心局部臨界分岔的結果，證明了存在參數擾動使得2個局部臨界周期分岔出來.緊接著，Rousseau等[9]繼續(xù)考慮系統(tǒng)(3)在Sibirskii形式下的情形,即

a30:=A1-A2-A3,a21:=3A4-A6,

a12:=3A2+A7-3A3-2A1,

a03:=A5-A4, b30:=A4+A5,

b21:=3A3+2A2+2A1,

b12:=A6-A3, b03:=A3-A2-A1.

注意，Sibirskii形式下的齊三次系統(tǒng)與系統(tǒng)(3)是等價的.寫為Sibirskii形式更為方便表示中心條件：

定理3.1[8]系統(tǒng)(3)的平衡點O是細中心當且僅當λ:=(A1,…,A7)∈S1∪S2∪S3，其中

S1:={λ:A1=A7=0},

S2:={λ:A3=A5=A6=A7=

4(A42+A22)-A12=0},

S3:={λ:A2=A5=A7=0}.

當λ∈S1(S2,S3)時，稱O是系統(tǒng)(3) 的第I(II,III)類細中心.通過對這3類細中心的分析，Rousseau等[9]證明了如下定理：

定理3.2[9]至多3個局部臨界周期從系統(tǒng)(3)的有限重細中心或線性等時中心O分岔出來;至多2個局部臨界周期從系統(tǒng)(3)的非線性等時中心O分岔出來.而且，這2種情況的上界3和2都是可達的.

上面齊三次系統(tǒng)(3)是實系統(tǒng)的形式.2003年，Romanovski和Han[10]考慮了齊三次系統(tǒng)的復形式也證明了定理3.2中關于等時中心分岔出臨界周期的結果.

對非齊次的三次系統(tǒng)，首先考慮約化Kukles系統(tǒng)

(4)

系統(tǒng)(4)的中心條件在下面定理中給出.

定理3.3[11]系統(tǒng)(4)的平衡點O是細中心當且僅當λ:=(a1,…,a6)∈K1∪K2∪K3∪K4，其中

K1:={λ:a4=a5=a6=a1+a3=0},

K2:={λ:a4+a3(a1+a3)=

a5-a2(a1+a3)=

a6(a1+2a3)-a32(a1+a3)=0},

K3:={λ:a2=a5=0},

K4:={λ:a1=a3=a5=0}.

在此基礎上，1997年Rousseau等[12]解決了系統(tǒng)(4)的等時中心問題和局部臨界周期分岔問題.

定理3.4[12]系統(tǒng)(4)的平衡點O是等時中心當且僅當

a1=a3=5=a6=a22-9a4=0.

定理3.5[12]1) 若λ∈K1，則系統(tǒng)(4)的細中心O是0重細中心，且無局部臨界周期從此細中心分岔出來;

2) 若λ∈K2K1，則系統(tǒng)(4)的細中心O的重數至多為2，且存在擾動使得恰有j(j≤2)個局部臨界周期從2重細中心分岔出來;

3) 若λ∈K3，則系統(tǒng)(4)的細中心O的重數至多為3，且存在擾動使得恰有j(j≤3)個局部臨界周期從3重細中心分岔出來;

4) 若λ∈K4，則系統(tǒng)(4)的細中心O的重數不大于2或為非線性等時中心，且存在擾動使得恰有j(j≤2)個局部臨界周期從2重細中心分岔出來.

定理3.6[12]1) 至多1個局部臨界周期從系統(tǒng)(4)的非線性等時中心O分岔出來，且存在產生1個局部臨界周期的擾動;

2) 至多3個局部臨界周期從系統(tǒng)(4)的線性等時中心O分岔出來.特別地，沒有局部臨界周期從K1中的擾動產生；至多2(3)個局部臨界周期從K2K4(K3K4)中的擾動產生；至多2個局部臨界周期從K4中的擾動產生，且存在恰好產生2個局部臨界周期的擾動.

三次可逆系統(tǒng)

(5)

是非常重要的一類具有中心O的三次系統(tǒng)，得到了廣泛關注.當系統(tǒng)(5)的對應二次系統(tǒng)是等時中心時，把系統(tǒng)(5)看作二次等時中心系統(tǒng)的擾動.由定理2.1知，此二次等時中心系統(tǒng)有4種情況.Zhang等[13]于2000年考慮了第4種情況，即系統(tǒng)

(6)

他們借助符號計算給出了其等時中心條件并證明了有限重細中心的最大重數是4.進一步，他們證明了如下定理.

定理3.7[13]對給定的k=1,2,…,4，系統(tǒng)的k重細中心分岔出至多k個局部臨界周期，且存在產生j(j≤k)個局部臨界周期的擾動.

2009年，Chen和Zhang[14]繼續(xù)考慮了三次可逆系統(tǒng)的臨界周期分岔問題.通過對剩余的3種情況逐一分析，在有限重細中心局部臨界分岔方面得到了和定理3.7一樣的結果.而且，對第一種情況的系統(tǒng)

(7)

證明了如下等時中心局部臨界周期分岔的結果.

定理3.8[14]系統(tǒng)(7)的等時中心分岔出至多3個局部臨界周期，且存在產生j(j≤3)個局部臨界周期的擾動.

其他類型的三次系統(tǒng)的局部臨界周期分岔也有一些結果，比如：2013年Chen等[15]考慮三次Kolmogorov系統(tǒng)

(8)

的中心問題及局部臨界周期分岔，給出了中心、等時中心條件，證明了至多2個局部臨界周期從系統(tǒng)(8)的有限重細中心或等時中心(a,b)分岔出來，且這2種情形下上界2都是可達的.陳挺等[16]和Huang等[17]分別研究了如下特殊三次系統(tǒng)

(9)

和一個Z2對稱三次系統(tǒng)

的局部臨界周期分岔，證明了至多3個局部臨界周期從系統(tǒng)(9)或系統(tǒng)(10)的有限重細中心分岔出來，而且上界3是可達的.

2015年，Fercec等[18]把實系統(tǒng)的臨界周期分岔理論化為復系統(tǒng)的對應理論，并利用計算機代數系統(tǒng)分別證明了至多3、2、3個局部臨界周期從下面3個特殊系統(tǒng)(復系統(tǒng)形式)分岔出來：

其中u∈C.

最近，Romanovski等[19]研究了廣義Riccati系統(tǒng)

(11)

的中心問題、等時中心問題、全局結構及有限重細中心的局部臨界周期分岔.他們給出了6類非線性情形的中心條件I1,…,I6，并對每一類細中心給出了如下分岔定理.

定理3.9[19]當中心條件I1(I2,…,I6)成立且系統(tǒng)(11)的細中心O的重數為有限重時，則其重數至多為3(0,0,3,2,2)，且存在擾動使得3(0,0,3,2,2)個局部臨界周期從3(0,0,3,2,2)重細中心分岔出來.

4 Liénard系統(tǒng)

本章介紹Liénard系統(tǒng)的局部臨界周期分岔進展.首先考慮無阻尼(保守)的Liénard系統(tǒng)

(12)

其中g(x)是多項式函數且使得O是細中心.顯然，系統(tǒng)(12)是一個哈密爾頓系統(tǒng)，其能量函數為

H(x,y):=y2/2+G(x),

定理4.1[4]如果

則至多n-2個局部臨界周期從系統(tǒng)(12)的細中心O分岔出來.而且，存在參數擾動使得恰有j(j≤n-2)個局部臨界周期分岔出來.

定理4.2[4]1) 如果

則至多1個局部臨界周期從系統(tǒng)(12)的細中心O分岔出來.而且，存在參數擾動使得恰有1個局部臨界周期分岔出來.

2) 如果

則至多2個局部臨界周期從系統(tǒng)(12)的細中心O分岔出來.而且，存在參數擾動使得恰有j(j≤2)個局部臨界周期分岔出來.

3) 如果

則至多4個局部臨界周期從系統(tǒng)(12)的細中心O分岔出來.而且，存在參數擾動使得恰有j(j≤3)個局部臨界周期分岔出來.

從定理4.2可見，當G(x)是一個6次多項式函數時，局部臨界周期分岔出的臨界周期個數上界是4.但是，此定理只能給出3是可達，但4是否可達仍然是未解決的一個問題.

在保守系統(tǒng)方面，陳興武等[20]于2009年考慮了一類n-1次的哈密爾頓系統(tǒng)

(13)

其中哈密爾頓函數

他們證明了如下局部臨界周期分岔結果.

定理4.3[20]從系統(tǒng)(13)的細中心O至多分岔出m-1個局部臨界周期.而且，存在參數擾動使得恰有j(j≤m-1)個局部臨界周期分岔出來.

對有阻尼的Liénard系統(tǒng)，Zou等[21]在2008年考慮了系統(tǒng)

(14)

給出了如下結果：

定理4.4[21]系統(tǒng)(14)的平衡點O是一個細中心當且僅當a2=b2=0或a2-a1b2=a3-a1b3=0;系統(tǒng)(14)的平衡點O是一個等時中心當且僅當a2=a3=b2=9b3-a12=0.而且，當O為有限重細中心時，其重數至多為2.

基于定理4.4中的中心條件及重數結果，可以得到如下局部臨界分岔定理.

定理4.5[21]1) 對每個k=1,2,至多k個局部臨界周期從系統(tǒng)(14)的k重細中心O分岔出來.而且，存在參數擾動使得恰有j(j≤k)個局部臨界周期分岔出來.

2) 從系統(tǒng)(14)的線性等時中心O至多分岔出2個局部臨界周期.而且，存在參數擾動使得恰有j(j≤2)個局部臨界周期分岔出來.

3) 從系統(tǒng)(14)的非線性等時中心O至多分岔出1個局部臨界周期.而且，存在參數擾動使得恰有1個局部臨界周期分岔出來.

2011年，對比系統(tǒng)(14)次數更高的Liénard系統(tǒng)

(15)

Huang等[22]給出了其中心條件、等時中心條件及細中心重數，并分析了有限重細中心的局部臨界周期分岔.

定理4.6[22]系統(tǒng)(15)的有限重細中心O的重數至多為2.對每個k=1,2,至多k個局部臨界周期分岔出來.而且，存在參數擾動使得恰有j(j≤k)個局部臨界周期分岔出來.

對次數更高的Liénard系統(tǒng)

Li[23]于2012年給出了其中心條件、等時中心條件并證明了存在三重細中心.在此基礎上，給出了等時中心和某些二重細中心的局部臨界周期分岔，證明了可以從二重細中心或等時中心分岔出2個局部臨界周期.

5 非多項式系統(tǒng)

上面幾章的局部臨界周期分岔針對的對象都是多項式微分系統(tǒng).本章介紹2類非多項式的解析微分系統(tǒng)的局部臨界周期分岔.

廣義Lotka-Volterra系統(tǒng)

定理5.1[25]系統(tǒng)(17)的有限重細中心O的重數至多為2.對每個k=1,2,至多k個局部臨界周期分岔出來.而且，存在參數擾動使得恰有j(j≤k)個局部臨界周期分岔出來.

定理5.2[25]當p=q=1/2時，系統(tǒng)(17)的細中心O是等時中心.進一步，對μ=1的情形，至多2個局部臨界周期分岔從等時中心分岔出來，且存在參數擾動使得恰有j(j≤2)個局部臨界周期分岔出來；對μ≠1的情形，至多1個局部臨界周期分岔從等時中心分岔出來，且存在參數擾動使得恰有1個局部臨界周期分岔出來.

2013年，Huang等[26]考慮了一類有理系統(tǒng)

(18)

的無窮遠平衡點.首先通過變換，他們把系統(tǒng)(18)的無窮遠平衡點轉換到一個7次多項式系統(tǒng)的原點，并最終給出了系統(tǒng)(18)的無窮遠點為有限重細中心的2類條件(C1)和(C2).當條件(C1)成立時，證明了細中心重數要么為0要么為2，且在局部臨界周期分岔中這個上界2是可達的；當條件(C2)成立時，證明了細中心重數至多為3.此時，至多k(k≤3)個局部臨界周期分岔從k重細中心分岔出來，且存在參數擾動使得恰有j(j≤k)個局部臨界周期分岔出來.

6 剛性等時中心擾動出臨界周期

考慮系統(tǒng)

(19)

其中Ti(r)稱為第i階周期分岔函數.如果

T1(r)≡…≡Tk-1(r)≡0,Tk(r)?0,

稱周期值函數P(r)是k階退化的.各階周期分岔函數的性態(tài)可以幫助獲得周期值函數P(r)的臨界點信息.具體地，如果P(r)是k階退化的，r*是Tk(r)的一個簡單零點，則存在唯一一個滿足

r*()→r*,→0

的臨界點r*().由于這個臨界點r*()是在r*的小鄰域中，而不一定是在0附近，所以這時的臨界周期分岔發(fā)生在周期環(huán)域里面，而不一定是前幾節(jié)說的原點附近.

2008年Cima等[27]研究了線性剛性等時中心的擾動系統(tǒng)

對滿足這個形式的可逆系統(tǒng)、哈密爾頓系統(tǒng)、Liénard系統(tǒng)等幾類特殊系統(tǒng)給出了臨界周期分岔的結果.緊接著，Gasull等[28]考慮了二次等時中心的擾動系統(tǒng)

(20)

其中(D,F)=(0,1),(0,1/4),(-1/2,1/2)或(-1/2,2).他們證明了如下臨界周期分岔結果.

定理6.1[28]在1階退化情形下，至多1個臨界周期從系統(tǒng)(20)的周期環(huán)域里分岔出來，且存在參數擾動使得恰有1個臨界周期分岔出來.

繼續(xù)針對二次等時中心的情形，Gasull和Zhao[29]考慮了二次剛性等時中心的擾動系統(tǒng)

(21)

和

(22)

定理6.2[29]在1(2或3)階退化情形下，至多1個臨界周期從系統(tǒng)(21)的周期環(huán)域里分岔出來，且存在參數擾動使得恰有1個臨界周期分岔出來.

定理6.3[29]在1階退化情形下，至多1個臨界周期從系統(tǒng)(22)的周期環(huán)域里分岔出來，且存在參數擾動使得恰有1個臨界周期分岔出來.

2011年，Chen等[30]考慮了n次齊次剛性等時中心在m次多項式擾動下的系統(tǒng)

(23)

其中

為了研究臨界周期分岔，他們給出了系統(tǒng)(22)的第1和第2階周期分岔函數的積分表達式.特別地，當(n,m)=(3,3)時，系統(tǒng)(22)經過一個坐標線性變換可化為

(24)

其中a=±1.

定理6.4[30]假設a=1(a=-1).

2) 系統(tǒng)(24)的周期環(huán)域內至多2個臨界周期，且存在參數擾動使得恰有2個臨界周期分岔出來.

2013年，Zhou等[31]在小參數的基礎上引入了另一個小參數λ，考慮了系統(tǒng)

和

給出了如下結果.

定理6.5[31]在1階退化情形下，系統(tǒng)(25)和系統(tǒng)(28)都存在參數擾動使得恰有3個臨界周期分岔出來.

2014年，Han等[32]對系統(tǒng)

(27)

給出了如下定理.

定理6.6[32]1) 當n=2時，系統(tǒng)(27)在1階或2階退化情形下至多分岔出1個臨界周期，在3階退化下為等時系統(tǒng).

2) 當n=3時，系統(tǒng)(27)在1階退化情形下至多分岔出1個臨界周期，在2階退化下至多分岔出5個臨界周期，在3階退化下為等時系統(tǒng).

3) 當n≥2時，系統(tǒng)(27)在1階退化情形下至多分岔出2[n/2]-1個臨界周期；當n≥3時，系統(tǒng)(27)在2階退化情形下至多分岔出3n-2[(n+2)/2]個臨界周期.

對系統(tǒng)

(28)

Peng等[33]給出了臨界周期分岔結果.

定理6.7[33]1) 系統(tǒng)(28)在1階或2階退化情形下至多分岔出2個臨界周期，而且這個上界2是可達的.

2) 系統(tǒng)(28)在3階退化情形下至多分岔出6個臨界周期.

3) 當a40()≡a22()≡a04()≡b31()≡b13()≡0時，系統(tǒng)(28)在任意階退化情形下至多分岔出2個臨界周期，而且這個上界2是可達的.

受文獻[31-32]的啟發(fā)，Han等[34]考慮了系統(tǒng)

(29)

和

其中

他們證明了如下臨界周期分岔定理.

定理6.8[34]1) 當n=k=2時，存在參數擾動使得系統(tǒng)(29)在1階退化情形下恰好有1個臨界周期.

2) 當n=2,k=3時，存在參數擾動使得系統(tǒng)(29)在1階退化情形下恰好有2個臨界周期.

定理6.9[34]1) 當n=k=2或n=2,k=3時，存在參數擾動使得系統(tǒng)(30)在1階退化情形下恰好有2個臨界周期.

2) 當n=2,k=4時，存在參數擾動使得系統(tǒng)(30)在1階退化情形下恰好有4個臨界周期.

3) 當n=k=3或n=3,k=4時，存在參數擾動使得系統(tǒng)(30)在1階退化情形下恰好有5個臨界周期.

2016年，Lu等[35]首先把系統(tǒng)(28)的臨界周期分岔結果從定理6.7的結論1中描述的“在1階或2階退化情形下至多分岔出2個臨界周期，而且這個上界2是可達的”推進到“在任意階退化情形下至多分岔出2個臨界周期，而且這個上界2是可達的”.然后，他們考慮了系統(tǒng)

給出了如下結果：

定理6.10[35]1) 當n=1時，系統(tǒng)(31)在1階退化情形下至多分岔出2個臨界周期，而且這個上界2是可達的.

2) 當n≥2時，系統(tǒng)(31)在1階退化情形下至多分岔出3n-1個臨界周期.

緊接著，Peng等[36]于2017年對系統(tǒng)

(32)

給出了如下結果：

定理6.11[36]1) 當n=3或4時，系統(tǒng)(32)在1階退化情形下至多分岔出2個臨界周期，而且這個上界2是可達的.

2) 當n=5時，系統(tǒng)(32)在1階退化情形下至多分岔出4個臨界周期，而且這個上界4是可達的.

3) 當n≥6時，系統(tǒng)(32)在1階退化情形下至多分岔出2[(n-1)/2]個臨界周期.

7 結束語

在前面幾章中，較為詳細地介紹了臨界周期分岔的大量研究結果.從技術上來講，臨界周期分岔主要需要對各階周期量進行分析，包括計算它們的代數簇、判斷它們之間的無關性以及確定它們在收斂冪級數環(huán)中生成理想的有限生成元等.從研究難度來講，臨界周期分岔與熟知的Hopf分岔是相當的.而其中最為困難的從等時中心分岔出臨界周期更是相當于從細中心分岔出極限環(huán)的研究難度.最根本的就是涉及到確定有限生成元的問題.這本身在代數上也是相當困難的一件事，而且沒有一般高效的方法.這就是等時中心分岔出臨界周期結論偏少的根本原因.已有的等時中心分岔出臨界周期的結果主要集中在剛性系統(tǒng).從研究的系統(tǒng)來講，目前主要針對低次的多項式微分系統(tǒng)和較為特殊的高次系統(tǒng).這主要是涉及到的大量符號計算所導致的.隨著計算機代數系統(tǒng)的發(fā)展，人們漸漸可以處理較多參數的符號計算，這使得越來越多的高次系統(tǒng)的臨界周期分岔被完整解決或部分解決.但是，總體上來講，臨界周期分岔的研究方法還沒有大的突破.比如，在判斷分岔出的臨界周期個數上界是否可達的時候往往需要判斷周期量的無關性，而無光性方法僅僅是判定上界可達與否的一個充分性的判定方法.方法的欠缺使得極大地依賴符號計算.所以，臨界周期分岔的發(fā)展急需新的方法.

[1]CHOWSN,HALEJK.MethodsofBifurcationTheory[M].NewYork:Springer-Verlag,1982.

[2]ZHANGZ,DINGT,HUANGW,etal.Qualitativetheoryofdifferentialequations[C]//TranslMathMonogr.ProvidenceRI:AmMathSoc,1992.

[3]CHRISTOPHERC,LIC.LimitCyclesofDifferentialEquations[M].Basel:Birkh?user,2007.

[4]CHICONEC,JACOBSM.Bifurcationofcriticalperiodsforplanevectorfields[J].TransAmMathSoc,1989,312(2):433-486.

[5]BAUTINNN.Onthenumberoflimitcycleswhichappearwiththevariationofcoefficientsfromanequilibriumpositionoffocusorcentertype[J].AmMathSocTransl,1954,100:1-19.

[6]LOUDWS.Behavioroftheperiodofsolutionsofcertainplaneautonomoussystemsnearcenters[J].ContrDiffEqns,1964,3:21-36.

[7] 林怡平，李繼彬. 平面自治系統(tǒng)的規(guī)范型與閉軌族周期的臨界點[J]. 數學學報,1991,34(4):490-501.

[8]MALKINKE.Criteriaforcenterforadifferentialequation[J].VolzhskiiMatemSbornik,1964,2:87-91.

[9]ROUSSEAUR,TONIB.Localbifurcationofcriticalperiodsinvectorfieldswithhomogeneousnonlinearitiesofthethirddegree[J].CanadMathBull,1993,36(4):473-484.

[10]ROMANOVSKIVG,HANMA.Criticalperiodbifurcationsofacubicsystem[J].JPhys:MathGen,2003,A36(18):5011-5022.

[11]CHRISTOPHERC,LLOYDNG.OnthepaperofJinandWangconcerningtheconditionsforacentreincertaincubicsystems[J].BullLondonMathSoc,1990,22(1):5-12.

[12]ROUSSEAUR,TONIB.LocalbifurcationsofcriticalperiodsinthereducedKuklessystem[J].CanJMath,1997,49(49):338-358.

[13]ZHANGWN,HOUXR,ZENGZB.Weakcentersandbifurcationofcriticalperiodsinreversiblecubicsystems[J].ComputMathAppl,2000,40(6):771-782.

[14]CHENXW,ZHANGWN.Decompositionofalgebraicsetsandapplicationstoweakcentersofcubicsystems[J].JComputApplMath,2009,232(2):565-581.

[15]CHENXW,HUANGWT,ROMANOVSKIVG,etal.LinearizabilityandlocalbifurcationofcriticalperiodsinacubicKolmogorovsystem[J].JComputApplMath,2013,245(6):86-96.

[16] 陳挺，黃文韜，馬皖川. 一類三次系統(tǒng)的細中心與局部臨界周期分支[J]. 中北大學學報(自然科學版),2014,35(5):499-503.

[17]CHENT,HUANGWT,RENDC.WeakcentersandlocalcriticalperiodsforaZ2-equivariantcubicsystem[J].NonlinearDyn,2014,78(4):2319-2329.

[18]FERCECB,LEVANDOVSKYYV,ROMANOVSKIVG,etal.Bifurcationofcriticalperiodsofpolynomialsystems[J].JDiffEqns,2015,259(8):3825-3853.

[19]ROMANOVSKIVG,FERNANDESW,TANGYL,etal.Linearizabilityandcriticalperiodbifurcationsofageneralizedriccatisystem[J].NonlinearDynamics,2017,90(1):257-269.

[20] 陳興武，李燕，鄒蘭. 2n-1次Hamilton系統(tǒng)的臨界周期分岔[J]. 四川大學學報(自然科學版),2009,46(1):11-14.

[21]ZOUL,CHENXW,ZHANGWN.LocalbifurcationsofcriticalperiodsforcubicLienardequationswithcubicdamping[J].JComputApplMath,2008,222(2):404-410.

[22]XUQJ,HUANGWT.ThecenterconditionsandlocalbifurcationofcriticalperiodsforaLienardsystem[J].ApplMathComput,2011,217:6637-6643.

[23]LIHW.LocalbifurcationsofcriticalperiodsforquarticLienardequationswithquinticdamping[J].AdvDifferenceEqns,2012,2012:24.

[24]FARKASH,NOSZTICZIUSZ.GeneralizedLotka-Volterraschemesandtheconstructionoftwo-dimensionalexplodatorcoresandtheirLyapunovfunctionsviacriticalHopfbifurcations[J].JChemSocFaradayTrans,1985,81(10):1487-1505.

[25]WANGZX,CHENXW,ZHANGWN.Localbifurcationsofcriticalperiodsinageneralized2DLVsystem[J].ApplMathComput,2009,214(1):17-25.

[26]HUANGWT,ROMANOVSKIVG,ZHANGWN.Weakcentersandlocalbifurcationsofcriticalperiodsatinfinityforaclassofrationalsystems[J].ActaMathApplSinica,2013,29(2):377-390.

[27]CIMAA,GASULLA,SILVAPR.Onthenumberofcriticalperiodsforplanarpolynomialsystems[J].NonlinearAnal,2008,69(7):1889-1903.

[28]GASULLA,YUJS.Onthecriticalperiodsofperturbedisochronouscenters[J].JDiffEqns,2008,244(3):696-715.

[29]GASULLA,ZHAOYL.Bifurcationofcriticalperiodsfromtherigidquadraticisochronousvectorfield[J].BullSciMath,2008,132(4):292-312.

[30]CHENXW,ROMANOVSKIVG,ZHANGWN.Criticalperiodsofperturbationsofreversiblerigidlyisochronouscenters[J].JDiffEqns,2011,251(6):1505-1525.

[31]ZHOUJ,LIN,HANMA.Criticalperiodsofperturbationsofreversiblerigidlyisochronouscenters[J].AbstrApplAnal,2013,2013:481501.

[32]LIUC,HANMA.Bifurcationofcriticalperiodsfromthereversiblerigidlyisochronouscenters[J].NonlinearAnal:TMA,2014,95(1):388-403.

[33]PENGLP,FENGZS.Bifurcationofcriticalperiodsfromaquarticisochronouscenter[J].IntJBifurcChaos,2014,24(6):1450089.

[34]LIN,HANMA.Criticalperiodbifurcationbyperturbingareversiblerigidlyisochronouscenterwithmultipleparameters[J].IntJBifurcChaos,2015,25(5):1550070.

[35]LULHL,PENGLP,FENGZS.Numberofcriticalperiodsforperturbedrigidlyisochronouscenters[J].IntJBifurcChaos,2016,26(13):1650220.

[36]PENGLP,LULHL,FENGZS.Perturbedrigidlyisochronouscentersandtheircriticalperiods[J].JMathAnalAppl,2017,453(1):366-382.