具有非卷積型核的雙線性Littlewood-Paley算子的有界性

周 盼, 周 疆

(新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 新疆 烏魯木齊 830046)

1 引言及主要結(jié)果

定義1.1(非卷積型核) 設(shè)K(x,y1,y2)為定義在(Rn)3(〗(x,y1,y2):x=y1=y2}上的函數(shù),如果對所有的(y1,y2)∈(Rn)2,存在常數(shù)C>0,使得K(x,y1,y2)滿足以下3個條件:

(1)

(2)

(3)

其中,Γ(x)={(z,t)∈Rn+1+：|z-x|0}.

下面介紹Campanato和BMO空間的定義.

定義1.2[20]設(shè)1≤p<∞,-n/p≤α<1和f∈Lloc(Rn).如果對于任意的球B?Rn,有

定義1.3設(shè)f∈Lloc(Rn),如果

‖g(f1,f2)‖BMO(Rn)≤
C‖f1‖Eα1,p1(Rn)‖f2‖Ln/α1(Rn).

注1.1因為在文獻(xiàn)[21]中有如下的點態(tài)估計

因此以上的結(jié)果對于雙線性的Lusin面積積分S也是成立的.

下面給出證明過程中用到的一個主要引理.

引理1.1[22]設(shè)f∈Eα,p(Rn),1≤p<∞.如果β>0,-∞<α

其中C是僅僅依賴于n、α、β一個常數(shù).

2 定理1.1的證明

在定理1.1的證明過程中充分借鑒了文獻(xiàn)[18]中的步驟方法.下面給出定理1.1的證明.

定理1.1的證明對于f1∈Eα1,p1(Rn),f2∈Ln/α1(Rn),由文獻(xiàn)[18]的定理1.1的思想方法可知,當(dāng)g(f1,f2)(x0)在一點x0∈Rn處有限,則g(f1,f2)(x)在Rn上幾乎處處有限.

現(xiàn)在證明g(f1,f2)的有界性.設(shè)

E={x∈Rn:g(f1,f2)(x)<∞},

僅需證明對于任意的以x0∈E為中心,r為半徑的球B=B(x0,r),有

事實上,對于任意的x,y∈B,設(shè)r=|x-y|,通過核的條件(1)有

對于I2,由于B(x0,4r)?B(y,6r),同樣可以得到

對于I3,由核的條件(3)可得

對于I4,注意到

t+|x-y1|+|x-y2|～4r+|x0-y1|+|x0-y2|.

因此,當(dāng)α1>0,取0<ε<δ-α1,通過引理1.1和核的條件(3)可得

結(jié)合以上的估計,對于任意的球B有

至此,完成了定理1.1的證明.

3 定理1.2的證明

下面給出定理1.2的具體證明過程.首先給出一個注記.對于任意非負(fù)整數(shù)k,定義

J(k)≡{(z,t)∈Rn+1+:|z-x0|<
2k-2r,0

僅需要證明對于任意的以x0∈E為中心,r為半徑的球B=B(x0,r),有

事實上,對于任意的x,y∈B,設(shè)r=|x-y|,通過核的條件(1)有

對于H2,由于B(x0,4r)?B(y,6r),同樣可以得到

對于H3,由核的條件(2)可得

t+|z-y1|～r+|x0-y1|.

因此通過引理1.1有

對于H4,類似于H3的估計,同樣可得

|H4|≤C‖f1‖Eα1,p1(Rn)‖f2‖Ln/α1(Rn).

對于H5,通過核K的條件(2)可以得到

t+|z-y1|+|z-y2|～r+|x0-y1|+|x0-y2|.

因此,當(dāng)α1≥0時,取0<ε<δ-α1,通過引理1.1可得

對于H6,類似于H5的估計,同樣可得

|H6|≤C‖f1‖Eα1,p1(Rn)‖f2‖Ln/α1(Rn).

對于H8,由文獻(xiàn)[18]中引理3.2類似可得

類似于H5的估計,可以得到

由對稱性,同樣可以得到

結(jié)合以上的估計,對于任意的球B有

至此,完成了定理1.2的證明.

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