粘性Cahn-Hilliard方程的半線性Crank-Nicolson格式

李 娟

(南京審計(jì)大學(xué) 金審學(xué)院 基礎(chǔ)部, 江蘇 南京 210023)

ut-αuxxt+βuxxxx-(u3-u)xx=0,
x∈Ω, t>0,

(1)

邊界條件

u(x,t)=uxx(x,t)=0,
x∈?Ω, t>0,

(2)

初值條件

u(x,0)=u0(x), x∈Ω,

(3)

其中,Ω為有界區(qū)間,α≥0,β>0,u表示兩相流的濃度,u3-u是內(nèi)部固有化學(xué)勢,β為界面能量參數(shù),α表示粘性系數(shù).當(dāng)α=0時(shí),方程(1)為標(biāo)準(zhǔn)Cahn-Hilliard方程.本文考慮α>0的情形.

在研究玻璃和聚合物兩相分離的連續(xù)模型中,將分子間的摩擦力考慮進(jìn)來，提出了粘性Cahn-Hilliard方程.作為重要且應(yīng)用更廣泛的相場模型方程,學(xué)者已對(duì)其有了廣泛的研究.文獻(xiàn)[1]指出文獻(xiàn)[2]忽略了反映粘性影響的項(xiàng)αuxxt,提出了粘性Cahn-Hilliard方程;文獻(xiàn)[3]指出粘性Cahn-Hilliard可被看做相變的奇異極限;文獻(xiàn)[4]研究了該方程的亞穩(wěn)內(nèi)部層動(dòng)態(tài);文獻(xiàn)[5]對(duì)1、2、3維粘性Cahn-Hilliard方程進(jìn)行了理論分析;文獻(xiàn)[6]建立了該方程穩(wěn)態(tài)解的Morse分解和全局吸引子的結(jié)構(gòu);文獻(xiàn)[7]討論了帶有時(shí)間周期勢的粘性Cahn-Hilliard方程的解的存在性、唯一性和漸進(jìn)性;文獻(xiàn)[8]給出了基于邊界條件的最優(yōu)控制，并證明了方程最優(yōu)控制解的存在性;文獻(xiàn)[9]研究了方程中通道對(duì)小參數(shù)的限制;文獻(xiàn)[10]研究了帶有動(dòng)態(tài)邊界條件和雙障礙源的粘性Cahn-Hilliard方程的最優(yōu)控制問題;文獻(xiàn)[11]研究了非標(biāo)準(zhǔn)的粘性Cahn-Hilliard方程系統(tǒng)解的適定性和長時(shí)間行為;文獻(xiàn)[12-13]討論了黏性Cahn-Hilliard方程弱解的存在性.

2 差分格式的建立

下面對(duì)問題(1)～(3)建立差分格式.令v=u2ux,則方程(1)等價(jià)于

ut-αuxxt+βuxxxx+uxx-3vx=0,
x∈[0,L], t>0,

(4)

v=u2ux, x∈[0,L], t>0.

(5)

(6)

(7)

(8)

其中

為截?cái)嗾`差.將(7)和(8)式分別代入(6)式可得

(9)

(10)

其中

假定問題(1)～(3)的解是適當(dāng)光滑的,則存在正常數(shù)c0,使得

(11)

由邊界條件和初值條件可得

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

在上面差分格式中,可利用(14)式求得第一、二時(shí)間層的數(shù)值解.由于其為非線性方程組,故需迭代求解.當(dāng)un、un-1、un-2(n≥2)為已知時(shí),(15)式為關(guān)于un+1的線性方程組,可通過解線性方程組求得其余時(shí)間層的數(shù)值解.

3 差分格式解的先驗(yàn)估計(jì)

下面將給出差分格式解的先驗(yàn)估計(jì)式.設(shè)Vh={u=(u0,u1,…,uM),u0=uM=0}.對(duì)任意的u,v∈Vh,引入如下內(nèi)積和范數(shù):

為便于先驗(yàn)估計(jì)式的推導(dǎo),引入如下引理.

引理3.1[20]對(duì)任意的u,v∈Vh,存在

(u,δxv)=-(δxu,v), (u,xv)=-(xu,v),
‖xu‖≤‖δxu‖.

引理3.2[21]對(duì)任意的v∈Vh和p≥2,存在

‖v‖p≤μ(‖v‖1-γ‖δxv‖γ+‖v‖),

下面,對(duì)于差分格式的數(shù)值解un,給出‖un‖,‖δxun‖的先驗(yàn)估計(jì)式,進(jìn)一步得出‖un‖∞的有界性.

(18)

利用引理3.1可得

(19)

由內(nèi)積定義知

(20)

由引理3.1和柯西不等式可得

(21)

將(20)和(21)式代入(19)式可得

(22)

記

Fn=‖un‖2+α‖δxun‖2.

由(22)式可得

(23)

(24)

(25)

從而有

(26)

(27)

結(jié)合(24)和(27)式可知,對(duì)于0≤n≤N-1,(27)式均成立.

由離散的Gronwall不等式可得

從而有

(28)

(29)

根據(jù)上面定理,易證差分格式的解是有界的.在引理3.2中,取p=∞有

(30)

由定理3.1中的估計(jì)式(28)～(30)可得,存在不依賴于h、τ的正常數(shù)B,使得

‖un‖∞≤B, 0≤n≤N,

(31)

即差分格式的解是有界的.

4 差分格式的收斂性

(32)

(33)

(34)

(35)

定理4.1假設(shè)問題(1)～(3)的解適當(dāng)光滑.差分格式(14)～(17)式的解收斂于問題的精確解,收斂階為時(shí)間、空間方向二階收斂,即存在正常數(shù)c,使得

‖en‖∞≤c(τ2+h2), 0≤n≤N.

(36)

證明采用數(shù)學(xué)歸納法證明定理成立.由(35)式知,當(dāng)n=0時(shí),(36)式成立.

I) 當(dāng)n=1,2時(shí),‖en‖∞≤c(τ2+h2)成立.

(37)

由引理3.1可得

(38)

下面估計(jì)(38)式右端的第二項(xiàng)和第三項(xiàng).對(duì)于第二項(xiàng)有

(39)

從而有

(40)

對(duì)于第三項(xiàng)有

(41)

將(40)和(41)式代入(38)式,可得

(42)

由引理3.1和柯西不等式可得

將上式代入(42)式可得

(43)

令En=‖en‖2+α‖δxen‖2.由(43)式可得

其中

從而有

(44)

由(44)式可得

從而有

(45)

(46)

由引理3.2可得

即當(dāng)n=1,2時(shí),(36)式成立.

(II) 假設(shè)定理結(jié)論對(duì)0≤n≤m均成立,證明‖em+1‖≤c(τ2+h2)成立.

(47)

從而有

(48)

下面估計(jì)上式右端的第二、三項(xiàng).對(duì)于第二項(xiàng)有

及

成立,從而有

(49)

對(duì)于第三項(xiàng)有

(50)

將(49)和(50)式代入(48)式可得

(51)

注意到

并將其代入到(51)式可得

(52)

其中

在(52)式中,用l代替n,并對(duì)l從2到n求和可得

從而有

(53)

(54)

其中

令

由(53)式可得

由離散的Gronwall不等式可得

En+1≤c4exp(c5T)(τ2+h2)2, 2≤n≤m,

從而有

應(yīng)用引理3.2可得

即當(dāng)n=m+1時(shí),(36)式成立.由數(shù)學(xué)歸納法,定理結(jié)論成立.

5 數(shù)值算例

1) 驗(yàn)證差分格式的精度.由于無法計(jì)算該問題的精確解,為驗(yàn)證數(shù)值收斂階,定義如下最大模誤差

對(duì)于充分小的空間步長h,定義時(shí)間收斂階

對(duì)于充分小的時(shí)間步長τ,定義空間收斂階

表 1 差分格式(14)～(17)的最大模誤差和時(shí)間收斂階

表 2 差分格式(14)～(17)的最大模誤差和空間收斂階

6 小結(jié)

圖 1 當(dāng)β=0.5,α=0.5,0.05,0.005,0時(shí),(1)～(3)式的數(shù)值解曲面

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