三次B-樣條配點(diǎn)法定價(jià)歐式看跌期權(quán)

吳蓓蓓

(1. 同濟(jì)大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 上海 200092； 2. 上海電力學(xué)院 數(shù)理學(xué)院， 上海 200090)

期權(quán)，又稱選擇權(quán)，它賦予其持有者在一個(gè)特定的時(shí)間或之前以預(yù)先指定的價(jià)格買入或賣出標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利.期權(quán)價(jià)格是期權(quán)合約中唯一隨市場(chǎng)供求變化而改變的變量，它的高低直接影響到買賣雙方的盈虧狀況，是期權(quán)交易的核心問題.

對(duì)Black-Scholes模型[1]及其推廣形式進(jìn)行期權(quán)定價(jià)時(shí)，很難找到解析解.雖然歐式期權(quán)的解析解存在，但是復(fù)雜的定價(jià)表達(dá)式往往給計(jì)算帶來許多困難，因此人們更愿意采用高效的數(shù)值方法研究期權(quán)定價(jià)問題.常用的數(shù)值方法主要有：格點(diǎn)法、二叉樹法、Monte Carlo方法、有限差分法、有限體積法等[2-9].

B-樣條的概念最初是由Schoenberg[10]于20世紀(jì)40年代中期提出來的，如今已得到很大的發(fā)展.B-樣條具有幾何不變性、凸包性、保凸性、變差減小性、局部支撐性等許多優(yōu)良性質(zhì).B-樣條配點(diǎn)法構(gòu)造簡(jiǎn)單，數(shù)值精度高，易處理復(fù)雜的邊界問題，目前已成為求解偏微分方程的重要數(shù)值方法之一.

近年來，B-樣條配點(diǎn)法也被眾多學(xué)者應(yīng)用于期權(quán)定價(jià)問題的計(jì)算中，并受到了廣泛的關(guān)注和研究[11-15].本文重點(diǎn)研究Black-Scholes模型下歐式看跌期權(quán)定價(jià)的數(shù)值解.將三次B-樣條的基函數(shù)重新定義，對(duì)Black-Scholes方程空間離散采用改進(jìn)的三次B-樣條配點(diǎn)法，時(shí)間離散采用向前有限差分，并引入?yún)?shù)θ，建立混合差分格式.利用穩(wěn)定性分析的Von Neumann條件，證明了該格式當(dāng)1/2≤θ≤1時(shí)是無條件穩(wěn)定的.數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，本文改進(jìn)的三次B-樣條配點(diǎn)法對(duì)求解歐式看跌期權(quán)定價(jià)問題是有效的，提高了逼近精度，減少了CPU時(shí)間，且其Crank-Nicolson格式的數(shù)值結(jié)果要優(yōu)于隱式歐拉格式.

1 歐式看跌期權(quán)模型

考慮定義在區(qū)域Σ:{0≤S<,0≤t≤T}上的Black-Scholes方程：

(1)

終止條件為

f(S,T)=max(E-S,0),

(2)

其中,f(S,t)是歐式看跌期權(quán)價(jià)格，它隨著原生資產(chǎn)價(jià)格S和時(shí)間t的變化而變化,σ和r分別為波動(dòng)率和無風(fēng)險(xiǎn)利率(均假定為常數(shù)),T為到期日，E為執(zhí)行價(jià)格.

為了利用數(shù)值方法求解，把問題限制在一個(gè)有限區(qū)域

[Smin,Smax]×[0,T]，

其中Smin和Smax為適當(dāng)選取的非負(fù)數(shù).

補(bǔ)充邊界條件：

f(Smin,t)=α(t),f(Smax,t)=β(t),
t∈[0,T].

(3)

作變換S=ex，即x=lnS，則上述問題可轉(zhuǎn)化為求下列定解問題

(4)

它的邊界條件為

u(xmin,t)=α(t),u(xmax,t)=β(t),

(5)

其中,u(x,t)=f(S,t)，(x,t)∈[xmin,xmax]×[0,T]，

xmin=lnSmin，xmax=lnSmax.

2 B-樣條配點(diǎn)法

以空間步長(zhǎng)h和時(shí)間步長(zhǎng)τ將求解區(qū)域

[xmin,xmax]×[0,T]

劃分為均勻網(wǎng)格，網(wǎng)格點(diǎn)為(xj,tk),其中,

利用三次B-樣條基函數(shù)配點(diǎn)法可將方程(4)的逼近解表示成

(6)

其中,cj(t)是與時(shí)間t相關(guān)的未知量，Bj(x)是三次B-樣條基函數(shù)[16]，定義為

(7)

表 1 函數(shù)Bj(x)及其導(dǎo)數(shù)在節(jié)點(diǎn)處的值

記(xj,t)處的逼近解為Uj=U(xj,t)，根據(jù)表1，逼近解Uj及其關(guān)于x的一階和兩階導(dǎo)數(shù)分別為

Uj=cj-1+4cj+cj+1,

(8)

U(x0,t)=c-1+4c0+c1=α(t),

U(xN,t)=cN-1+4cN+cN+1=β(t).

(9)

從逼近(6)和(9)式中消除c-1和cN+1，重新定義B-樣條的基函數(shù)，將逼近解寫成下列形式

(10)

其中

(11)

且

(12)

在點(diǎn)(xj,tk)處取關(guān)于時(shí)間變量的一階向前差商，并引入?yún)?shù)θ(0≤θ≤1)，(4)式中的偏微分方程可以離散化為

(13)

當(dāng)θ=0時(shí)，(13)式為差分顯式格式；當(dāng)θ=1/2時(shí)，(13)式為Crank-Nicolson格式；當(dāng)θ=1時(shí)，(13)式為隱式歐拉格式.

校園建設(shè)中，對(duì)安全的重視不僅體現(xiàn)在對(duì)網(wǎng)絡(luò)設(shè)備的投入，而且還體現(xiàn)在對(duì)安全維護(hù)人員配備上。國(guó)內(nèi)大部分高校，沒有專門的編制去配備網(wǎng)絡(luò)安全人員。網(wǎng)絡(luò)中心的工作人員只是負(fù)責(zé)服務(wù)器、存儲(chǔ)設(shè)備的基本維護(hù)。導(dǎo)致一旦發(fā)生安全問題，心有余而力不足，不能快速處理。

將逼近解(6)式代入(13)式中，并利用(11)、(12)式及表1，可得下面矩陣形式

PCk=QCk+1+b,

(14)

其中，

且

這里P和Q是(N+1)×(N+1)階三對(duì)角矩陣，b是(N+1)階列向量，由邊界條件確定.

(i)Ux(xj,T)=g′(xj),j=0；

(ii)U(xj,T)=g(xj),j=0,1,…,N；

(iii)Ux(xj,T)=g′(xj),j=N.

對(duì)應(yīng)的矩陣形式為

ACM=f,

(15)

其中，

3 穩(wěn)定性分析

由(14)式，可以得到下列差分方程

(16)

現(xiàn)在采用Fourier分析方法來研究其穩(wěn)定性所需要滿足的條件.

令

(17)

將(17)式代入到(16)式中，化簡(jiǎn)后，可得增長(zhǎng)因子為

(18)

其中,

(19)

根據(jù)Von Neumann 條件，要保證(16)式穩(wěn)定，需滿足條件|G(θ)|≤1，即

(20)

其中,

易驗(yàn)證G(θ)在θ=0處取到極大值.在(20)式中令θ=0，于是有

(21)

從而解得

(22)

由此可知，當(dāng)滿足(22)式時(shí)，格式(16)是穩(wěn)定的.這表明，當(dāng)1/2≤θ≤1時(shí)，差分格式(16)是無條件穩(wěn)定的.

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

下面用數(shù)值實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證有效性.

考慮不支付紅利的4月期標(biāo)的資產(chǎn)為股票的歐式看跌期權(quán)，假設(shè)敲定價(jià)格為12美元，無風(fēng)險(xiǎn)利率為每年5%，波動(dòng)率為每年25%，用符號(hào)記為

T=0.3,E=12,r=0.05,σ=0.25,

且計(jì)算區(qū)域?yàn)閇1,21]×[0,0.3]，相應(yīng)的邊界條件為α(t)=Ee-r(T-t)-S,β(t)=0.

數(shù)值實(shí)驗(yàn)中相對(duì)誤差的計(jì)算公式為

圖1顯示了當(dāng)網(wǎng)格剖分為(M,N)=(200,200)時(shí)，采用本文三次B-樣條配點(diǎn)法 (θ=1/2) 計(jì)算該歐式看跌期權(quán)所得的(a)期權(quán)價(jià)格曲面和當(dāng)t=0時(shí)刻的(b)相對(duì)誤差.從圖中不難看出，數(shù)值結(jié)果是穩(wěn)定的.

當(dāng)網(wǎng)格剖分為(M,N)= (120,120)時(shí)，選取不同的θ值，對(duì)應(yīng)的相對(duì)誤差也不同，如圖2所示.相對(duì)誤差走勢(shì)基本相同，而隨著時(shí)間t減少，三次B-樣條配點(diǎn)法的Crank-Nicolson格式(θ=0.5)的整體誤差最小.

(b) 相對(duì)誤差

圖 2 不同θ值的相對(duì)誤差比較

將本文Crank-Nicolson格式與文獻(xiàn)[12]中差分格式的相對(duì)誤差和CPU時(shí)間作比較，如表2所示.本文的數(shù)值方法比文獻(xiàn)[12]的三次B-樣條配點(diǎn)法略提高了精度，且有效地減少了CPU時(shí)間.

表 2 相對(duì)誤差和CPU時(shí)間比較

5 結(jié)束語

本文利用重新定義基函數(shù)的三次B-樣條配點(diǎn)法定價(jià)Black-Scholes模型下的歐式看跌期權(quán).數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，該方法逼近精度高，求解快捷、簡(jiǎn)便.此外，其Crank-Nicolson格式的逼近效果要好于隱式歐拉格式.文中所構(gòu)造的數(shù)值方法在期權(quán)定價(jià)中是有效的.

[1] BLACK F, SCHOLES M. The pricing of options and corporate liabilities[J]. J Polit Econ,1973,81(3):637-659.

[2] COX J C, ROSS S, RUBINSTEIN M. Option pricing:a simplified approach[J]. J Financ Econ,1979,7(3):229-264.

[3] GAUDENZI M, PRESSACCO F. An efficient binomial method for pricing American put options[J]. Decis Econ Financ,2003,26(1):1-17.

[4] LIU Q, GUO S X. Variance-constrained canonical least-squares Monte Carlo:an accurate method for pricing American options[J]. N Am J Econ Financ,2014,28(322):77-89.

[5] CHAWLA M M, EVANS D J. High-accuracy finite-difference methods for the valuation of options[J]. Int J Comput Math,2005,82(9):1157-1165.

[6] FADUGBA S E, NWOZO C R. Crank Nicolson finite difference method for the valuation of options[J]. Pac J Sci Tec,2013,14(2):136-146.

[7] ANGERMANN L, WANG S. Convergence of a fitted finite volume method for the penalized Black-Scholes equation governing European and American option pricing[J]. Numer Math,2007,106(1):1-40.

[8] 甘小艇，殷俊峰. 二次有限體積法定價(jià)美式期權(quán)[J]. 計(jì)算數(shù)學(xué),2015,37(1):67-82.

[9] 甘小艇，易華. 有限體積元法定價(jià)歐式期權(quán)[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2016,39(3):327-331.

[10] SCHOENBERG I J. Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions[J]. Q Appl Math,1946,4:3-57.

[11] KADALBAJOO M K, TRIPATHI L P, KUMAR A. A cubic B-spline collocation method for a numerical solution of the generalized Black-Scholes equation[J]. Math Comp Model,2012,55(3/4):1483-1505.

[12] RASHIDINIA J, JAMALZADEH S, MOHEBIANFAR E. B-spline collocation approach to the solution of options pricing model[J].J Comput Sci Comput Math,2014,4(1):5-9.

[13] SERGHINI A, ElHAJAJI A, MERMRI E B, et al. Pricing of European options using a cubic spline collocation method[J]. Int J Appl Math Stat,2013,47(17):15-28.

[14] HUANG J, CEN Z D. Cubic spline method for a generalized Black-Scholes equation[J]. Math Prob Eng,2014,2014(3):1-7.

[15] MOHAMMADI R. Quintic B-spline collocation approach for solving generalized Black-Scholes equation governing option pricing[J]. Comput Math Appl,2015,69(8):777-797.

[16] MITTALR C, JAINR K. B-splines methods with redefined basis functions for solving fourth order parabolic differential equations[J]. Appl Math Comput,2011,217(23):9741-9755.