《數(shù)學(xué)通訊》問題219的準(zhǔn)確最值

首都師范大學(xué)附屬回龍觀育新學(xué)校

牛文政 (郵編：102208)

文[2]指出：該問題距離的最小值存在,雖不能求出其準(zhǔn)確值,但可求出其近似值，其近似值為2.46501，此時(shí)橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)近似于(1.563435 , 0.430376).

事實(shí)上，這個(gè)近似值是正確的，但一定不能求出其準(zhǔn)確值么？其實(shí)這個(gè)準(zhǔn)確值是可以得到的，雖然它表達(dá)起來有點(diǎn)困難，本文將給出其準(zhǔn)確值的表達(dá).

為了使本文完整，下面引用文[2]的部分解題過程(該過程是正確的)：

下面我們求f′(y)=0在(0,1)上存在唯一零點(diǎn)y=y0.

當(dāng)0

①

文[2]之后證明了方程①在(0,1)內(nèi)有唯一的實(shí)根y=y0.雖然上述過程是正確的，但下面論述卻有欠妥之處：“如上面這樣的一元四次實(shí)系數(shù)方程①,我們僅能判斷其是否有實(shí)根,卻不能求出所存在的實(shí)根的準(zhǔn)確值(理論值).由于這種方程的實(shí)根的準(zhǔn)確值(理論值)不能求出.因而PQ的最小值PQ0的準(zhǔn)確值(理論值)也就不能求出.對(duì)于本爭(zhēng)鳴問題,我們雖不能求出PQ0的準(zhǔn)確(理論)值,但可以通過近似計(jì)算求出它的精確到一定數(shù)位的近似值(列).”

我們知道，實(shí)系數(shù)一元四次方程是可以求解的，我們運(yùn)用費(fèi)拉里與卡爾丹的古典方法，便可以將方程①在的(0,1)內(nèi)的實(shí)根解出，過程如下：

方程①可化為：

y4+2y3=-9y2+2y+1，配方得：

(y2+y)2=-8y2+2y+1，取待定的z∈R，再配方：

②

令z=t+3，得：(t+3)3-9(t+3)2-36=0，即t3-27t-90=0，

令t=u+v,得：(u+v)(3uv-27)+u3+v3-90=0，

③

④

方程④無實(shí)數(shù)根，方程③在(0,1)上的實(shí)數(shù)根為：

由方程③知：

則

1 王淼生.“爭(zhēng)鳴”欄目問題219[J].數(shù)學(xué)通訊,2012(9):30

2 湯先健，湯敬鵬. “爭(zhēng)鳴”欄目問題219[J].評(píng)論，2013(1)