一個(gè)三元輪換不等式的手工證明

四川成都實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校

宿曉陽 (郵編：611731)

題1設(shè)a、b、c是正數(shù)，求證：

此題是一道已有的習(xí)題，國內(nèi)流行的三本不等式專著[1]、[2]、[3]都有證明.但[1]、[2]的證明是錯(cuò)誤的，[3]的證明利用了Vasile不等式.本文將給出此不等式的一個(gè)簡潔的手工證明.供參考與欣賞.同時(shí)為我們的英才教育提供一點(diǎn)新鮮血液！

先證明下列命題

題2設(shè)a、b、c是正數(shù)，則

①

其中∑表示輪換對稱和.

證明①式兩邊平方，易知①?

②

由排序不等式 ，有

于是由上式知，欲證明②式，即證明

③

所以③式?

④

欲證明④式，即證明

⑤

3x4-4x3y-14x2y2+8xy3+24y2≥0?

(x-2y)2(3x2+8xy+6y2)≥0.

再證明題1在①中作作變換(a，b，c)→(a2,b2,c2)，易知①式等價(jià)于

⑥

又由二元柯西不等式，有

(a4+b4)(a2+b2)≥(a3+b3)2，

⑦

于是比較不等式⑥，⑦即知題1成立。

注：筆者在二十多年前提出并證明的下面不等式(發(fā)表在《數(shù)學(xué)通報(bào)》數(shù)學(xué)問題欄目上)，

結(jié)合題1，我們提出下面不等式猜想：

設(shè)a、b、c是正數(shù)，n是正整數(shù), 則

1 楊學(xué)枝.數(shù)學(xué)奧林匹克不等式研究[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2009

2 范建熊[越南].隋振林,譯.不等式的秘密[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2012

3 韓京俊.初等不等式的證明方法[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2011