“想當(dāng)然”的結(jié)論并非是理所當(dāng)然的
——一道函數(shù)參數(shù)問(wèn)題的“去偽存真”

福建省泉州第一中學(xué)

張國(guó)川 (郵編：362000)

最近筆者所在學(xué)校進(jìn)行小題訓(xùn)練，一道選擇題的錯(cuò)誤率之高引起筆者的關(guān)注，過(guò)后對(duì)該題進(jìn)行深入思考，理順了錯(cuò)誤的根源，完成試題解答.

1 錯(cuò)因分析,避免重蹈覆轍

錯(cuò)解1

則cotx∈(0,1],故a<0.沒(méi)有正確選項(xiàng),原因何在?

解后反思錯(cuò)解1的歸因是錯(cuò)誤地認(rèn)為:遞增函數(shù)與遞減函數(shù)的乘積必定是遞減函數(shù),該結(jié)論未必成立.以水塔進(jìn)水過(guò)程為例,假如水塔有兩個(gè)流通管道口,一個(gè)進(jìn)水口,一個(gè)出水口,當(dāng)進(jìn)水速度快于出水速度時(shí),水塔中的水平面一定是上升的,反之,當(dāng)出水速度快于進(jìn)水速度時(shí),水塔中的水平面一定是下降的.

錯(cuò)解2

2 撥亂反正,體驗(yàn)柳暗花明

正解1

為了避免陷入“小題大做”的陷阱,又能精準(zhǔn)選出正確答案,采用排除法的選擇題常用方法.

修正錯(cuò)解1的思路,仍然采用導(dǎo)數(shù)法，得

f′(x)=ex[sinx+cosx+a(cosx-sinx)]，

cosx-sinx<0,只需a<0就能滿足f′(x)>0,則f(x)單調(diào)遞增.觀察發(fā)現(xiàn)選項(xiàng)C,D均不含負(fù)數(shù),排除C,D,反觀選項(xiàng)A,B差異性在于是否包含1.檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)當(dāng)a=1時(shí),f′(x)=2excosx>0,選項(xiàng)A.滿足條件.

該解答采用估算法,特值檢驗(yàn)等辦法,通過(guò)排除不合題意選項(xiàng),選出正確選項(xiàng).

正解2

對(duì)上述正解1的導(dǎo)數(shù)法進(jìn)一步優(yōu)化,得

解后反思利用導(dǎo)數(shù)解決參數(shù)取值范圍的問(wèn)題,往往都要進(jìn)行分類(lèi)討論,為了避開(kāi)分類(lèi)討論的麻煩,常采用參變分離法,使得問(wèn)題快速解決.

正解3

對(duì)錯(cuò)解2的部分解答進(jìn)行修正,避開(kāi)“想當(dāng)然”的錯(cuò)誤,得到正解3,敘述如下:

3 步步剖析,構(gòu)建解題反思體系

在平時(shí)教學(xué)中非常重視學(xué)生的解題反思,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)做過(guò)的錯(cuò)題進(jìn)行分類(lèi)整理,做好錯(cuò)因分析記錄、經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)總結(jié)、解題方法歸納，建立數(shù)學(xué)錯(cuò)題集，形成個(gè)人數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)檔案.用好錯(cuò)題集有效避免同類(lèi)型題目“一錯(cuò)再錯(cuò)”，對(duì)提高數(shù)學(xué)成績(jī)很有幫助，也便于理解掌握解題學(xué)理論的應(yīng)用.

反觀本文試題解答過(guò)程,思路呈現(xiàn)清晰明朗,在錯(cuò)誤中尋找錯(cuò)因并尋求突破，尋找科學(xué)合理的解題辦法.發(fā)揮發(fā)散性思維的作用,解題時(shí)多角度思考,多維度拓展,建立知識(shí)間的緊密聯(lián)系,理解并清楚地掌握某種題型的解題步驟,通過(guò)解題熟練再現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，回籠知識(shí)形成體系,在解題中學(xué),解題中悟,在反思中成長(zhǎng),并加深對(duì)解題理論的理解，提高數(shù)學(xué)的解題能力,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

數(shù)學(xué)解題流程圖

數(shù)學(xué)主要靠解題鍛煉人的各種思維品質(zhì)，通過(guò)解題有利于加深對(duì)定理、定義的理解，因此研究解題方法十分必要.鍛煉思維的靈活度，學(xué)會(huì)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題是未來(lái)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要任務(wù)，而非通過(guò)大量的題型機(jī)械式訓(xùn)練，“題海戰(zhàn)術(shù)”不可取，“刷百題不如解一題”便是這個(gè)理，這是本文筆者極力推薦的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)價(jià)值觀.