立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題的思考

肖瞰臣

摘 要：將立體幾何轉(zhuǎn)化為平面幾何的解題方法是當(dāng)前較為常見(jiàn)的解題思路，然而在平常的解題過(guò)程中常常發(fā)生圖形轉(zhuǎn)換錯(cuò)誤的現(xiàn)象。本文針對(duì)立體幾何轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題展開(kāi)研究，以期在日后的學(xué)習(xí)過(guò)程中深刻掌握轉(zhuǎn)化技巧，提升解題速度，增強(qiáng)數(shù)學(xué)思維能力。

關(guān)鍵詞：立體幾何；平面幾何；轉(zhuǎn)化

前言

學(xué)習(xí)高中立體幾何，要求學(xué)生有足夠的空間想象能力，而把已知條件中的空間幾何體轉(zhuǎn)化為平面幾何圖可以大大降低題目難度，因此，充分研究立體幾何問(wèn)題如何轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題能夠加強(qiáng)立體幾何題型的解題能力，增強(qiáng)轉(zhuǎn)化思維在立體幾何中的應(yīng)用，于我們高中生而言具有積極意義。

一、立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題的價(jià)值

平面圖形的解題相對(duì)來(lái)講較為簡(jiǎn)單，而立體幾何問(wèn)題具有空間思維特性，需要不斷的進(jìn)行空間想象才能解決問(wèn)題。然而通過(guò)維度之間的轉(zhuǎn)換，將立體圖形轉(zhuǎn)變?yōu)槠矫鎺缀螆D形能夠降低解題難度，讓我們能在較短的時(shí)間內(nèi)找到解題思路。圖形的轉(zhuǎn)換思想也是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中必須掌握的技能之一，將特殊問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橐话銌?wèn)題，提升解題效率[1]。與此同時(shí)，也能夠增強(qiáng)邏輯思維能力與轉(zhuǎn)換能力，在日后的學(xué)習(xí)過(guò)程中，針對(duì)難度系數(shù)較大的數(shù)學(xué)問(wèn)題通過(guò)轉(zhuǎn)化思想簡(jiǎn)化問(wèn)題，進(jìn)而求得問(wèn)題答案。

二、具體應(yīng)用

（一）轉(zhuǎn)化思想在立體幾何中的應(yīng)用

1.簡(jiǎn)述轉(zhuǎn)化思想

究其根本便是從一個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)問(wèn)題，主要精髓是化繁為簡(jiǎn)、將抽象問(wèn)題具象化，這樣能夠大大減少解題時(shí)間以及精力，同時(shí)能夠提升正確率。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，立體幾何問(wèn)題學(xué)習(xí)起來(lái)較為困難，常表現(xiàn)為無(wú)法將其從三維空間圖形轉(zhuǎn)化為二維平面圖形，存在降維上的障礙，無(wú)法做到空間圖形平面化，抽象問(wèn)題具象化。在解題過(guò)程中缺乏連貫性，無(wú)法察覺(jué)其中聯(lián)系。

2.具體應(yīng)用

以平面角的大小，來(lái)解決直線與平面所成的角等空間角問(wèn)題。

比如，直線之間所成的角、直線與平面之間所成的角以及平面與平面之間所成的角。在解決該類問(wèn)題過(guò)程中合理利用轉(zhuǎn)化思想便能夠利用平面角代替空間角，再通過(guò)判定定理與相關(guān)性質(zhì)解決問(wèn)題。異面角的定義如下：過(guò)空間任意一點(diǎn)引兩條直線分別平行于兩條異面直線，它們所成的銳角（或直角）就是異面角。這種描述方式過(guò)于抽象，無(wú)法真正體會(huì)個(gè)中含義，必須用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言或圖形將其關(guān)系具體化，用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)量進(jìn)行刻畫。也就是用平面角來(lái)刻畫兩異面直線的“交叉”程度，用平面距離來(lái)刻畫兩異面直線的“相離”程度。兩條直線所形成的角通常不會(huì)大于90度，一旦超過(guò)90度也就不滿足異面角的定義。因此在空間上認(rèn)為異面直線的平行線所形成的角在90度以內(nèi)便是異面角。在計(jì)算時(shí)通過(guò)將異面直線進(jìn)行平移，進(jìn)而求得問(wèn)題答案。

例如：在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AA1=8。求異面直線B1C與A1C1所成角的大小，見(jiàn)圖1。

將空間角轉(zhuǎn)化為平面角，連接AC，因?yàn)樵搸缀误w為正四棱柱，所以AC與A1C1平行，則B1C與A1C1的夾角可以轉(zhuǎn)化成B1C與AC的夾角，故∠B1CA為異面直線B1C與A1C1的夾角。AB=BC=4，得出AC= ，AA1=BB1=8，AB1= ，∠B1CA= ，通過(guò)轉(zhuǎn)換思想將空間角轉(zhuǎn)換為平面角實(shí)現(xiàn)問(wèn)題求解。

（二）簡(jiǎn)化圖形法將立體幾何圖形變?yōu)槠矫鎺缀螆D形

立體圖形問(wèn)題中通常與平面圖形具有較大差異，因此在解題過(guò)程中建議先將其底面圖形展示出來(lái)，結(jié)合俯視方法尋找答案，借助斜二測(cè)畫法畫出空間幾何體的直觀圖。

例如，PO⊥平行四邊形ABCD，AC與BD相交于O，∠ADC為45度，AD=AC=1，PO等于2，M為PD中點(diǎn)，求得MA與平面ABCD所形成的角的正切值，見(jiàn)圖2。

根據(jù)已知條件，數(shù)量與位置關(guān)系都在底部圖形，所以只需要將底面圖形畫出來(lái)即可尋找到問(wèn)題答案。作出MH⊥BD，見(jiàn)圖3。即可證明MH垂直于平面ABCD，且H為OD的中點(diǎn)，MH=OP/2=1。

根據(jù)ABCD可以看出，其為兩個(gè)等腰三角形合并而成，因此能夠輕易得出AO=1/2，∠DAO=90。，OD= ，∠MAH即為所求角。AH=OD/2= ，在直角三角形AHM中，tan∠MAH=MH/AH= 。

在此題中，還需靈活使用題干條件中的中位線、等腰三角形等條件。在關(guān)于線面平行的證明題中，通常都需要確定空間位置關(guān)系。當(dāng)平面圖形中有三角形中點(diǎn)時(shí)可以考慮構(gòu)造中位線，充分利用中位線的性質(zhì)定理，將中位線等于底邊一半的大小關(guān)系等性質(zhì)融入解題過(guò)程中，進(jìn)而將空間圖形轉(zhuǎn)換為平面圖形[2]。

（三）其它應(yīng)用

除上述兩種方法外，還有如下轉(zhuǎn)換方法：

一是空間角的平面化，主要是指異面直線所形成的角、直線與平面所成的角以及平面之間所成的角。將空間角轉(zhuǎn)化為平面角時(shí)要根據(jù)已知理論與判定將之間聯(lián)系清晰展現(xiàn)，根據(jù)概念畫出有關(guān)的空間角，再轉(zhuǎn)化為平面角進(jìn)行解決。

二是空間距離平面化，立體幾何中的距離問(wèn)題通常都是兩點(diǎn)之間的距離，將空間距離平面化便是其理論依據(jù)。求直線的距離可以轉(zhuǎn)換為求其公垂線長(zhǎng)度，或直線平行于平面間的距離，或者求兩個(gè)平面之間的距離。都能夠?qū)⒖臻g距離平面化，進(jìn)而求得兩點(diǎn)之間的距離。

三是三垂線方法，平面的斜線與該平面內(nèi)的直線是否垂直通常都是空間問(wèn)題，而通過(guò)三垂線方法能夠?qū)⒖臻g問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，根據(jù)該斜線的垂直情況來(lái)判定其是否具有相關(guān)性質(zhì)，因此在空間幾何與平面幾何問(wèn)題中，通過(guò)互相轉(zhuǎn)化能夠輕易得出問(wèn)題的答案。

例如，已知兩條異面直線a，b形成夾角θ，公垂線段長(zhǎng)度為d，在a，b直線上分別取點(diǎn)E、F，設(shè)A1E為m，AF為n，求EF，見(jiàn)圖4。

此題可以看出主要求得兩條異面直線上的點(diǎn)之間距離，因條件比較分散且繁雜，因此需要將其轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題。根據(jù)異面角定義，作出a的平行線將a，b移動(dòng)至同一平面內(nèi)進(jìn)行解答，經(jīng)過(guò)條件的轉(zhuǎn)移，將相對(duì)分散的已知條件集中解決，使得空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題。

與此同時(shí)，在日常學(xué)習(xí)中，應(yīng)深入研究課本中的知識(shí)，挖掘空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的新型解題思路，將遇到的典型題型進(jìn)行總結(jié)，升華解題技巧。

結(jié)論

綜上所述，立體幾何問(wèn)題在轉(zhuǎn)換為平面幾何問(wèn)題的過(guò)程中，需要將空間思維平面化，同時(shí)充分利用平行、垂直等位置關(guān)系將立體圖形轉(zhuǎn)換為平面圖形。同時(shí)，盡可能簡(jiǎn)化立體圖形，根據(jù)問(wèn)題中的題設(shè)將分散的已知條件集中起來(lái)，將抽象問(wèn)題具象化，提升立體幾何問(wèn)題的解題能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]張梅花.立體幾何圖形教學(xué)三步曲[J].教育，2015（04）：62.

[2]邵文武.立體幾何問(wèn)題解決中的轉(zhuǎn)化方法[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2014（05）：34-35.