高中三角函數(shù)的學(xué)習(xí)方法及要領(lǐng)總結(jié)

王予

摘 要：三角函數(shù)是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，與其他內(nèi)容聯(lián)系緊密，牽涉較多，考查方式也靈活多變。為更好地掌握三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)，為日后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，本文針對(duì)高中三角函數(shù)的學(xué)習(xí)方法，結(jié)合自己的學(xué)習(xí)體會(huì)，進(jìn)行了總結(jié)，以期拋磚引玉。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；學(xué)習(xí)；要領(lǐng)

一、前言

三角學(xué)的起源是天文學(xué)，隨著航海與天文學(xué)的逐漸發(fā)展，變?yōu)榻裉斓娜呛瘮?shù)學(xué)。高中階段的學(xué)習(xí)中，三角函數(shù)是數(shù)學(xué)研究對(duì)象中必不可少的一項(xiàng)，由于其具備多種性質(zhì)，使得在眾多知識(shí)理論中均能夠用到該思想，為現(xiàn)代代數(shù)與幾何知識(shí)架起了溝通的橋梁[1]。三角函數(shù)源于生活，比如潮汐變化、月相變化等具有規(guī)律的周期性變化均能夠通過三角函數(shù)進(jìn)行描述。因此，三角函數(shù)的內(nèi)容能夠充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)源于生活的道理。當(dāng)我們意識(shí)到數(shù)學(xué)能夠更好地為生活服務(wù)，就可以培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，樹立起數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心。

在高中的數(shù)學(xué)課本中，三角函數(shù)的學(xué)習(xí)通常由概念定義開始。首先要把握好基礎(chǔ)題的運(yùn)用，再討論解題技巧進(jìn)而全面掌握各類題型，以此才能提升三角函數(shù)的學(xué)習(xí)水平。三角函數(shù)的知識(shí)具有較強(qiáng)的靈活性，因此加強(qiáng)對(duì)學(xué)習(xí)方法的研究并將要點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)，有利于三角函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)，學(xué)生更能起到舉一反三的作用。

二、三角函數(shù)學(xué)習(xí)方法與要點(diǎn)知識(shí)總結(jié)

（一）三角函數(shù)學(xué)習(xí)方法

對(duì)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)不應(yīng)死記硬背，而應(yīng)重視運(yùn)用能力與思維能力，通過公式、符號(hào)等特殊標(biāo)記對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行記憶。

1.靈活使用公式與符號(hào)

三角函數(shù)中的相關(guān)誘導(dǎo)公式較多，若僅憑機(jī)械記憶將難以做到消化所有知識(shí)點(diǎn)。因此應(yīng)根據(jù)公式與符號(hào)，靈活記憶知識(shí)點(diǎn)。根據(jù)誘導(dǎo)公式的特點(diǎn)，首先應(yīng)明確正弦、余弦函數(shù)在象限中的符號(hào)，例如：正弦公式sinα在一、二象限內(nèi)為正，而余弦公式cosα在一、四象限內(nèi)為正。由此總結(jié)出一全正、二正弦、三正切、四余弦的誘導(dǎo)公式口訣，并深入理解口訣含義。將相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)，便能夠充分利用簡(jiǎn)便算法得出答案。

例如：化簡(jiǎn)下列三角函數(shù)： 。

已知正弦的符號(hào)放進(jìn)去提出來都可以，而余弦符號(hào)有沒有都一樣，便可以了解 ，進(jìn)而將公式進(jìn)行簡(jiǎn)化，得到最后結(jié)果為 。

通過熟練計(jì)算將復(fù)雜函數(shù)簡(jiǎn)單化，進(jìn)而便能夠充分了解誘導(dǎo)公式。

2.借助圖像看本質(zhì)

三角函數(shù)具有一定的特殊性，且在認(rèn)知過程中較為注重圖像與數(shù)相結(jié)合的方法，即數(shù)形結(jié)合。所以要想學(xué)好三角函數(shù)，應(yīng)熟練掌握其圖像，由圖像看本質(zhì)，并找到其性質(zhì)，潛移默化地鍛煉了自主探究的能力。簡(jiǎn)單來講，就是先從圖像出發(fā)，由描點(diǎn)開始作圖，再到畫出整個(gè)定義域的圖像，仔細(xì)觀察圖像后總結(jié)相關(guān)性質(zhì)，再將此方法用于余弦函數(shù)上，動(dòng)手操作并掌握其相關(guān)圖像性質(zhì)。根據(jù)五點(diǎn)畫圖法將正弦函數(shù)與余弦函數(shù)畫出來，根據(jù)其在圖像上的走向，總結(jié)出其增減區(qū)間以及對(duì)稱抽，對(duì)稱中心等相關(guān)性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上，便能夠充分理解其性質(zhì)的真正內(nèi)涵。

3.數(shù)形結(jié)合思想學(xué)習(xí)三角函數(shù)

數(shù)形結(jié)合思想貫穿了整個(gè)高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，其精髓是將抽象的問題借助圖形具體化，化繁為簡(jiǎn)，以此解決復(fù)雜的問題。三角函數(shù)與其他函數(shù)的學(xué)習(xí)方法略有不同，如果說其他函數(shù)更偏向于方程，那么三角函數(shù)則更偏向于幾何。三角函數(shù)是由數(shù)到形的藝術(shù)。因此，在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)將其轉(zhuǎn)化為由形到數(shù)的運(yùn)算過程，既有數(shù)的精確又有形的輔助，這樣便能夠使得三角函數(shù)問題得到更加快速的解答。

例如：將函數(shù)y=cos2x+1的圖像所有縱坐標(biāo)不變，而橫坐標(biāo)拉伸原來的2倍，再向左移動(dòng)一個(gè)單位長度，向下移動(dòng)一個(gè)單位長度，求其圖像？

該題的解題方式是，首先根據(jù)三角函數(shù)的圖形變換性質(zhì)，分步驟解決。根據(jù)題目中拉伸原來2倍可得函數(shù)為y=cos2x+1，那么再向左移動(dòng)一個(gè)單位，得到函數(shù)為y=cos（x+1）+1，再向下移動(dòng)一個(gè)單位長度便可得到函數(shù)為y=cos（x+1）。最后利用其周期性性質(zhì)得到該周期為π，再進(jìn)行相關(guān)判斷便能夠得到最終答案。

4.等價(jià)轉(zhuǎn)換思想學(xué)習(xí)三角函數(shù)

等價(jià)轉(zhuǎn)換思想主要根據(jù)公式或性質(zhì)的相關(guān)變化，使得其中較難的三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為相對(duì)簡(jiǎn)單的問題，將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題。在三角函數(shù)中，等價(jià)轉(zhuǎn)換思想主要體現(xiàn)為用誘導(dǎo)公式將相對(duì)復(fù)雜的角簡(jiǎn)化為銳角三角函數(shù)形式，再根據(jù)升冪降冪等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，將復(fù)雜的三角函數(shù)形式轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的三角函數(shù)形式來進(jìn)行研究。

例如：方程為x2-3x+2=0的兩個(gè)根分別為tanα，tanβ則tan（α+β）的值為多少？

根據(jù)題意可知兩個(gè)根，再根據(jù)韋達(dá)定理可得兩根相加等于3，兩根相比等于2，那么便可以將正切函數(shù)恒等變形，最終得到相關(guān)答案為-3.

（二）三角函數(shù)要點(diǎn)知識(shí)總結(jié)

1.誘導(dǎo)公式中的簡(jiǎn)明記憶方法

第一，正弦sinα里的符號(hào)既可以提出來也可以放進(jìn)去，也就是說sin（-α）=-sinα，余弦cosα里的符號(hào)有無都可，即 cos（+-α）=cosα。

第二，正弦或余弦都是多個(gè)π就多一個(gè)符號(hào)，例如sin（+-π+α），或cos（+-π+α）=-cosα。而多兩個(gè)π時(shí)符號(hào)則沒有變化，也就可以理解為什么正弦、余弦的函數(shù)周期都為2π了。

第三，正余弦周期都為2π，因此在化簡(jiǎn)公式中可以將2π的整數(shù)部分去掉，看最后剩余的為π還是2π，僅為簡(jiǎn)化判斷。

第四，只要 便可以直接正余弦互變，符號(hào)問題則需要參考第一、第二以及第三條。

2.函數(shù)圖像與性質(zhì)總結(jié)

正弦函數(shù)的圖像根據(jù)五點(diǎn)作圖法畫出：x：0、 、π、 、2π，sinx：0、1、0、-1、0.可以看出圖像為交于π的曲線，且 為最高點(diǎn)， 為最低點(diǎn)，便可得出函數(shù)的周期性[2]。由其周期性便可以畫出正弦函數(shù)在定義域內(nèi)的圖像，并觀察其中性質(zhì)：

定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇-1，1]，周期為2π，奇偶性為奇函數(shù)，其對(duì)稱軸為： 。對(duì)稱中心為 。單調(diào)性為：?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間 ，單調(diào)遞減區(qū)間為 。

余弦函數(shù)的圖像也根據(jù)五點(diǎn)畫圖法作出， ，-1，0，1.根據(jù)圖形可看出相關(guān)性質(zhì)：定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇-1，1]。周期為2π，偶函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為 ，對(duì)稱軸為 ，對(duì)稱中心為 .

正切函數(shù)的圖像較為抽象，但也可從中總結(jié)出相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。定義域?yàn)?，其值域?yàn)镽，周期為π，奇函數(shù)，在 上為增函數(shù)，無減區(qū)間，無對(duì)稱軸，對(duì)稱中心為 。

三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)較多，以上只是其最基本的性質(zhì)。為更好地學(xué)習(xí)三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)，只有基礎(chǔ)打牢，才能深入研究其他較難問題。

三、結(jié)束語

學(xué)習(xí)三角函數(shù)要重點(diǎn)把握?qǐng)D像，并結(jié)合數(shù)的準(zhǔn)確值，來研究其性質(zhì)與相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。只有深入了解其性質(zhì)，才能在日后的學(xué)習(xí)中解決與三角函數(shù)有關(guān)的一切難題。

參考文獻(xiàn)：

[1]曹斯文.高中三角函數(shù)的學(xué)習(xí)方法研究[J].考試周刊，2017（84）：94.

[2]王元蕾.高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)解題方法與技巧分析[J].文理導(dǎo)航（中旬），2017（10）：14.