幾類張量空間的乘積基的結(jié)構(gòu)

唐西林，劉燕娜

（華南理工大學數(shù)學學院，廣東廣州510640）

由于相互無偏基在量子通信中起著重要作用，因此引起了人們對相互無偏基的關(guān)注。已知復向量空間Cd的相互無偏基個數(shù)小于等于d+1，當d為素數(shù)的方冪時，相互無偏基的個數(shù)可取得最大值［1］。然而，當d≥6且d為合數(shù)時，上界是否可以取得仍然是一個公開問題。特別地，當維數(shù)為6時，尚不清楚是否有超過3個相互無偏基，但這3個相互無偏基都是二體系統(tǒng)的乘積基的形式?；谶@一情況,很多研究者開始研究相互無偏乘積基［2-4］。2012年，Mcnulty等［3］討論了d=4，6的所有乘積基，且提出了局部等價變換的定義。2016年，Mcnulty等［2］提出了關(guān)于二體系統(tǒng)的乘積基的結(jié)構(gòu)猜想。2017年，筆者刻畫了d=2n 的乘積基的結(jié)構(gòu)［5］。

猜想 1［2］集合是空間 d1?d2的一組正交乘積基，當且僅當，|ai〉∈Cd1（i=1，2，…，d）這d個向量和|bi〉∈Cd2（i=1，2，…，d）這d個向量分別被拆分為Cd1的d2組正交基和Cd2的d1組正交基。

定義1［6］如果B中的每一個元素都是純乘積向量，那么復向量空間的一個正交基B稱為乘積基，其中 d=d1d2…dm。

1 m?n的乘積基的結(jié)構(gòu)

引理1空間3?3的任意正交乘積基等價于以下族的其中一個

（1）當|a1〉重數(shù)為3，B中第1個系統(tǒng)的態(tài)與|a1〉正交的態(tài)的個數(shù)小于等于5時，乘積基B=在|bi〉，i=4，5，…，9 中，總能找到一個態(tài)|bi〉需要與 C3的正交基正交，矛盾。因此當|a1〉重數(shù)為3時，只需要考慮B中第 1 個系統(tǒng)的態(tài)與|a1〉正交的態(tài)的個數(shù)等于 6 的情況。令i=5，6，…，9。

考慮|ai〉，i=5，6，…，9與|a1⊥〉正交的個數(shù)，當正交的個數(shù)為4或5時，至少有4個態(tài)相等，因此乘積基不存在。

當|ai〉，i=5，6，…，9 與|a1⊥〉正交的個數(shù)為 3 時，分析可以得到以下乘積基

當|ai〉，i=5，6，…，9 與|a1⊥〉正交的個數(shù)為 2 時，只有當|ai〉，i=7，8，9 與|a1⊥⊥〉正交的個數(shù)為 1時，存在以下正交乘積基

當|ai〉，i=5，6，…，9 與|a1⊥〉正交的個數(shù)為 1 時，|ai〉，i=6，7，8，9 與|a1⊥⊥〉都不正交時，考慮|ai〉，i=，7，8，9 與|a6〉的正交關(guān)系，當〈ai|a6〉≠0，i=7，8，〈a9|a6〉=0 時，乘積基為

其中，|ai〉=αi-1|a1⊥〉+βi-1|a1⊥⊥〉，|ai⊥〉=βi-1|a1⊥〉-αi-1|a1⊥⊥〉，αi-12+βi-12=1，i=2，3。當〈a7|a6〉≠0，〈ai|a6〉=0，i=8，9 時，乘積基存在為中總能找到至少 4 個態(tài)|bi〉相等，這與C3中的態(tài)至多有3個相同矛盾。因此當|a1〉重數(shù)為2時，只需要考慮B中第1個系統(tǒng)的態(tài)與|a1〉正交的態(tài)的個數(shù)等于4至6個的情況。

當|a1〉重數(shù)為2時，考慮B中第1個系統(tǒng)的態(tài)與|a1〉正交的態(tài)的個數(shù)等于4的情況，由〈bi|b1〉=〈bi|b1⊥〉=0，i=7，8，9 得|bi〉=|b1⊥⊥〉，i=7，8，9，則

當|ai〉，i=5，6，…，9 與|a1⊥〉正交的個數(shù)為 0 時，不存在正交乘積基。

（2）當|a1〉重數(shù)為2，B中第1個系統(tǒng)的態(tài)與|a1〉正交的態(tài)的個數(shù)等于2或者3時，乘積基B=

βi-2|b1⊥〉，αi-22+βi-22=1，i=3，4，5，6。

②若〈ai|a1⊥〉≠0，i=4，5，〈a6|a1⊥〉=0，則0時，乘積基不存在。當〈b4|b6〉=0時，乘積基為

④若〈ai|a1⊥〉=0，i=4，5，6，此時正交乘積基不存在。

當|a1〉重數(shù)為2，B中第1個系統(tǒng)的態(tài)與|a1〉正交的態(tài)的個數(shù)等于5時,滿足條件的正交乘積基有

當|a1〉重數(shù)為 2，B 中第 1 個系統(tǒng)的態(tài)與|a1〉正交的態(tài)的個數(shù)等于 6 時，由〈b9|b1〉=〈b9|b1⊥〉=0 得|b9〉=|b1⊥⊥〉。令|a3〉=|a1⊥〉，當|ai〉，i=4，5，…，8 與|a1⊥〉正交的個數(shù)大于等于 0 時都不能組成乘積基。

（3）當|a1〉重數(shù)為1，B中第1個系統(tǒng)的態(tài)與|a1〉正交的態(tài)的個數(shù)等于2或者3時，表明B中第2個系統(tǒng)的態(tài)與|b1〉正交的態(tài)的個數(shù)為6或5，由于空間3?3是對稱的，因此只需要對乘積基調(diào)換第1個系統(tǒng)與第2個系統(tǒng)的態(tài)即可，因此不需要討論。

當|a1〉重數(shù)為1，B中第1個系統(tǒng)的態(tài)與|a1〉正交的態(tài)的個數(shù)等于4時，滿足條件的正交乘積基有

當|a1〉重數(shù)為1，B中第1個系統(tǒng)的態(tài)與|a1〉正交的態(tài)的個數(shù)等于5或6時，不存在正交乘積基。

2 多體系統(tǒng)的乘積基的結(jié)構(gòu)

由于二體系統(tǒng)2?n的乘積基中，第1個系統(tǒng)的態(tài)及第2個系統(tǒng)的態(tài)分別可以被拆分為C2的n組正交基和Cn的2組正交基。對于Cn這一子系統(tǒng)，如果n可以拆分成2×m的形式，也就是說，考慮系統(tǒng)2?n等價于考慮系統(tǒng)2?2?m。如果已知2?m的所有乘積基，那么可以構(gòu)造2?n的所有乘積基。下面以2?2?2為例進行說明。我們猜想這種方法可以推廣到空間2?k?3?l。

其中A（ci）=｛|aj，bj〉||ci〉?|aj〉?|bj〉∈B，j=1，2，…，4n｝，A（ci⊥）=｛|aj，bj〉||ci⊥〉?|aj〉?|bj〉∈B，j=1，2，…，4n｝。

根據(jù)上面的分析，只需要考慮r=4，3，2，1這4種情況。

情形 1 若 r=4，則乘積基為 C=｛|ci〉? Ai，|ci⊥? Di|i=1，2，3，4｝，且｛Ai|i=1，2，3，4｝及｛Di|i=1，2，3，4｝都為 2?2 的乘積基，又因為 2?2 的所有乘積基必須為以下 B0，B1，B2的形式［3］

情形 2 若 r=3，則乘積基為 C=｛|ci〉? Ai，|ci⊥〉?Di|i=1，2，3｝，且｛Ai|i=1，2，3｝及｛Di|i=1，2，3｝都為2?2的乘積基。

情形 3 若 r=2，則乘積基為 C=｛|ci〉?Ai，|ci⊥〉? Di|i=1，2｝，且｛Ai|i=1，2｝及｛Di|i=1，2｝都為 2?2的乘積基。

當｛Ai|i=1，2｝和｛Di|i=1，2｝這兩組基相同時，2?2?2的乘積基分別為

當｛Ai|i=1，2｝和｛Di|i=1，2｝這兩組基不相同時，有 4 種情況可以組成乘積基。當 i=1，2，Ai只包含一個元素，而Di包含3個元素時，B0，B1，B2這三組基中任取兩個都可以構(gòu)造出乘積基；當i=1，2，Ai和Di都包含2個元素時，只有當｛Ai|i=1，2｝=B1,｛Di|i=1，2｝=B2時可以構(gòu)造出乘積基，其他情形都不能構(gòu)造出乘積基。因此這種情況下，2?2?2的乘積基有

情形 4 若 r=1，則乘積基為 C=｛|c1〉?A1，|c1⊥〉? D1｝，且 A1及 D1都為 2?2 的乘積基。

當A1和D1這兩組基相同時，2?2?2的乘積基分別為

當A1和D1這兩組基不相同時，2?2?2的乘積基分別為

由上述分析可得，2?2?2的所有乘積基有C0，C1，…，C21這22種情形。

推論 3 令 B=｛|ci，ai，bi〉|i=1，2，…，8｝為復向量空間 2?2?2 的正交乘積基。則|ai〉（i=1，2，…，8）這8 個向量，|bi〉（i=1，2，…，8）這 8 個向量及|ci〉（i=1，2，…，8）這 8 個向量都可拆分為 C2的 4 組正交基。

通過對2?2?2的乘積基分析、計算，可得到2?2?3的乘積基包含65種情形，且得到以下結(jié)論：

推論 4 令 B=｛|ci，ai，bi〉|i=1，2，…，12｝為復向量空間 2?2?3 的正交乘積基。則|ai〉（i=1，2，…，12）這 12 個向量，|ci〉（i=1，2，…，12）這 12 個向量都可以拆分為 C2的 6 組正交基，|bi〉（i=1，2，…，12）這 12個向量可以拆分為C3的4組正交基。

由推論2及推論3，我們猜想對于空間2?k?3?l也有以下相應的結(jié)論：

猜想2 令B為復向量空間2?k?3?l的正交乘積基。則子系統(tǒng)C2的態(tài)都可以拆分為C2的2k-1×3l組正交基，子系統(tǒng)C3的態(tài)都可以拆分為C3的2k×3l-1組正交基。

參考文獻：

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［3］MCNULTY D,WEIGERTS.All mutuallyunbiased product bases in dimension 6［J］.Journal ofPhysics A:Mathematical and Theoretical,2012,45（13）:1-22.

［4］WIENIAK M,PATEREK T,ZEILINGER A.Entanglement in mutually unbiased bases［J］.NewJournal of Physics,2011,13（5）:1-24.

［5］唐西林,劉燕娜,谷澤.C2?Cn的乘積基的結(jié)構(gòu)［J］.佛山科學技術(shù)學院學報（自然科學版）,2017,35（1）:19-23.

［6］ALONN,LOVASZL.Unextendible product bases［J］.Journal ofCombinatorial Theory:Series A,2001,95（1）:169-179.