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    條件概率解題“五法”

    2018-04-14 06:56:56南京大學(xué)附屬中學(xué)陳建紅
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2018年7期
    關(guān)鍵詞:樣本空間五法概型

    ☉南京大學(xué)附屬中學(xué) 陳建紅

    在很多的實(shí)際問題中,都存在條件概率的問題.要求條件概率,必須先了解條件概率的定義與相關(guān)的計(jì)算公式,將問題轉(zhuǎn)化為條件概率問題,分清誰是條件,誰是結(jié)論,掌握對應(yīng)的性質(zhì),然后根據(jù)實(shí)際問題,結(jié)合相關(guān)的方法來求解條件概率問題.本文通過總結(jié)歸納,就求解簡單條件概率問題的五種基本解題方法加以實(shí)例分析.

    一、定義法

    根據(jù)條件概率的定義,也就是條件概率的計(jì)算公式,先求P(A)(P(A)>0)和P(AB),再由定義P(B|A)=,即可求解P(B|A).

    例1 把一枚硬幣連續(xù)拋兩次,記“第一次出現(xiàn)正面”為事件A,“第二次出現(xiàn)反面”為事件B,則P(B|A)等于( ).

    分析:先分別利用古典概型計(jì)算P(A)與P(AB)的值,再利用條件概率的定義來計(jì)算相應(yīng)概率P(B|A)的值.

    點(diǎn)評:要解決條件概率問題,要具體分清事件A、B及其條件的構(gòu)成,要理清相關(guān)的定義與對應(yīng)的計(jì)算公式,結(jié)合對應(yīng)的概率的計(jì)算公式加以分析與處理.解決條件概率問題時(shí),關(guān)鍵是抓住條件概率的定義,把問題加以轉(zhuǎn)化再分析與處理.

    二、古典概型的基本事件法

    當(dāng)基本事件適合有限性和等可能性時(shí),可借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A),再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)n(AB),得P(B|A)其是條件概率的定義在古典概型條件下的特殊模型.

    例2 如圖1,△ABC和△DEF是同一圓的內(nèi)接正三角形,且BC∥EF.將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi),用M表示事件“豆子落在△ABC內(nèi)”,N表示事件“豆子落在△DEF內(nèi)”,則P(N|M)=( ).

    圖1

    圖2

    分析:通過作出相應(yīng)的輔助線,把條件轉(zhuǎn)化為全等小三角形個(gè)數(shù)問題,利用條件概率的基本事件法來分析與處理.

    解:如圖2作三條輔助線,根據(jù)已知條件得這些小三角形都全等,△ABC包含9個(gè)小三角形,滿足事件MN的有6個(gè)小三角形,所以P(N|M)=

    點(diǎn)評:題目涉及三角形的區(qū)域問題,通過輔助線的引入,轉(zhuǎn)化為全等小三角形個(gè)數(shù)問題,把區(qū)域問題轉(zhuǎn)化為計(jì)數(shù)問題,利用基本事件數(shù)來解決相應(yīng)的條件概率問題,方法巧妙.

    三、幾何概型的幾何度量法

    當(dāng)幾何度量適合有限性和等可能性時(shí),可借助幾何概型概率公式,先求區(qū)域A的幾何度量(長度、面積、體積等)μ(A),再在區(qū)域A發(fā)生的條件下求區(qū)域B的幾何度量μ(AB),得P(B|A)其是條件概率的定義在幾何概型條件下的特殊模型.

    例3 如圖3,正方形EFGH內(nèi)接于圓心為O的單位圓,將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)(假設(shè)都可以扔到圓內(nèi)),用事件A表示“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”,事件B表示“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”,試求P(B|A).

    分析:結(jié)合題目條件加以分析,分別確定圓、正方形、扇形OHE、直角三角形OEH的面積,進(jìn)而確定μ(A)與μ(AB)的值,利用幾何概型的幾何度量法來求解P(B|A).

    圖3

    點(diǎn)評:通過幾何概型的幾何度量法來求解條件概率,關(guān)鍵是結(jié)合題目條件,根據(jù)幾何度量分別確定μ(A)與μ(AB)的值,進(jìn)而就可以簡單快捷來處理此類涉及幾何概型的條件概率問題.

    四、縮減樣本空間法

    在事件A發(fā)生的前提之下,進(jìn)而確定事件B的縮減樣本空間ΩA=Ω∩A,并在ΩA中計(jì)算事件B發(fā)生的概率,從而得到條件概率P(B|A).其是條件概率與實(shí)際操作過程中產(chǎn)生的有效的等價(jià)轉(zhuǎn)化方式.

    例4 甲、乙兩人從1,2,3,…,10中各任取一數(shù)(不重復(fù)),已知甲取到的數(shù)是5的倍數(shù),則甲數(shù)大于乙數(shù)的概率為________.

    分析:利用條件概率的定義求解比較復(fù)雜,而直接結(jié)合題目條件,只考慮滿足甲取到的數(shù)是5的倍數(shù)的對應(yīng)的基本事件問題,達(dá)到縮減樣本空間來分析與處理.

    解:由于已知甲取到的數(shù)是5的倍數(shù),通過縮減樣本空間法,那么所有的取數(shù)的基本事件是:(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,10),(10,1),(10,2),(10,3),(10,4),(10,5),(10,6),(10,7),(10,8),(10,9),共有18種,而滿足甲數(shù)大于乙數(shù)的有13種,所以所求的概率為

    點(diǎn)評:在解決一些條件概率P(B|A)時(shí),可把A看作新的基本事件空間來計(jì)算B發(fā)生的概率,也就是說把B發(fā)生的樣本空間縮小為A所包含的基本事件.這樣通過縮減樣本空間法,直接利用列舉法羅列對應(yīng)的事件來求解條件概率顯得更為簡單快捷.

    五、性質(zhì)法

    由條件概率和對立事件的定義,可得條件概率的性質(zhì):P(B|A)=1-P(B|A),利用該性質(zhì)可以解決一些相關(guān)的條件概率問題.其是針對一些復(fù)雜的條件概率的求解而采用的逆向思維所產(chǎn)生的特殊模型.

    例5 某保險(xiǎn)公司經(jīng)過大量的數(shù)據(jù)預(yù)測,男性活到60歲的概率為0.78,而活到70歲的概率為0.26,那么現(xiàn)年60歲的男性活不到70歲的概率為________.

    分析:根據(jù)題目條件,分別確定對應(yīng)的概率,利用條件概率先來解決現(xiàn)年60歲的男性能活到70歲的概率,再利用性質(zhì)法來處理.

    解:記T為男性的壽命數(shù),由題知P(T≥60)=0.78,P(T≥70)=0.26,那么P(T≥70|T≥60,所以P(T<70|T≥60)=1-P(T≥70|T≥

    點(diǎn)評:解決本題時(shí),直接求解有點(diǎn)沒有頭緒,由于“現(xiàn)年60歲的男性活不到70歲”無法直接來解決,而通過條件概率的性質(zhì)法,從對立面去分析,即利用對立事件的概率來轉(zhuǎn)化,巧妙有效.

    條件概率的求解與應(yīng)用已經(jīng)成為近幾年新課標(biāo)高考的新熱點(diǎn)之一,而且有難度不斷加深的趨勢.同時(shí)條件概率的題目背景與設(shè)置方式不斷改變,題目也由選擇題、填空題逐步變化在解答題中與相關(guān)知識加以綜合、交互呈現(xiàn),顯得越來越重要.而通過以上條件概率解題“五法”,可以有效掌握條件概率的實(shí)質(zhì),抓住類型,利用最有效可行的方法來解決問題,實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo).

    參考文獻(xiàn):

    1.覃淋.四版本高中數(shù)學(xué)教材“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容比較研究[J].教育實(shí)踐與研究(B),2017(12):

    2.李亞婷.高中概率論中“幾何概型”學(xué)習(xí)狀況研究[D].河南大學(xué),2016.

    3.龔兵.解概率問題的“隱形”錯(cuò)誤[J].中學(xué)生數(shù)理化(高一使用),2016(03):

    4.何耀煥.統(tǒng)計(jì)與概率的教材研究[D].華中師范大學(xué),2015.F

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