立足學(xué)生，有序推進(jìn)
—— 高中數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)的幾點(diǎn)思考

☉江蘇省常熟市滸浦高級(jí)中學(xué) 羅 燕

新的課程標(biāo)準(zhǔn)將發(fā)展學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)作為教學(xué)目標(biāo)，如何提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)呢？筆者認(rèn)為學(xué)生素養(yǎng)的提升應(yīng)該與解決具體的數(shù)學(xué)問題相聯(lián)系，習(xí)題課教學(xué)應(yīng)該是重要的抓手，通過有效的習(xí)題課教學(xué)拓寬學(xué)生解題方法的視角，同時(shí)提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)，通常情況下高中數(shù)學(xué)教師在習(xí)題課教學(xué)中都能應(yīng)運(yùn)用經(jīng)典習(xí)題的解決、變式與拓展幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)、掌握并靈活運(yùn)用各類數(shù)學(xué)思想與方法，而效率的高低則取決于我們的教學(xué)是否做到“心中有學(xué)生”、”手中有方法”.本文結(jié)合具體的教學(xué)案例，筆者就該話題談幾點(diǎn)看法.

一、師生對(duì)話：?jiǎn)l(fā)學(xué)生在思辨形成“共鳴”

習(xí)題課教學(xué)不是簡(jiǎn)單的學(xué)生做、教師講，也應(yīng)該注重師生對(duì)話，師生對(duì)話的過程，就是學(xué)情檢測(cè)、方法指引、思想滲透的過程，下面以具體的實(shí)例來說明.

教學(xué)片段1：設(shè)置問題：判斷真假命題：

（1）若x=1，則x2=1；

（2）若a＞2，b＜3，則a＞b；

（3）若sinα≠sinβ，則α≠β.

生1：命題1是真命題，命題2是假命題，命題3，我不太能判斷.

生2：舉例來判斷.

生3：舉反例可以證明它是假命題，但如果它是真命題怎么辦？

師：看來大家對(duì)命題3的判斷有難處，你們可能聯(lián)想其逆否命題來進(jìn)行判斷呢？你們還記得四種命題形式及其關(guān)系是怎樣的嗎？教師在學(xué)生一定思考之后投影圖1中的關(guān)系圖.

圖1

生4：命題3的逆否命題：若α=β，則sinα=sinβ.因?yàn)檫@一逆否命題為真命題，所以我們即可推斷出命題3也為真命題.

師：四種命題形式及其關(guān)系和利用互為逆否命題同真假的判斷方法在命題3的判斷中都得到了運(yùn)用，一般來說，這一方法適用于哪些情況呢？

生5：對(duì)命題的真假比較難以直接判斷時(shí)，以“不等式”形式呈現(xiàn)的命題.

師：很好，大家來看一下命題4：若tanα≠tanβ，則α≠β.

生6：它是真命題.

師：它的逆否命題是怎樣的？

生6：逆否命題：若α=β，則tanα=tanβ.

生7：當(dāng)α=β=90°時(shí)，tanα、tanβ的值不存在，由此可見命題4是假命題.

師：很好，研究函數(shù)問題時(shí)一定要注意從定義域開始研究才對(duì).

從上述的教學(xué)片段來看，教師的教學(xué)設(shè)計(jì)選擇一組從易到難的練習(xí)，教學(xué)目的相當(dāng)明確，通過師生對(duì)話讓教學(xué)的時(shí)效性得到了有力的提升，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下進(jìn)行辨析、質(zhì)疑并因此產(chǎn)生認(rèn)知上的共鳴，學(xué)生對(duì)知識(shí)的鞏固以及數(shù)學(xué)方法的掌握也因此更加到位.

二、分層設(shè)計(jì)：著眼于全體學(xué)生的發(fā)展

學(xué)生是教學(xué)的主體，這里的學(xué)生不是個(gè)體，而應(yīng)該是班級(jí)上所有的學(xué)生，那么我們的教學(xué)如何設(shè)計(jì)？目標(biāo)如何確定呢？我們都知道，課堂教學(xué)的“雙邊”活動(dòng)都是圍繞課堂教學(xué)的目標(biāo)這一教學(xué)的主線而進(jìn)行的，而學(xué)生間存在著較大的差異，尤其是到了高三，由于時(shí)間跨度較大學(xué)生的差異就更大，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)階段的習(xí)題課教學(xué)如何設(shè)置教學(xué)目標(biāo)呢？筆者認(rèn)為，無論是高一、高二，還是高三復(fù)習(xí)階段，數(shù)學(xué)教師都必須立足于學(xué)生的具體學(xué)情，同時(shí)也應(yīng)該充分研究考試說明、課程標(biāo)準(zhǔn)與教材并準(zhǔn)確把握好習(xí)題課教學(xué)的方向，綜合考慮多方面的因素確立多元化的目的和要求以促進(jìn)全體學(xué)生的發(fā)展.

教師首先根據(jù)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的綜合表現(xiàn)將學(xué)生分成A、B、C三個(gè)層次，制定本課教學(xué)目標(biāo)時(shí)也根據(jù)不同層次水平的學(xué)生一一確立.比如，A類學(xué)生理解能力較強(qiáng)，則要求他們?cè)诶斫膺@一公式的基礎(chǔ)上掌握錯(cuò)位相減法求和、倒序求和等技能技巧；B類學(xué)生理解能力中等且基礎(chǔ)較好，則要求他們?cè)谡莆战滩闹泄降耐茖?dǎo)過程之外了解另外兩種推導(dǎo)公式的方法；C類學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能力較低的學(xué)生，則要求他們了解并記憶教材中對(duì)這一公式的推導(dǎo)過程.同時(shí)，教師還可以精心準(zhǔn)備一些基礎(chǔ)訓(xùn)練題以促進(jìn)學(xué)生對(duì)這一公式的應(yīng)用、鞏固與掌握.

練習(xí)1：（A類題）求和1+（1+2）+（1+2+4）+…+（1+2+4+…+2n-1）.

練習(xí)2：（B類題）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2n-1，求a12+a22+…+an2的值.

練習(xí)3：（C類題）求和：3+32+33+…+3n.

多元化的目標(biāo)與分類練習(xí)使各個(gè)層次的學(xué)生都有新的收獲，聽不懂、吃不飽的現(xiàn)象也因此得以杜絕.

三、學(xué)而常思：引導(dǎo)學(xué)生個(gè)體數(shù)學(xué)思維向縱深發(fā)展

我們的教學(xué)要面向全體學(xué)生，筆者從另外一個(gè)層面上可以理解為我們的教學(xué)要促進(jìn)每一個(gè)學(xué)生在其原有基礎(chǔ)上得到最大化的發(fā)展與提升，對(duì)于習(xí)題課教學(xué)而言，引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)的反思能夠促進(jìn)學(xué)生的思維變得更為縝密、靈活.

例題 若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2=1，則的最小值為______.

分析與解答：二元代數(shù)最值問題經(jīng)過已知條件的三角換元以后轉(zhuǎn)化成了單角三角函數(shù)的最值問題，問題再經(jīng)過三角恒等變形等手段最終轉(zhuǎn)化成了簡(jiǎn)單的三角函數(shù)最值問題.由題意可設(shè)x2+y2=1，x=cosθ，y=sinθ，其中θ∈［0，2π］，則

將條件進(jìn)行三角換元的多元不等式求最值的一類問題中可以說是一種通法，大多數(shù)學(xué)生遇到此類問題時(shí)都會(huì)聯(lián)想到這種解法并成功解題，不過，將解題行為僅僅止步于問題答案的獲得只是解題教學(xué)中最為初級(jí)的目標(biāo)，后續(xù)豐富而有意義的解題反饋才會(huì)更具學(xué)習(xí)與研究的價(jià)值，我們可以引導(dǎo)學(xué)生從如下兩個(gè)方面思考.

宏觀范圍的思考：解法正確與否？是否對(duì)條件與結(jié)論作過一定的討論？

回頭對(duì)上述分析與解題全過程進(jìn)行仔細(xì)的研讀，我們可以發(fā)現(xiàn)這一分析與求解的過程都是正確的，而且，如果三角換元后分式無法進(jìn)行約分仍可以將其進(jìn)行進(jìn)一步的代換，令t=sinθ+cosθ并借助函數(shù)知識(shí)使問題最終得解，三角換元在此類問題解決中的通用性也因此再一次得到展現(xiàn).

關(guān)注具體解題環(huán)節(jié)：題目的特點(diǎn)是否凸顯？問題的深層結(jié)構(gòu)是否能夠探觸？

我們?cè)俅螌?duì)上述解題過程進(jìn)行仔細(xì)的審視可以發(fā)現(xiàn)：設(shè)x=cosθ，y=sinθ后因此，我們可以直接對(duì)進(jìn)行變形并使得三角換元這一思維定式得到突破.事實(shí)上，已知條件中的x2+y2與表達(dá)式中的x+y，xy存在著簡(jiǎn)單的完全平方公式：（x+y）2=x2+y2+2xy=1+2xy，從而即簡(jiǎn)化為：若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2=1，且x+y-1≠0，求x+y+1的取值范圍.問題得以簡(jiǎn)化的同時(shí)也令目標(biāo)表達(dá)式更加簡(jiǎn)單而平凡，題目所隱含的本質(zhì)特點(diǎn)也因此得到了很好的體現(xiàn)，問題的深層結(jié)構(gòu)也因此被有力探觸，解題者在這樣的簡(jiǎn)化過程中也會(huì)因此信心倍增，思維火花得到發(fā)散的同時(shí)解題也因此變得更加多樣.

高中數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)應(yīng)通過數(shù)學(xué)問題的思考與探索來拓寬學(xué)生的方法視角、提升學(xué)生的思維品質(zhì)，如果將中學(xué)數(shù)學(xué)中的概念比作“源”，那么中學(xué)數(shù)學(xué)中的習(xí)題就應(yīng)該是“本”一樣的存在，為此筆者撰寫本文旨在拋磚引玉，希望更多的同行能夠關(guān)注習(xí)題課教學(xué)的策略與方法.J