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    數(shù)學教學要直擊本質(zhì)

    2018-04-14 06:56:56江蘇省徐州第一中學
    中學數(shù)學雜志 2018年7期
    關(guān)鍵詞:本質(zhì)概念分類

    ☉江蘇省徐州第一中學 杜 芬

    在一線教學多年,漸漸認識到數(shù)學教學是個循序漸進的過程,而對于學生的學習更是如此.數(shù)學教學是一項直擊數(shù)學本質(zhì)的探索歷程,對于學生而言需要三個步驟的過渡:第一,了解概念、掌握大概,進而去嘗試解決問題;第二,反思問題、再思知識的核心算法掌握到位;第三,重視數(shù)學本質(zhì),思考數(shù)學教學為什么要強調(diào)回歸本質(zhì)、回歸教材.只有這樣的數(shù)學教學才能提高學生的素養(yǎng).

    史寧中、王尚志等教授根據(jù)課程改革制定數(shù)學學科的六大核心素養(yǎng),數(shù)學教學更從以往強調(diào)情感態(tài)度價值觀向更高的層面進發(fā).筆者可以這樣理解,將來的數(shù)學教學不再是比技巧和技能,而是比概念下的數(shù)學知識核心掌握與否,也就是說更復(fù)雜的數(shù)學問題教學需要直擊本質(zhì)、直擊數(shù)學核心知識,這樣的教學才是注重素養(yǎng)的教學,與學科核心素養(yǎng)緊密相關(guān).本文從兩個方面進行闡述和分析.

    一、回歸幾何意義的思考

    數(shù)學概念往往具備雙重性,即代數(shù)屬性和幾何屬性.筆者以為,代數(shù)屬性是其全面性的展示,幾何屬性是其直觀性的最佳表象.不難發(fā)現(xiàn),中學數(shù)學更佳的問題解決手段是幾何屬性,因為其較容易貼近中學生認知心理及其思維發(fā)展,而代數(shù)屬性更多的是在高等數(shù)學問題解決中使用頻繁,高維度的數(shù)學問題在幾何直觀上是比較難以解決的.

    分析1:本題是2014年重慶卷理科16題,是單變量恒成立問題,從難度上來說并不難,學生容易解決.令y=利用函數(shù)圖像可得時,|2x-1|+|x+2|有最小值但是學生解決問題的方式大都是分類討論,可以這么說,用分類討論解決這樣的問題并沒有直擊數(shù)學的本質(zhì).筆者認為,這樣的解答方法是因為我們長期向?qū)W生灌輸分類討論思想造成的,這是模式化的,這種解法的好處是思維簡單,壞處是對于多個絕對值的討論將陷入困境.比如近年來熱門的自主招生、三位一體等,各高校自主命題中出現(xiàn)的多個絕對值若從分類討論的角度切入,則費時費力.不妨看一個當年的北約自主招生問題:求y=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|10x-1|的最小值.難道分11段進行分類討論?顯然是不切實際的,這說明問題1和北約自主招生考題其背后的知識本質(zhì)和數(shù)學核心并未被挖掘出來,因此直擊本質(zhì)才是我們需要的教學.

    本質(zhì):那我們得重新回到絕對值最初的概念思考,絕對值到底有什么樣的幾何本質(zhì)呢?筆者發(fā)現(xiàn)包括教師在內(nèi),很少有人去思考概念的本質(zhì),學生看到絕對值的第一反應(yīng)——去絕對值,分類討論!這是典型的概念學習不扎實的表象,誰說絕對值必須要分類討論去切入?讓我們回歸絕對值“初心”,思考下絕對值的幾何意義——|a-b|或|b-a|表示數(shù)軸上表示a的點和表示b的點的距離.求|x-2|的最小值幾何意義清晰明了吧?求|x-2|+|x-1|的最小值呢?也很顯而易見吧!因此我們思考,不難獲得經(jīng)典的引理.

    引理:(1)偶數(shù)個零點:y=|x-a|+|x-b|的最小值(a≤b),當且僅當x∈[a,b]時取到;

    y=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an(|n為偶數(shù)且的最小值,當且僅當時等號成立.

    (2)奇數(shù)個零點:y=|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值(a≤b≤c),當且僅當x=b時取到;

    y=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an(|n為奇數(shù)且a1≤a2≤…≤an)的最小值,當且僅當x=an+1時等號成立.

    從引理的角度,我們獲得了問題1的第二種直擊數(shù)學本質(zhì)的解法.

    我們進一步思考北約自主招生問題,很容易發(fā)現(xiàn),直擊絕對值本質(zhì)的解法才是知識的核心.

    有興趣的讀者進一步思考兩道浙江高考真題,問題的處理恰恰是絕對值幾何意義的思考.

    鏈接1:t為常數(shù),函數(shù)y=|x2-2x-t|在[0,3]上的最大值為2,則t=________.

    簡析1:2008年浙江填空15題,從絕對值本質(zhì)的角度思考,令m=x2-2x,由x∈[0,3]可知-1≤m≤3,問題轉(zhuǎn)換為:當m∈[-1,3]時,|m-t|的最大值為2,根據(jù)絕對值幾何意義可知,t=1.

    簡析2:2017年浙江填空壓軸題,從絕對值本質(zhì)的角度思考,令,由x∈[1,4]可知,4≤m≤5,問題轉(zhuǎn)換為:當m∈[4,5]時,|m-a|+a的最大值為5,根據(jù)絕對值幾何意義可知

    二、回歸概念的再認知

    數(shù)學概念是數(shù)學教學的核心,也是近年來高考命題最想考查的學生知識能力水平的重點區(qū)域.考查概念的考題往往清晰明了,但學生卻讀不懂題意.原因是我們在教學中不太重視數(shù)學概念,而花費了大量的時間在做重復(fù)的解題,而這些試題大同小異,做1000個和做500個差別大嗎?有一點差別,那就是可能以前解這個問題需要10分鐘,現(xiàn)在因為熟練減少了1分鐘,只需要9分鐘,但是有意義嗎?這是哈佛大學終身教授華裔數(shù)學家丘成桐先生提出來的.筆者以為,我們的教學更應(yīng)該去找到一些好的問題,直擊數(shù)學概念,舍棄一些重復(fù)的操作,才是對學生數(shù)學心靈最大的提升.

    案例:數(shù)列問題的函數(shù)及其性質(zhì)概念的本質(zhì)思考.

    數(shù)列是一種特殊的函數(shù),數(shù)列問題的解決離不開函數(shù)知識的運用,并且函數(shù)中相關(guān)的概念在數(shù)列問題中的運用也是隱含于其中的,這一點大多數(shù)學生并沒有準確理解到位,這造成了學生在問題的解決過程中沒有尋找到知識本質(zhì)的方向,沒有思考與函數(shù)及其相關(guān)的性質(zhì)概念的使用,造成了效率低下、數(shù)學素養(yǎng)難以提升.我們首先來看看最重要的等差數(shù)列及其函數(shù)模型本質(zhì).

    表1 等差數(shù)列通項公式和函數(shù)對應(yīng)關(guān)系

    表2 等差數(shù)列求和公式和函數(shù)對應(yīng)關(guān)系

    問題2:若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,ap=q,aq=p,求ap+q的值.

    法1:因為ap=q,aq=p,所以a1+(n-1)d=p,a1+(p-1)d=q,解得a1=p+q-1,d=-1.所以ap+q=0.

    說明:法1的基本量是等差數(shù)列角度進行的思考,是一種基本量的運算;法2是一次函數(shù)概念的深層次認識,考慮到{an}是等差數(shù)列,那么(n,an)是共線點,即(p,q),(q,p),(p+q,ap+q)三點是共線的,然后就可以利用斜率相等來求,顯然有種與眾不同的感覺,同時也肯定法2的本質(zhì)是一次函數(shù)的深層理解.

    總之,從中學數(shù)學教學現(xiàn)狀來看,在解題教學中能真正直擊本質(zhì)的教學是少之又少.筆者認為主要是兩方面因素的構(gòu)成:第一,教師自身受教學與解題方向誤區(qū)的問題,現(xiàn)在學生學習的今天就是教師的昨天,沒有高觀點、高素養(yǎng),不可能引導(dǎo)學生直擊數(shù)學本質(zhì),談何關(guān)注核心?第二,要挖掘本質(zhì)不是一朝一夕的,教師自身少不了對數(shù)學問題的深層次研究,只有這樣才能引導(dǎo)學生走向數(shù)學學習的高層次、高素養(yǎng).本文從兩個方面作了淺顯的分析,不足之處請讀者引玉指導(dǎo).

    參考文獻:

    1.國麗娟.從函數(shù)視角解決數(shù)學問題[J].數(shù)學學習與研究,2015,(9).

    2.潘佩.話說高考試題中的數(shù)學思想的應(yīng)用[J].數(shù)學教學研究,2016(1).

    3.陳建紅.試論函數(shù)思想在數(shù)列中的運用[J].考試周刊,2013(7).F

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