關(guān)聯(lián)同類最值問題，經(jīng)歷變式拓展過程

周紅

[摘 要] 教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生的疑難點(diǎn)、疑惑處，并經(jīng)過必要的關(guān)聯(lián)同類、變式拓展之后，輔以教學(xué)追問，讓學(xué)生加深對這類疑難點(diǎn)的理解，能達(dá)到解一題、會(huì)一類、通一片的教學(xué)效果.

[關(guān)鍵詞] 最值問題；問題意識；關(guān)聯(lián)同類；變式拓展

鄭毓信教授在新作《問題意識與數(shù)學(xué)教師的專業(yè)成長》一文中指出：問題引領(lǐng)對于數(shù)學(xué)教學(xué)的特殊重要性，強(qiáng)調(diào)由具體內(nèi)容提煉出核心問題，通過適當(dāng)?shù)奶釂枌W(xué)生的注意力由具體知識引向隱藏于其背面的數(shù)學(xué)思想方法，從而逐步學(xué)會(huì)更清晰、更深入、更全面、更合理地進(jìn)行思考. 在一次“圓”的單元測驗(yàn)中，筆者所教班級有兩道最值問題的得分率很低，學(xué)生無從下手，于是筆者結(jié)合學(xué)生已有的認(rèn)知，給學(xué)生梳理了一節(jié)有關(guān)圓中最值問題的習(xí)題課，試圖通過這節(jié)最值問題教學(xué)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考，想得更深，想得更合理，也悟得更透，從而經(jīng)歷這類難題的思路突破過程，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

“最值問題”習(xí)題課的教學(xué)流程

1. 教學(xué)環(huán)節(jié)一：建立數(shù)學(xué)模型（圓外一點(diǎn)到圓上各點(diǎn)的最短距離）

模型 如圖1，P是⊙O外一點(diǎn)，直線PO分別交⊙O于點(diǎn)A和點(diǎn)B，則PA是點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最短距離，即d-r，其中d為OP的長，r為⊙O的半徑，簡稱一點(diǎn)一圓模型.

筆者在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生嘗試練習(xí).

習(xí)題1 如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC為直徑的半圓交AB于點(diǎn)D，P是弧CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，則AP的最小值是______.

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生對模型有初步認(rèn)識，能從復(fù)雜條件和圖形中找出已知點(diǎn)和圓，進(jìn)而借助一點(diǎn)一圓模型求最值.

上述模型已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡，即動(dòng)點(diǎn)在一個(gè)圓上運(yùn)動(dòng)，但如果題中沒有明確動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，要求最值，又該如何分析、建模呢？

2. 教學(xué)環(huán)節(jié)二：探究動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡

習(xí)題2 如圖3，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，請求出A′C長度的最小值.

習(xí)題3 如圖4，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別從D，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上運(yùn)動(dòng)，連接AE和DF交于點(diǎn)P，點(diǎn)E，F(xiàn)的移動(dòng)，使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)，若AD=4，試求出線段CP的最小值.

設(shè)計(jì)意圖 這兩道題都是求一定點(diǎn)與一動(dòng)點(diǎn)所連線段的最值問題，難點(diǎn)是探究出動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡. 習(xí)題2由翻折可得A′M=AM是定值，此時(shí)要讓學(xué)生聯(lián)想到圓的定義，即到一定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)的集合是圓；習(xí)題3結(jié)合正方形的性質(zhì)和全等知識能得到動(dòng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，與定點(diǎn)A，D所連線段的夾角是直角，根據(jù)直角三角形的直角頂點(diǎn)在以斜邊為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，可探究出動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡也是圓. 上述兩道題意在讓學(xué)生根據(jù)已知條件和已有知識模型，先探究出運(yùn)動(dòng)軌跡，然后利用一點(diǎn)一圓模型解決問題.

經(jīng)過上述鋪墊，接下來可以放手讓學(xué)生解決試卷中的一道填空題.

習(xí)題4 如圖5，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF. 連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H. 若正方形的邊長為2，則線段DH的長的最小值是______.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要的就是變通，體現(xiàn)出來的就是數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想或化歸思想，即利用知識的聯(lián)系，把不熟悉的轉(zhuǎn)化為熟悉的，把復(fù)雜的轉(zhuǎn)化為簡單的. 上述試題都是一定點(diǎn)一動(dòng)點(diǎn)問題，如果遇到兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，又該如何解決呢？

3. 教學(xué)環(huán)節(jié)三：兩動(dòng)點(diǎn)問題的轉(zhuǎn)化

習(xí)題5 如圖6，⊙O是以原點(diǎn)為圓心、2為半徑的圓，點(diǎn)P是直線y= -x+8上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ，Q為切點(diǎn)，則切線長PQ的最小值為______.

設(shè)計(jì)意圖 利用切線的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形，借助勾股定理表示出所求線段PQ的長，從而把線段PQ的最值轉(zhuǎn)化為線段OP的最值，即可以通過計(jì)算把兩動(dòng)點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為一定一動(dòng)問題，進(jìn)而利用垂線段最短解決.

習(xí)題6 如圖7，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，經(jīng)過點(diǎn)C且與邊AB相切的動(dòng)圓與CA，CB分別相交于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，求線段PQ的最小值.

所求線段PQ是圓的直徑，這是個(gè)動(dòng)圓，要解決此題，一定要緊扣動(dòng)圓滿足的兩個(gè)條件：①過點(diǎn)C；②與邊AB相切. 假設(shè)圓心為O，圓O與邊AB相切于點(diǎn)D，連接OC，OD，則PQ=OC+OD，所以當(dāng)O，C，D三點(diǎn)共線時(shí)直徑PQ取得最小值.

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生分析出運(yùn)動(dòng)過程中的定量關(guān)系，把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化成熟悉的三點(diǎn)共線求最小值問題，使學(xué)生逐漸形成轉(zhuǎn)化意識.

習(xí)題7 如圖8，在△ABC中，∠BCA=60°，∠A=45°，AC=2，經(jīng)過點(diǎn)C且與邊AB相切的動(dòng)圓與CB，CA分別相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，則線段MN的長的最小值是______.

設(shè)計(jì)意圖 此題是前面兩道題的綜合，首先根據(jù)已知條件可探究出弦MN的長是半徑的倍，再根據(jù)動(dòng)圓滿足的條件求出半徑的最小值，從而求解.

習(xí)題8 如圖9，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，且圓的直徑AB在線段AE上.

（1）證明：CE是⊙O的切線；

（2）設(shè)點(diǎn)D是線段AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接OD，當(dāng)AB=8時(shí)，求CD+OD的最小值.

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生有了轉(zhuǎn)化意識，思考這一題時(shí)，就會(huì)聯(lián)想到這是線段和的最值問題，通?；瘹w為三點(diǎn)共線來解決，難點(diǎn)是CD的轉(zhuǎn)化，但結(jié)合題中的30°，不難想到解決方法.

教后反思

1. 關(guān)聯(lián)同類，讓學(xué)生對最值問題進(jìn)行類比學(xué)習(xí)

教學(xué)中難點(diǎn)、難題的突破，需要適當(dāng)拉長過程，延長學(xué)習(xí)時(shí)間，以暴露難點(diǎn)或難題的思維過程. 基于這樣的認(rèn)識，我們將學(xué)生學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的關(guān)于圓的最值問題難題進(jìn)行梳理、歸類，將同類最值問題關(guān)聯(lián)起來，逐次呈現(xiàn)，讓學(xué)生對最值問題進(jìn)行類比學(xué)習(xí)，達(dá)到了較好的教學(xué)效果.

2. 變式生長，讓學(xué)生經(jīng)歷最值問題由淺及深的拓展過程

在具體呈現(xiàn)該課時(shí)，要注意從簡單出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷最值問題由淺及深的理解過程，感受難題也是由簡單的模型包裝而來，且在不斷的變式、生長、拓展過程中，隱藏了原先較為基礎(chǔ)的一些模型或經(jīng)典圖形和性質(zhì)，成為一道較難的問題. 學(xué)生如果善于轉(zhuǎn)化，能將復(fù)雜問題中的繁多線條適當(dāng)抽離、剝離出基本圖形，就可以實(shí)現(xiàn)問題的有效轉(zhuǎn)化.

3. 預(yù)設(shè)追問，師生在對話互動(dòng)中追求最值問題的深刻理解

由于最值問題是初中階段較難的一類問題，這時(shí)在教學(xué)過程中需要預(yù)設(shè)恰當(dāng)?shù)匿亯|與跟進(jìn)追問，使學(xué)生在教師的點(diǎn)撥或追問下自主發(fā)現(xiàn)思路，以達(dá)到對最值問題的深刻理解. 這也涉及所謂的教學(xué)藝術(shù)話題，因?yàn)橐话憬處煏?huì)奉送真理，而好的教師會(huì)啟發(fā)真理，讓學(xué)生意識到自主發(fā)現(xiàn)思路后的那種愉悅與自信超越解題本身，于是學(xué)習(xí)的趣味也就應(yīng)運(yùn)而生. 想來，春風(fēng)化雨、潤物無聲，也是我們的共同追求吧.