變式在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用研究

胡繼梅

[摘? 要] 變式教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的傳統(tǒng)，在核心素養(yǎng)培育背景下研究變式及其教學(xué)，需要進(jìn)一步豐富變式及教學(xué)的含義，將變式上升為數(shù)學(xué)教學(xué)的思想之一，可以促進(jìn)學(xué)生更好地構(gòu)建數(shù)學(xué)概念. 函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要概念，“判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)”是函數(shù)概念構(gòu)建的基礎(chǔ)，也是變式思想充分體現(xiàn)的環(huán)節(jié). 通過(guò)變式實(shí)施教學(xué)，不僅可以讓學(xué)生體驗(yàn)深度理解函數(shù)概念的過(guò)程，還可以讓學(xué)生提升自身的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì).

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);變式;函數(shù)教學(xué)

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了讓學(xué)生更高效地構(gòu)建概念，常常會(huì)采用變式教學(xué)的思想. 在實(shí)際教學(xué)與研討的活動(dòng)中，筆者發(fā)現(xiàn)不少同行將變式簡(jiǎn)單地理解為形式的變換，這會(huì)讓學(xué)生處于一個(gè)形式多樣且摸不著學(xué)習(xí)主線的狀態(tài). 顯然，這不是變式教學(xué)的初衷，近年來(lái)筆者致力于研究變式的有效運(yùn)用，目前得出的結(jié)論是：變式的運(yùn)用，應(yīng)以變式思想準(zhǔn)確理解為基礎(chǔ)，以學(xué)生在變式中的體驗(yàn)為主線實(shí)施教學(xué). 現(xiàn)以函數(shù)教學(xué)中的“判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)”為例，略談見解.

變式概念理解及其教學(xué)定義

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，變式就是研究對(duì)象“正例”的變化. 相應(yīng)的，變式教學(xué)就是學(xué)習(xí)對(duì)象的本質(zhì)特征不變而非特征發(fā)生變化的教學(xué). 變式通常伴隨著形式的變換，但形式的變換未必是變式教學(xué). 變式教學(xué)在由原上海青浦區(qū)在面上實(shí)施之后，引起全國(guó)的重視，著名教育家顧明遠(yuǎn)對(duì)變式教學(xué)的定義是這樣的：教學(xué)中，用不同形式呈現(xiàn)直觀材料或事例，來(lái)說(shuō)明事物的本質(zhì)屬性，或變換事物的非本質(zhì)特征以突出事物的本質(zhì)特征，以使學(xué)生了解哪些是事物的本質(zhì)特征，哪些是事物的非本質(zhì)特征，以對(duì)事物形成科學(xué)的概念. 這樣的教學(xué)可稱之為變式教學(xué).

基于這樣的定義可以從這樣幾個(gè)方面來(lái)理解高中數(shù)學(xué)教學(xué)：其一，無(wú)論是概念、規(guī)律的教學(xué)，還是數(shù)學(xué)應(yīng)用，都需要考慮通過(guò)變式來(lái)加深學(xué)生對(duì)概念、規(guī)律、數(shù)學(xué)思想方法的理解. 其二，變式教學(xué)要以學(xué)生的思維為中心，真正抓住學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的把握情況，看他們掌握了哪些本質(zhì)特征，還有哪些非本質(zhì)特征，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行變式教學(xué). 如果考慮到課堂的即時(shí)性，這意味著教師大腦中的變式素材必須充足，這樣才能在課堂上有的放矢地進(jìn)行變式. 其三，變式思路要成為學(xué)生學(xué)習(xí)品質(zhì)提升的組成部分，要讓學(xué)生在不同事例提供的過(guò)程中認(rèn)識(shí)到變式可以提高自己的學(xué)習(xí)品質(zhì)，從而可以提升自己的數(shù)學(xué)成績(jī). 這種類似于程序性知識(shí)的滲透，對(duì)于高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)尤為重要.

函數(shù)概念教學(xué)中變式的運(yùn)用

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，函數(shù)概念建立時(shí)對(duì)概念的準(zhǔn)確把握，是理解函數(shù)最基本的要求. 其中，“判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)”作為一種基本題型，是促進(jìn)學(xué)生對(duì)函數(shù)概念理解的重要方式. 教學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明，學(xué)生在解決這類問(wèn)題的時(shí)候，往往缺少基于定義域、值域以及對(duì)應(yīng)法則去分析問(wèn)題的意識(shí)，尤其是對(duì)對(duì)應(yīng)法則的把握，往往都是比較模糊的. 而要根治這一問(wèn)題，變式可謂是最好的方法之一. 筆者在教學(xué)中，經(jīng)歷了這樣的變式環(huán)節(jié)：

這三組函數(shù)的判斷，需要學(xué)生從定義域的角度依次判斷各組是否是同一函數(shù). 這是最基本的操作，其中的變式思想體現(xiàn)在函數(shù)的形式不同，而判斷依據(jù)相同. 其目的在于讓學(xué)生初步感知判斷函數(shù)的基本方法. 但在選擇這些函數(shù)的時(shí)候要注意的一點(diǎn)是，僅僅進(jìn)行這樣的訓(xùn)練是不夠的，因?yàn)檫@樣的變式容易讓學(xué)生陷入思維定式，以為只需要關(guān)注定義域就行. 而在實(shí)際教學(xué)中，還有另一種情形，即由于很多時(shí)候教師不太在意，雖然提供給學(xué)生的函數(shù)中會(huì)有值域和對(duì)應(yīng)法則不同的函數(shù)，但由于學(xué)生在利用定義域判斷時(shí)，就已經(jīng)排除了其中的一些對(duì)象，這就導(dǎo)致學(xué)生無(wú)須利用值域和對(duì)應(yīng)法則進(jìn)行判斷，這看起來(lái)很好地完成了一些題目，但學(xué)生卻沒(méi)有收到相應(yīng)的訓(xùn)練效果. 這個(gè)時(shí)候就需要下一步的操作.

其實(shí)如果從變式的角度來(lái)看，這類命題的呈現(xiàn)，關(guān)鍵一點(diǎn)就是沒(méi)有從學(xué)生思維順序的角度判斷函數(shù)變式的三個(gè)基本要素，即此環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)中原本應(yīng)當(dāng)是抓住定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則三個(gè)本質(zhì)特征，改變不同函數(shù)表達(dá)形式等非本質(zhì)特征，來(lái)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到無(wú)論面對(duì)什么形式的函數(shù)，在判斷是不是同一函數(shù)的時(shí)候總要抓住定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則來(lái)進(jìn)行，這就是對(duì)函數(shù)概念形成深刻認(rèn)知的關(guān)鍵.

變式作為數(shù)學(xué)教學(xué)的智慧源

研究中筆者發(fā)現(xiàn)，對(duì)于變式的理解可以是多元的，其中必須堅(jiān)持的一點(diǎn)就是：必須將變式作為數(shù)學(xué)教學(xué)的智慧源.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生面臨著的“變”的地方太多，有的變?cè)诒举|(zhì)特征，有的變?cè)诜潜举|(zhì)特征，實(shí)際上很多高考原題都是變的非本質(zhì)特征，但這種變式非常隱蔽，往往也是多種變式的綜合體. 很多時(shí)候?qū)W生就是看不懂這些非本質(zhì)特征的外顯，因此都卡在無(wú)法窺破數(shù)學(xué)知識(shí)的變化形式上. 所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生不僅去運(yùn)用知識(shí)，還去研究這些知識(shí)是通過(guò)什么樣的變化形式體現(xiàn)的，這其實(shí)是讓學(xué)生站在更高的高度認(rèn)識(shí)變式帶來(lái)的數(shù)學(xué)思維的變化. 經(jīng)驗(yàn)表明，基于這些變化去建構(gòu)數(shù)學(xué)概念、規(guī)律及其之間的聯(lián)系，可以讓學(xué)生形成更好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而提升學(xué)生的問(wèn)題解決能力. 就是從學(xué)科核心素養(yǎng)的角度來(lái)看，在變式中構(gòu)建數(shù)學(xué)學(xué)科認(rèn)識(shí)，其實(shí)也可以形成一種“關(guān)鍵能力”，于是也就保證了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的養(yǎng)成.

總之，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，像函數(shù)這樣的重要概念，要通過(guò)有效的變式去促進(jìn)學(xué)生的深刻理解，而教師在此過(guò)程中也可以更好地把握所教學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，從而實(shí)現(xiàn)自身的專業(yè)成長(zhǎng).