高三解析幾何最值問題復習教學的實踐設計與思考

丁亞萍

[摘? 要] 包含3個A級考點、6個B級考點以及2個C級考點的解析幾何一直是高考的重點，思想性強、運算量大且題目靈活多變的解析幾何卻也一直是學生考試中的攔路虎，高三教師在解析幾何的復習教學中應該怎樣幫助學生尋得制高點而獲得突破是值得大家思考的問題.

[關鍵詞] 解析幾何;設計;反思

即使是高考在即的高三學生，面對有些解析幾何練習仍會存在一定的畏懼心理，很多學生面對某些解析幾何練習題甚至一點思路全無，這對于即將參加高考的學生來說是一種極為不好的局面，那么，高三教師在解析幾何的復習教學中應該怎樣幫助學生尋得制高點而獲得突破呢？筆者以此為思考進行了解析幾何最值問題課堂教學的設計與反思.

學情分析

高三學生經(jīng)過一輪系統(tǒng)復習之后基本都已建立了一定的知識模塊體系，在二輪復習過后大多學生也在數(shù)學思想方法的提煉上有了自己的心得與體會，解題能力在兩輪系統(tǒng)復習之后有了明顯的提升，不過，大多學生在知識的整合方面顯示出的能力仍比較欠缺，解決解析幾何問題的方法比較單一.

教學目標

（1）幫助學生鞏固解析幾何最值問題的求解方法;

（2）幫助學生將轉化、構建函數(shù)、數(shù)形結合等思想進行有機統(tǒng)一與充分體現(xiàn);

（3）幫助學生在復習中鞏固解析幾何雙變量的處理辦法;

（4）使學生在學習中樹立起舉一反三、刻苦鉆研的數(shù)學精神.

教學設計

例：已知拋物線y2=4x與點A（1，0），拋物線上的點到A點距離的最小值為________.

設計意圖：題中A點實際上是y2=4x的焦點，引導學生對拋物線焦點與準線問題進行相互轉化是本題設計的主要意圖，最小值為1時拋物線上的點是頂點O（0，0），這在圖形的直觀支撐下都很容易得到. 這對于本堂課的教學來說只是一個熱身.

變式1：已知拋物線y2=4x與點A（4，0），則拋物線上的點到A點距離的最小值為________.

變式2：已知拋物線y2=4x與點A（a，0）（a>0），則拋物線上的點到A點距離的最小值為________.

設計意圖：變式2在例題與變式1的基礎上使點A沿著x軸的正方向運動了起來，學生在其運動的過程中進行觀察與探索并體會到了最值的變化，發(fā)現(xiàn)當02時，在y2=時取得最小值. 轉化與分類討論這兩種思想在本題的設計中得到了有機整合，學生能夠在這樣的設計與變式中明白數(shù)形結合在解題中產(chǎn)生的價值.

變式3：已知拋物線y2=4x與直線l：x-y+4=0，P是拋物線上的點，則點P到直線l距離的最小值是________.

設計意圖：這是研究曲線上的點到定直線的最短距離的變式問題，點點距離的最小值到點線距離的最小值問題實現(xiàn)了點到線的過渡，教師在教學時可以引導學生采取以下方法來解決：①將題意所求轉化成與l平行的直線和拋物線相切的問題并通過兩平行線間的距離使此題得解;②設拋物線上任意一點P（x，y），然后根據(jù)點到直線的距離公式建立函數(shù)關系式并使此題得解.

變式4：如圖1，已知拋物線y2=4x與直線l：x-y+4=0，P是拋物線上的點，且點P到直線l、y軸的距離分別為d1，d2，則d1+d2的最小值是_______.

設計意圖：變式4在變式3中單變量的基礎上拓展轉化成了雙變量，轉化思想在這一變式中得到了很好的鞏固. 教師在教學中可以引導學生進行雙變量處理的初步嘗試：固定一個變量之后將其轉化成單變量，所以d2=PQ-1=PF-1，d1+d2=d1+PF-1，即求d1+PF的最小值.

變式5：如圖2，已知拋物線y2=4x和圓C：（x-3）2+y2=1，P，Q分別是拋物線和圓上的動點，則PQ的最小值是______.

設計意圖：變式4與變式5研究的是雙變量問題，前者是直線與圓錐曲線之間的問題，而后者是圓錐與圓錐之間的問題. 雙變量的處理原則在此題中得到進一步運用的同時也使知識體系得到了完善，點點、點線、直線與曲線、曲線與曲線之間的整合在此題的設計與解決中得到了更好的整合. PQ的最小值轉化成了PC-1的最小值.

教學反思

1. 復習應立足學生認知水平

教師在備課時應充分考慮學生的實際情況并找準教學的受力點進行教學的設計，應著眼于知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度價值觀這三個具體的目標對教學的各個環(huán)節(jié)進行有意義的分析與思考，致力于學生眼界的開拓并展現(xiàn)出復習教學應有的科學性與針對性.

2. 復習應以考試說明作指南

明確考試內容與難度的《考試說明》對于高三數(shù)學復習教學來說是一種指南，考試說明對于基礎知識、技能與思想方法的考查進行過再三的強調，因此，高三數(shù)學教師在教學中首先要做的便是對考試說明的認真研讀，在研讀中將命題指導思想、歷年來的命題方向與趨勢、高考的新動向、可能出現(xiàn)的新題型進行仔細的研究與把握，然后再根據(jù)自己的研究所得與學生實際情況制定出詳細的復習計劃，使復習教學能夠在明確目的、周詳計劃的指引下有的放矢地進行. 本節(jié)課的復習教學正是圍繞《考試說明》所提出的要求而具體設計與進行的，教師在復習中依托《考試說明》的具體要求并結合拋物線這一載體實現(xiàn)了點、直線、曲線、拋物線這些知識的有機整合，教師和學生在本課的復習課堂教學中順利達成了雙贏. 在知識網(wǎng)絡交匯點處設計試題是《考試說明》明確強調過的，因此，教師在復習教學中首先就應具備運用交匯點的意識與策略，否則學生在應對交匯點的命題時都會感覺力不從心.

3. 復習應具備一定的深度

包含3個A級考點、6個B級考點以及2個C級考點的解析幾何一直是高考的重點，學生對這一部分的知識往往也會感覺困難重重. 若想學生能夠在高考解析幾何試題中取得理想的成績，高考究竟怎么考是基礎知識的復習之外又一重要的問題. 歷年來的高考試題中都會出現(xiàn)一道難度較大的解析幾何解答題，而且此解答題所考查的內容一般都是軌跡、直線與圓錐曲線位置關系、圓錐曲線的最值與定點定值等問題. 歷年高考試題的分析往往能夠使教師對高考的題型建立直觀的感受，并在復習教學中迎合高考的模式設計出更有意義和深度的題目或變式，圍繞相關知識進行串聯(lián)并進行基本的演變，使學生在針對性的復習教學中獲得有意義的鍛煉.

4. 復習應注重知識的整合

思想性強、運算量大且題目靈活多變的解析幾何一直受到高考命題者的青睞，圍繞解析幾何內容而設定的試題也一直是學生考試前行的攔路虎. 解析幾何的試題在這么多年的高考試卷中出現(xiàn)不可能一成不變，但解析幾何內容所蘊含思想以及對坐標法的考查卻一直是解析幾何試題的根本，解析幾何的思想就是通過方程研究曲線，它的方法即為坐標的方法. 事實上，展現(xiàn)解析幾何課程縮影的“橢圓”這一節(jié)知識的學習展開過程對于解析幾何學科特色的體現(xiàn)來說是最為合適不過的. 本課中曲線的最值問題在點、直線、圓、拋物線相關知識的整合以及坐標、平面幾何性質的支撐下得到了很好的研究，部分曲線的研究在類比推理中是能夠延伸至整個解析幾何領域的. 例如，變式3還可以進行變化：已知橢圓4x2+9y2=1與直線l：x-y+4=0，P是拋物線上的點，則點P到直線l距離的最小值應為多少？問題在這樣的變式中轉變成了直線與橢圓的相關研究，橢圓的參數(shù)方程等內容很快得以引出. 復習效果的爆破力在同一知識點或同一解題方法的不同角度分析與助推中得到了驚人的提升，因此，教師在高三復習教學中一定要借助數(shù)學知識的整合并使其形成一股巨大的合力，引導學生在復習中不斷深化、掌握對解析幾何思想以及坐標法的認識與理解，這是復習解析幾何萬變不離其宗的地方.

高三最后的復習雖然緊迫且面臨高考的挑戰(zhàn)，但教師立足學生并從學生實際學情、解析幾何的本質出發(fā)進行復習始終是不可能錯的，與此同時，教師還應依托基本點對交匯點進行關注并將所有的合力集于一身，在解析幾何復習的制高點尋求突破并最終使其綻放出最美麗的成功之花.