中學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題變式教學(xué)之我見

陸秀良

[摘? 要] 承載著數(shù)學(xué)思想方法、解題技能技巧的習(xí)題變式教學(xué)能夠更好地幫助學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維考慮和解決問題并使之能力提升，教師在具體的習(xí)題變式教學(xué)中應(yīng)注意控制變式的難易程度并鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)參與，使學(xué)生能夠在緊扣考綱的變式訓(xùn)練中獲得知識的掌握、能力的提升與思維的拓展.

[關(guān)鍵詞] 習(xí)題變式教學(xué);原則;方法;條件特殊化;改變背景

承載著數(shù)學(xué)思想方法、解題技能技巧的習(xí)題變式教學(xué)能夠更好地幫助學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維考慮和解決問題并使之能力提升，但面對隨處可得的教學(xué)資料，教師與學(xué)生往往在選擇上都存在頗大難度.筆者以為，源于課本，并將其變式使之能夠高于課本的習(xí)題不失為有意義的練習(xí). 當(dāng)然，教師始終不能忘記高考題源于課本的這一命題思想，應(yīng)緊扣考綱落實(shí)有針對性的變式教學(xué)，使學(xué)生能夠在加深基礎(chǔ)知識理解與掌握的基礎(chǔ)上不斷提升自身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所需的各方面素養(yǎng).

習(xí)題變式教學(xué)的原則

首先，與新授課、習(xí)題課、復(fù)習(xí)課相互交融并存的習(xí)題變式教學(xué)與習(xí)題課的教學(xué)相比明顯存在著較大的區(qū)別.習(xí)題變式教學(xué)單獨(dú)成課的現(xiàn)象一般極為少見，習(xí)題變式教學(xué)在各類課型中的教學(xué)側(cè)重也各有不同. 例如，在新授課的習(xí)題變式教學(xué)中，教師始終不能忘記其為本課教學(xué)目標(biāo)達(dá)成而設(shè)計(jì)的目的;在習(xí)題課的習(xí)題變式教學(xué)中，教師又始終不能忽略數(shù)學(xué)思想、方法的適當(dāng)滲透;在復(fù)習(xí)課的習(xí)題變式教學(xué)中，教師又要注意在數(shù)學(xué)思想方法滲透的同時(shí)適當(dāng)進(jìn)行縱向、橫向的聯(lián)系與拓展并使學(xué)生所掌握的知識體系更為豐滿. 根據(jù)教學(xué)目標(biāo)與學(xué)生現(xiàn)狀而設(shè)計(jì)、落實(shí)的習(xí)題變式教學(xué)才能更好地促成教學(xué)目標(biāo)的順利實(shí)現(xiàn)，隨意、盲目的習(xí)題變式有時(shí)甚至?xí)m得其反.

其次，難易有度的變式才能令學(xué)生欣喜數(shù)學(xué)變化之余建立學(xué)習(xí)信心，過于簡單的變式也會(huì)影響學(xué)生思維的質(zhì)量，過于繁難的變式又會(huì)挫傷學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，因此，難易程度的把握在習(xí)題變式教學(xué)中也是極為重要的.

再次，學(xué)生主動(dòng)參與的變式訓(xùn)練才能令其創(chuàng)新意識與精神大力發(fā)展，因此，教師應(yīng)啟發(fā)、引導(dǎo)、激勵(lì)學(xué)生“變”并自主解決這些變化所帶來的問題.

習(xí)題變式教學(xué)的方法

以具體習(xí)題為例進(jìn)行如下方法的思考.

原題1：畫出函數(shù)f（x）=x2-5x+6的圖像，根據(jù)圖像說出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間以及函數(shù)y=f（x）在各單調(diào)區(qū)間上的增減性.

1. 條件特殊化

把原題中的一般條件改成具有特定性的條件并使題目變得特殊的方法即為這里所說的條件特殊化. 針對原題1，我們可以引導(dǎo)學(xué)生對題中條件進(jìn)行挖掘并使其條件特殊化來考查特定的概念. 例如：

變式1：畫出函數(shù)f（x）=x2-5x-6的圖像，根據(jù)圖像說出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間以及函數(shù)y=f（x）在各單調(diào)區(qū)間上的增減性.

絕對值概念、一元二次方程均在這一變化中得到了考查，學(xué)生在一般到特殊的變化中也更易掌握知識.

2. 改變背景

在某些條件不變之時(shí)對另一些條件的形式進(jìn)行改變并令問題深化的方法即為這里所說的改變背景.學(xué)生的探求欲望在習(xí)題形式的不斷變換中也會(huì)得到大大的激發(fā). 例如：

變式2：畫出函數(shù)f（x）=x2-5x-6的圖像，根據(jù)圖像說出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間以及函數(shù)y=f（x）在各單調(diào)區(qū)間上的增減性.

函數(shù)的圖像、偶函數(shù)的定義與性質(zhì)在這一變式中都得到了有效的考查.

變式3：求函數(shù)f（x）=x2-5x-6在區(qū)間[-3，5]上的最值.

學(xué)生可以通過畫圖或數(shù)學(xué)方法得出這樣的變式，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、成就感大大提升的同時(shí)也令基礎(chǔ)知識與常規(guī)的解題方法得以更好地掌握.

原題2：在數(shù)列{an}中，a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，若an-an-1=5，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列，那么數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式如何？

變式1：在數(shù)列{an}中，當(dāng)n≥2時(shí)，若a1=1且an-an-1=n，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式如何？

數(shù)列{an}中的常量d變成變量n之時(shí)已經(jīng)不能稱其為等差數(shù)列了，此時(shí)可以運(yùn)用疊加法對數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式進(jìn)行探求. 方法如下：

因?yàn)閚≥2時(shí)，

對變式1繼續(xù)探索并進(jìn)一步深化可得：

（1）若數(shù)列{an}滿足a1=1，an-an-1=3n-1（n≥2），則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式如何？

變式2：在數(shù)列{an}中，當(dāng)n≥2時(shí)，若a1=1，且an-can-1=d，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是怎樣的？

解析：當(dāng)c=1時(shí)，數(shù)列{an}為等差數(shù)列.

當(dāng)c≠1，d=0時(shí)，數(shù)列{an}為等比數(shù)列.

當(dāng)c≠1，d≠0時(shí)，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可以借助構(gòu)造等比數(shù)列的方法對其進(jìn)行探求.

方法如下：

設(shè)an+1+λ=c（an+λ），得an+1=can+（c-1）λ.

變式3：在數(shù)列{an}中，若a1=1，且an+1-can=qn+1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式如何？

解析：當(dāng)c=1時(shí)，形式與變式1相同，因此對數(shù)列{an}通項(xiàng)公式的求解也可以運(yùn)用疊加法來解決.

當(dāng)c≠1時(shí)，求解數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式也可以運(yùn)用構(gòu)造等比數(shù)列的方法來解決，方法如下：

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣在這樣的變式訓(xùn)練中一定會(huì)大大提升，不僅如此，基礎(chǔ)知識的掌握以及常規(guī)解題的熟練都會(huì)因?yàn)檫@樣的變式訓(xùn)練而順利實(shí)現(xiàn).

注意事項(xiàng)

1. 源于課本且高于課本

教師在習(xí)題變式教學(xué)中應(yīng)將經(jīng)過專家學(xué)者多次編選后的這些精品習(xí)題進(jìn)行精心的設(shè)計(jì)與挖掘，使學(xué)生在這些以課本習(xí)題為主的經(jīng)典“源題”的不斷變化中逐步提升靈活運(yùn)用知識的能力.

2. 循序漸進(jìn)且有的放矢

例如：一個(gè)動(dòng)圓分別與圓C1：（x+2）2+y2=1、圓C2：（x-2）2+y2=9外切和內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程應(yīng)該怎樣？

變式2：已知圓C1：（x+2）2+y2=1和圓C2：（x-2）2+y2=9，如果動(dòng)圓M同時(shí)與C1，C2兩圓相外切，那么該動(dòng)圓的圓心M的軌跡是什么？

變式3：已知圓C1：（x+2）2+y2=1和圓C2：（x-2）2+y2=9，如果動(dòng)圓M同時(shí)與C1，C2兩圓相內(nèi)切，那么該動(dòng)圓的圓心M的軌跡是什么？

上述三個(gè)變式將一道比較經(jīng)典的常規(guī)題一一進(jìn)行了改變，學(xué)生在三個(gè)變式題中學(xué)會(huì)了利用圓錐曲線的定義對各軌跡進(jìn)行探索與求解，這對于學(xué)生來說，無疑是更具創(chuàng)造性與挑戰(zhàn)性的思維經(jīng)歷.

3. “變式”要有度

與新授課、習(xí)題課、復(fù)習(xí)課相互交融并存的習(xí)題變式教學(xué)與習(xí)題課的教學(xué)相比明顯存在著較大的區(qū)別. 習(xí)題變式教學(xué)單獨(dú)成課的現(xiàn)象一般極為少見，習(xí)題變式教學(xué)在各類課型中的教學(xué)側(cè)重也各有不同. 例如，在新授課的習(xí)題變式教學(xué)中，教師始終不能忘記其為本課教學(xué)目標(biāo)達(dá)成而設(shè)計(jì)的目的;在習(xí)題課的習(xí)題變式教學(xué)中，教師又始終不能忽略數(shù)學(xué)思想、方法的適當(dāng)滲透;在復(fù)習(xí)課的習(xí)題變式教學(xué)中，教師又要注意在數(shù)學(xué)思想方法滲透的同時(shí)適當(dāng)進(jìn)行縱向、橫向的聯(lián)系與拓展并使學(xué)生所掌握的知識體系更為豐滿. 因此，教師在各種課型的習(xí)題變式教學(xué)中應(yīng)根據(jù)其不同側(cè)重點(diǎn)進(jìn)行適當(dāng)有度的變化以促使教學(xué)目的達(dá)成.

總之，緊扣《考試說明》并圍繞考綱進(jìn)行的適度變式往往能更好地促進(jìn)教學(xué)既定目標(biāo)的順利實(shí)現(xiàn)，因此，教師應(yīng)盡量避免那些偏離考綱的“繁、難、雜”題目以預(yù)防教學(xué)軌跡的偏離和學(xué)生學(xué)習(xí)的消極，事實(shí)上，浪費(fèi)學(xué)生寶貴時(shí)間、挫傷學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的變式也確實(shí)難以保障教學(xué)目標(biāo)的順利達(dá)成，具體教學(xué)中應(yīng)盡量避免.