關(guān)于數(shù)列綜合題的多視角突破探析

吳衛(wèi)東

[摘? 要] 數(shù)列指的是有序數(shù)組的集合，是高中數(shù)學(xué)重要的知識(shí)內(nèi)容，以此為背景的高考?jí)狠S題趨向于知識(shí)綜合化，即將數(shù)列內(nèi)容與其他知識(shí)相結(jié)合，考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和綜合問(wèn)題的處理能力，如將數(shù)列與不等式、函數(shù)相融合. 對(duì)于該類綜合問(wèn)題一般存在多種解題視角.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)列;不等式;函數(shù);綜合;多解;思維

考題呈現(xiàn)

（2018年江蘇高考數(shù)學(xué)卷第20題）設(shè){an}是首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列，{bn}是首項(xiàng)為b1，公比為q的等比數(shù)列.

（1）設(shè)a1=0，b1=1，q=2，若an-bn≤b1對(duì)n=1，2，3，4均成立，試求d的取值范圍;

思路突破

第一問(wèn)：定數(shù)列，不等式恒成立的取值

該問(wèn)已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1，等比數(shù)列{bn}的首項(xiàng)b1和公比q，求an-bn≤b1對(duì)n=1，2，3，4均成立時(shí)d的取值，只需要將n=1，2，3，4分別代入不等式，從而列出不等式組，通過(guò)求不等式組中d的取值即可.

第二問(wèn)：不定數(shù)列，不等式恒成立的取值.

對(duì)于上述式11的證明有兩種思路：思路一是數(shù)列角度，將不等式拆成兩個(gè)新的數(shù)列，通過(guò)后項(xiàng)減前項(xiàng)的方式來(lái)證明;思路二是函數(shù)角度，通過(guò)縮放來(lái)證明，求取值則可以從不等式中提取出共有部分，構(gòu)建新的函數(shù)，通過(guò)分析函數(shù)的單調(diào)性來(lái)完成. 下面將分別從上述兩個(gè)角度來(lái)完成證明和求取值范圍.

解法一——數(shù)列角度

解法二——函數(shù)角度

突破思考

1. 解題突破的關(guān)鍵解讀

而問(wèn)題（2）是在問(wèn)題（1）基礎(chǔ)上的拓展，同樣是證明不等式問(wèn)題求公差d的取值，所不同的是由于刪去了數(shù)列的特征值，使得不等式問(wèn)題變?yōu)楹瑓⒉坏仁? 因此問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)：①是如何結(jié)合數(shù)列對(duì)不等式問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，②是如何討論不等式中的參數(shù). 上述方法在對(duì)關(guān)鍵點(diǎn)①處理時(shí)均采用數(shù)列代入的方式，所不同的是后續(xù)對(duì)不等式證明時(shí)，方法1采用構(gòu)建新的不等式，轉(zhuǎn)化為研究數(shù)列性質(zhì)問(wèn)題，方法2則是構(gòu)建新的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題. 對(duì)于關(guān)鍵點(diǎn)②的處理，均借助導(dǎo)函數(shù)研究對(duì)象性質(zhì)的方式.

2. 解題思路的歸納解讀

考題表面上屬于數(shù)列問(wèn)題，但剖析問(wèn)題本質(zhì)，求不等式恒成立時(shí)的參數(shù)取值范圍，實(shí)際上就是研究不等式特性，考慮到不等式是由數(shù)列構(gòu)成，而數(shù)列的通式也可以看作是函數(shù)，因此可以從兩個(gè)角度進(jìn)行解題思路構(gòu)建，上述的兩種解法就是分別從數(shù)列性質(zhì)研究和函數(shù)性質(zhì)研究來(lái)開展的. 對(duì)于數(shù)列不等式的參數(shù)求解題，可以從研究數(shù)列性質(zhì)和研究函數(shù)性質(zhì)兩個(gè)方向進(jìn)行，在研究性質(zhì)過(guò)程中也可以適當(dāng)結(jié)合圖像，精準(zhǔn)確定對(duì)象的性質(zhì).

教學(xué)建議

本文選取2018年江蘇高考的數(shù)列與不等式的壓軸題，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的突破思路講解，挖掘了該類問(wèn)題的多角度求解策略，并對(duì)解題過(guò)程的關(guān)鍵點(diǎn)、模型構(gòu)建方法和解題思路進(jìn)行了剖析，以求通過(guò)典型問(wèn)題的分析達(dá)到“解題知法”的目的，為學(xué)生的解題思維的拓展提供幫助，下面是筆者關(guān)于本題的一些教學(xué)建議.

1. 重基礎(chǔ)，識(shí)本質(zhì)

新課標(biāo)明確指出要讓學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)的探究學(xué)習(xí)掌握基本的知識(shí)和技能，其中基礎(chǔ)知識(shí)包括數(shù)學(xué)的基本概念、定理和公式，這些都是反應(yīng)數(shù)學(xué)規(guī)律的本質(zhì)內(nèi)容. 如數(shù)列問(wèn)題，需要學(xué)生掌握數(shù)列的定義、對(duì)應(yīng)通式、性質(zhì)和求法，不等式問(wèn)題則需要學(xué)生掌握不等式的基本定義、解不等式的方法. 同時(shí)通過(guò)對(duì)應(yīng)內(nèi)容的學(xué)習(xí)深入理解內(nèi)容的本質(zhì)，即數(shù)列是反應(yīng)數(shù)變化規(guī)律的式子，而不等式是對(duì)數(shù)大小的一種反映，因此均可以從性質(zhì)研究角度來(lái)進(jìn)行. 在高中的復(fù)習(xí)階段，教師要引導(dǎo)學(xué)生注重知識(shí)基礎(chǔ)，深入挖掘知識(shí)本質(zhì)，提升學(xué)生認(rèn)知的維度和深度.

2. 知通性，學(xué)通法

通性通法指的是反映數(shù)學(xué)研究對(duì)象本質(zhì)的研究方法，指的是在解題時(shí)以數(shù)學(xué)的基本概念和原理為起點(diǎn)，運(yùn)用基本的公式和定理來(lái)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析. 如上述研究數(shù)列的性質(zhì)時(shí)采用前后項(xiàng)互減的方式，研究函數(shù)性質(zhì)則采用分析導(dǎo)函數(shù)的方式，對(duì)連續(xù)不等式的分析采用構(gòu)建不等式組的方式，這些都是對(duì)應(yīng)問(wèn)題最基本的解法. 因此，在解題教學(xué)中有必要強(qiáng)調(diào)研究對(duì)象的本質(zhì)解法，讓學(xué)生掌握問(wèn)題的基本求解思路，從而可以在拆分復(fù)雜問(wèn)題后運(yùn)用本質(zhì)方法一一攻破.

3. 勤思考，多聯(lián)想

在當(dāng)下考題向多樣化發(fā)展的趨勢(shì)下，學(xué)生在掌握基本知識(shí)和本質(zhì)解法后還需要適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行拓展聯(lián)想，包括對(duì)知識(shí)內(nèi)容和解題方法的融合拓展，如上述數(shù)列不等式問(wèn)題，就需要理解不等式與數(shù)列的結(jié)合點(diǎn)——特征參數(shù)，了解該類問(wèn)題的分析視角——函數(shù)與數(shù)列. 各種解法之間是對(duì)立與統(tǒng)一的關(guān)系，有融合也有自身的特點(diǎn)，教師需要做的就是通過(guò)一題多解的訓(xùn)練方式，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)的融合，拓展學(xué)生的解題思路，幫助學(xué)生形成多角度思考、多層面分析、多方法融合探究的習(xí)慣，以提升學(xué)生思維的開放性、拓展性和創(chuàng)新性為主要教學(xué)目標(biāo).