追求有思維深度的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)

姚恒

[摘? 要] 數(shù)學(xué)是具有思維深度的學(xué)科，對于高中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，在數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)以及數(shù)學(xué)問題的解決過程中，無不體現(xiàn)出思維的深度.數(shù)學(xué)教師要抓住高中數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)，并從學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)出發(fā)，通過情境的創(chuàng)設(shè)，以及問題的提出，來讓學(xué)生的思維更具深度.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);思維深度;課堂教學(xué)

數(shù)學(xué)是思維的學(xué)科，沒有思維就無法支撐數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，尤其是對于高中數(shù)學(xué)而言，沒有一定的思維深度，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)幾乎是無法完成的. 從教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的角度來看，思維深度不只是一個概念，而應(yīng)當(dāng)是體現(xiàn)在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，只有當(dāng)思維的對象或者說是思維難度突破了學(xué)生原有的水平時，才談得上思維最有深度. 很顯然，對于高中數(shù)學(xué)教師而言，追求有思維深度的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，應(yīng)當(dāng)是一種職業(yè)自覺.正如有同行所說：在數(shù)學(xué)教學(xué)中展示數(shù)學(xué)思維過程，有利于引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考，培養(yǎng)學(xué)生提出問題、解決問題的積極創(chuàng)造能力，激發(fā)學(xué)生的探索精神，走向“深度”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，多角度地促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展和智能水平的提高.

那么什么樣的課堂教學(xué)才是有思維深度的教學(xué)呢？本文僅以高中數(shù)學(xué)為例，談?wù)劰P者自己的思考.

課堂教學(xué)思維深度首先體現(xiàn)在概念教學(xué)上

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》指出：數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)對基本概念和基本思想的理解和掌握，對一些核心概念和基本思想要貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，幫助學(xué)生逐步加深理解. 概念教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)，教學(xué)應(yīng)當(dāng)追求一定的思維深度，基于一定思維深度的數(shù)學(xué)概念教學(xué)，一般來講能夠讓學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的掌握非常牢固. 當(dāng)然，我們首先要思考的是怎樣的概念教學(xué)才是有思維深度的概念教學(xué). 筆者以為，在數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)過程中，如果能夠讓學(xué)生的第一個思維進(jìn)入深加工的過程，那這樣的概念教學(xué)就是有思維深度的概念教學(xué).

以“函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)為例，在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，我們可能會忽視一個問題，那就是函數(shù)的這種性質(zhì)為什么會稱之為函數(shù)的單調(diào)性？筆者在教學(xué)的過程中，結(jié)合某一個函數(shù)的定義域，讓學(xué)生觀察在這個定義域中，函數(shù)值會發(fā)生什么樣的變化？結(jié)果學(xué)生發(fā)現(xiàn)在這個定義域范圍之內(nèi)，函數(shù)值的變化是單向的，也就是說其變化沒有先怎么樣再怎么樣. 在這樣的情景之下，筆者向?qū)W生詢問，這樣的變化是不是顯得有點(diǎn)兒單調(diào)呢？在學(xué)生表示認(rèn)可之后，筆者就說，這樣的變化我們稱之為單調(diào)性變化，而具體點(diǎn)兒說如果y隨著x的增大而增大，那這個函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，反之就是單調(diào)減函數(shù).

通常認(rèn)為這樣的教學(xué)過程可能沒有什么思維深度，可是如果我們從學(xué)生的思維角度來看，稍有經(jīng)驗(yàn)的老師都知道，學(xué)生在理解單調(diào)增或單調(diào)減的時候，對單調(diào)這個詞兒的理解是有困難的.為什么叫單調(diào)增或單調(diào)減？其實(shí)就是指函數(shù)在一定的定義域范圍之內(nèi)，它的變化是唯一的. 這種基于數(shù)學(xué)概念的字面意義的理解通常容易為教師所忽視，可這恰恰是學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念最基本的環(huán)節(jié). 如果說在這個教學(xué)過程中體現(xiàn)了思維的深度，這個深度就體現(xiàn)在：學(xué)生將自己對數(shù)學(xué)概念的生活理解轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)理解的時候，需要將生活語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言. 可以這么講，一個人能夠熟練利用數(shù)學(xué)語言的學(xué)生，一定是最有思維深度的. 因?yàn)閿?shù)學(xué)語言是抽象的語言，能夠利用抽象的語言進(jìn)行思考的學(xué)生，一定是具有思維深度的學(xué)生. 所以在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，它可以通過學(xué)生對數(shù)學(xué)語言的掌握和利用情況來判斷他的思維深度.

在數(shù)學(xué)問題解決過程中體現(xiàn)思維的深度

相對于數(shù)學(xué)概念教學(xué)而言，高中數(shù)學(xué)問題解決也是一個綜合性更強(qiáng)的過程，之所以這么說，是因?yàn)樵趩栴}解決的過程中，除了要掌握數(shù)學(xué)概念之外，還需要用在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中形成的能力進(jìn)行問題的解決，以及在新的情境中的遷移. 這對于大部分學(xué)生而言都是具有一定的挑戰(zhàn)性的，因此也就體現(xiàn)出了思維的深度.正如有同行所指出的那樣：數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)思維的深刻性是數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)意識的集中反映. 數(shù)學(xué)思維的深刻性是指數(shù)學(xué)思維活動的抽象程度和概括水平，涉及思維活動的深度、廣度和難度，它集中表現(xiàn)在對于數(shù)學(xué)問題的思考，能抓住問題的本質(zhì)和規(guī)律，深入細(xì)致地加以分析和解決. 坦率地說，當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)實(shí)中，還不大容易看得出學(xué)生的思維具有很強(qiáng)的深刻性，更多的時候，我們看到的是學(xué)生所形成的數(shù)學(xué)能力在比較熟悉的情境中能夠得到應(yīng)用. 而如果在這種情境的變化之后，學(xué)生的問題解決反而會有些阻礙. 這就意味著學(xué)生在高中數(shù)學(xué)的過程中，思維的深度還有比較大的提升空間，這個空間某種程度上講也是教師的教學(xué)空間.

在“函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)中，可能很少人有將作為情境創(chuàng)設(shè)的材料作為一種能夠貫穿一節(jié)課教學(xué)始終的素材.比如說一個地區(qū)的一段時間內(nèi)的溫度變化情況，其就是一個溫度隨著時間的變化而變化的圖像，這個變化的過程中，能夠體現(xiàn)出函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)性質(zhì)，尤其是在一段區(qū)間之內(nèi)，函數(shù)值隨著變量的變化而變化的情況. 這樣的素材是不是只適用于課堂引入呢？答案是否定的.其實(shí)這個素材可以在學(xué)生已經(jīng)建立了函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)認(rèn)識之后，繼續(xù)作為問題解決的素材. 一個簡單的問題是：一個函數(shù)在什么樣的區(qū)間上具有什么樣的單調(diào)性？這個問題可以說是一個相對具有普適性的問題，它可以針對不同情境的函數(shù)而提出. 譬如對用來創(chuàng)設(shè)問題情境的氣候問題而言，就可以向?qū)W生提問：在什么樣的范圍內(nèi)函數(shù)具有什么樣的單調(diào)性？由于這個問題呼應(yīng)了創(chuàng)設(shè)情境時所使用的素材，學(xué)生在進(jìn)行問題解決的時候，反而有一種前后照應(yīng)的感覺，也就是說，后面所學(xué)習(xí)的知識可以用來解決前面所遇到的問題，這樣的心態(tài)是其他的教學(xué)設(shè)計(jì)所無法比擬的，教師在教學(xué)的過程中應(yīng)當(dāng)充分利用. 這個利用過程越充分，那問題解決過程中的思維深度體現(xiàn)就越充分.

數(shù)學(xué)課堂思維深度體現(xiàn)在師生合作過程中

需要指出的是，思維的深度不止體現(xiàn)在學(xué)生的思維過程中. 因?yàn)樵诟咧袛?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生的思維受教師的影響. 影響學(xué)生的過程某種程度上講就是一個師生合作的過程，師生合作越充分、越徹底，往往學(xué)生的思維就越有深度.

我們將學(xué)生思維的過程放在師生合作過程的視角之下，其實(shí)是想彰顯學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上思維深度的價值，因?yàn)闆]有師生有效的合作，實(shí)際上是談不上學(xué)生的思維深度的. 只有教師對學(xué)生的有效引導(dǎo)，學(xué)生的思維才有可能走向深入，這樣的結(jié)論對課程改革中忽視教師作用的言論是一種糾正. 畢竟在學(xué)習(xí)的狀態(tài)中，學(xué)生的思維不可能無據(jù)可依，只有教師有效引導(dǎo)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)師生的高效合作，學(xué)生的思維才有可能具有深度.

以上是筆者對高中數(shù)學(xué)課堂思維深度的體現(xiàn)的一些淺顯思考，不當(dāng)之處敬請同行批評指正.