美國高中教科書概率專題的設計特色①
——以9年級CPMP教科書為例

陳雪梅 蔡金法

(1.河北師范大學數(shù)學與信息科學學院 050024；2.特拉華大學數(shù)學系19716)

1 背景與問題

美國CPMP[1](Core-Plus Mathematics Project，核心加數(shù)學項目)高中數(shù)學教科書是以《美國學校數(shù)學教育的原則和標準》(Principles and Standards for School Mathematics,簡稱為《原則和標準》)、《美國州際核心數(shù)學課程標準》(Common Core State Standards for Mathematics,簡稱為CCSSM)為指導進行設計、發(fā)展與評價的教科書，從20世紀90年代初一直得到美國國家科學基金CPMP的支持. 這套教科書以問題為基礎，以探究為導向，面向全體學生，2013年得到美國數(shù)學與科學教育專家組、商務高等教育論壇的共同推薦，成為從所有面向大學與職業(yè)準備的學科領域中選出的32個教育示范項目之一. 在過去的20年中，一些關鍵的對比評價與獨立的研究都表明，使用CPMP教科書的學生，在問題解決、應用與概念性理解測試方面明顯表現(xiàn)更好[2].

本文對9年級CPMP教科書概率專題設計特色的分析歸為如下一些問題： 1.教科書如何發(fā)展學生的概率推理與素養(yǎng)？2.教科書怎樣幫助學生建構隨機性與概率觀念？ 因為CPMP-9年級的概率單元與我國《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》必修3的概率知識在內(nèi)容上有許多相似的要求，所以作為分析介紹的主要內(nèi)容.

2 CPMP教科書概率專題的整體介紹

CPMP教科書以“問題—探究”為導向組織內(nèi)容，每一冊的內(nèi)容都由代數(shù)與函數(shù)、幾何與三角學、統(tǒng)計與概率、離散數(shù)學、關聯(lián)的數(shù)學五部分構成.“統(tǒng)計與概率”的首要目標是發(fā)展學生的能力，包括分析數(shù)據(jù)，認知與測量差異，理解概率情境中的模式. 最終目標是學生能理解如何通過考察一個樣本得到關于總體的推斷. 9年級概率是第8單元“機會中的模式”.這個單元共有3課，第1課“概率計算”，包括5個主題：(1)構造等可能機會情境的樣本空間；(2)利用公式，計算結果是等可能事件的概率；(3)根據(jù)一個樣本空間，構造概率分布；(4)確定互斥事件；(5)利用加法公式或者它的特例，計算P(AorB). 第2課“機會情形的建?！保?個主題：(1)兩個等可能結果的模擬模型；(2)利用大數(shù)定律理解機會情境；(3)多個等可能結果與結果非等可能的模擬模型；(4)代表結果的隨機數(shù)字來自一個連續(xù)區(qū)間的模擬模型；(5)利用幾何概型解決涉及連續(xù)區(qū)間的概率問題.第3課“回顧”.這個單元共涉及469個問題. 如果例題是指為了顯示一些具體技術或技巧的應用而呈現(xiàn)解法步驟和最終解法的話，那么CPMP教科書沒有例題. 所有的問題分為：伴隨概念、方法的引入與發(fā)展的問題任務、要求學生獨立完成的問題任務. 其中要求學生獨立完成的習題由五部分組成：應用(應用與鞏固知識)、關聯(lián)(促進數(shù)學主題之間的聯(lián)系)、反思(重新檢驗個人的觀念與思維)、拓展(探究更深度的數(shù)學，例如，利用排列算法計算所有可能結果的數(shù)量)、復習(保持程序運算的流暢性).“復習”中的任務涉及學習概率測量所需要的一些預備知識(例如小數(shù)、百分數(shù)、分數(shù)、幾何、函數(shù)等相關知識).

3 如何發(fā)展學生的概率推理與素養(yǎng)

許多研究者認為，應把概率素養(yǎng)(Probability Literacy)看作統(tǒng)計素養(yǎng)的構成要素[3]. 以色列著名數(shù)學教育研究者Gal提出[4]，概率素養(yǎng)應包括認知性知識元素(Cognitive knowledge elements)與傾向性元素(Dispositional elements)兩個結構單元，前者包括：(1)核心概念：包括變異性、隨機性、獨立性、可預測性/不確定性；(2)計算概率：發(fā)現(xiàn)或估計一個事件的概率的多種路徑；(3)語言：用于交流與機會有關的情形的術語與方法；(4)情境：理解各種情境中以及個人與公共話語中，概率問題與信息的作用和意義；(5)批判性問題：處理概率時反思的問題. 從概率素養(yǎng)的視角分析，CPMP教科書有如下特色.

3.1 提供了豐富的概率與統(tǒng)計語言

“機會的模式”單元涉及樣本空間、等可能、概率公式(古典概型)、概率分布、互斥事件、加法公式、大數(shù)定律、模擬模型、幾何概型等主要概念與公式，多伴隨問題解決的過程，以歸納描述的形式呈現(xiàn).除了新引入的概念，教科書還重視發(fā)展概率與已有統(tǒng)計知識的聯(lián)系.特別是在模擬概率建模的過程中，強調根據(jù)頻率分布表繪制直方圖，分析統(tǒng)計特征值(均值、方差)，再估計概率.

在學生初步經(jīng)歷用表格列出所有可能的結果，討論事件的概率后，教科書用描述性語言引入樣本空間、等可能兩個概念，并總結概率公式.例如：“在問題1中你完成的那張表被稱作滾動兩枚骰子情境下的一個樣本空間.一個樣本空間就是列出所有可能的結果.”在要求學生探索樣本空間，求一個事件的概率之后，教科書引入概率分布概念：“一個概率分布是指隨著每一個結果發(fā)生的概率，對一個隨機情形中所有可能用數(shù)字表示的結果的一個描述. 不同于樣本空間，一個概率分布中所有的結果必須是單個數(shù)字，并且概率是明確的.”學生再經(jīng)歷列出樣本空間、判斷等可能性、根據(jù)條件整理概率分布表、計算某事件的概率的思維過程.

大數(shù)定律的引入是伴隨兩個等可能結果的模擬概率模型.在討論擲一枚硬幣的正面比例隨模擬次數(shù)的圖像變化時，指出：“大數(shù)定律是指試驗的次數(shù)越多，概率的估計會趨于更好.”在其后的許多模擬建模任務中，都包含根據(jù)大數(shù)定律，解釋圖表信息的要求.

3.2 任務的組織與發(fā)展突出數(shù)學本質與聯(lián)系

在CPMP教科書中，每一個學習目標的實施都由調查開始，一段簡要的旨在呈上啟下地明確任務的介紹都以一個問題結束，然后再開始具體的調查.“機會的模式”單元，是按照不同的模型以及建模來促進概率的概念化.這個單元共包括六個調查任務，第一課的兩個調查依次是：“你如何發(fā)現(xiàn)并組織與滾動兩枚骰子類似的隨機事件的概率”“在什么條件下，你可以把各個概率加起來作為一個相關事件發(fā)生的概率”.教科書并未出現(xiàn)古典概型的概念，代替以樣本空間、等可能性來強調這種機會情形的特征.加法法則開始于利用實例討論“事件A或事件B”的意義，然后依次引入互斥事件，互斥事件的加法公式；再通過實例討論分析非互斥事件，最后給出一般的加法公式.

第二課“機會情形的建?！卑ㄋ膫€調查：依次是“你怎樣模擬設計兩個等可能結果的機會情境”“當遇到多于兩個等可能的結果，或兩個結果不是等可能的情境，你怎樣利用隨機數(shù)表或計算器設計模擬的模型”“當表示結果的數(shù)字來自一個連續(xù)的區(qū)間，你怎樣設計模擬的模型來解決問題”“怎樣利用面積模式而不是模擬方法，來解決連續(xù)區(qū)間的概率問題”.這些問題反映了各種機會情境的實質及其發(fā)展.

“機會的模式”單元的內(nèi)容組織從整體上體現(xiàn)了從理論概率向試驗概率的發(fā)展，同時又符合從特殊到一般，從簡單到復雜的認知規(guī)律.

3.3 呈現(xiàn)模式探索的推理過程

CPMP教科書重視通過問題或問題組呈現(xiàn)概率理論特有的性質，包括模式探索與模型建構的推理要素、方法、步驟等. 在探索古典概型時突出：第一，列出樣本空間；第二，判斷所有結果是否等可能發(fā)生；第三，根據(jù)條件整理概率分布表；第四，計算概率.例如：“假設你擲一枚硬幣三次.(1)列出所有8個可能結果的樣本空間，例如正面、反面、反面.(2)這些結果都是等可能的嗎？解釋你的回答.(3)根據(jù)正面的數(shù)量制作一張概率分布表.(4)你準確得到2次正面的概率是多少？至多得到2次正面的概率是多少？”.

在探索幾何概型時突出：第一，轉化為一個面積區(qū)域(例如正方形)；第二，繪出事件對應的面積區(qū)域；第三，計算概率.例如：“Al在12點至1點之間隨機休息10分鐘一次，Alice獨立于Al做同樣的事情.考慮如何利用一個面積模型準確計算概率.(1)在下面的圖中，確定那些對應Al與Alice在相同的時間開始休息的點.(2)對于Al開始休息的任何一個時間，Alice如果要與Al的休息交疊，Alice開始休息的時間是哪些？(3)在會導致兩人的休息產(chǎn)生交疊的那些開始時間涂上陰影.(4)兩人休息產(chǎn)生交疊的概率是多少？”.

3.4 利用模擬試驗經(jīng)歷概率建模

CCSSM強調從建模的視角理解概率與統(tǒng)計，數(shù)學建模包括數(shù)據(jù)收集、表征、解釋、預測與模擬的過程.因此，在CPMP教科書中，模擬不僅僅是一種解決概率問題的方法，也是反思現(xiàn)實世界的一種思維方式與建模的過程.模擬建模的思維過程突出：第一，明確所有可能結果，確定每個結果的概率以及一次試驗與下一次試驗的概率是否發(fā)生變化；第二，選擇一種隨機發(fā)生器，并描述如何利用它進行一次試驗；第三，利用選擇的隨機發(fā)生器進行多次模擬試驗，并利用頻率表、頻率直方圖記錄結果，當頻率分布的形狀、中心、伸展的范圍趨于穩(wěn)定時停止試驗；第四，估計概率，得出結論或推斷.例如問題：“Jeffrey 正在進行一項包含10個對錯問題的測試。他事先沒有研究，甚至對任何一個問題都沒有合理的猜測，他隨機回答“正確”或“錯誤”.(1)描述如何用一枚硬幣來建立這項測試結果的模型，并實施一次模擬.(2)實施5次模擬.下面的頻率表已經(jīng)給出495次模擬的結果，把你的結果加進這個頻率表，使總數(shù)達到500次.(3)下面給出了495次結果的頻率直方圖，加進你的(5次)結果重新做出直方圖.描述它的形狀，并估計它的均值與標準差.(4)利用他的隨機猜測方法，Jeffrey應該期望平均能正確回答多少問題？這個結果怎樣與模擬方法得到的均值進行比較？(5)如果通過這次測試要求正確回答70%的問題，請你估計Jeffrey通過這次測試的概率是多少？(6)考慮大數(shù)定律，Jeffrey應該選擇包含大量問題的對錯測試，還是包含少量問題的對錯測試？”

許多研究表明，把概率推理看作模型構造的過程對教與學是更適宜的. 模擬方法可以讓學生來控制：設計試驗、根據(jù)他們的愿望確定試驗次數(shù)、查看結果的圖形表示. 這些會促進他們對于一次隨機試驗與獨立性概念的理解，并深刻認識理論概率、經(jīng)驗概率與樣本大小如何用于做出推論. 無放回事件(without-replacement event)的概率只在模擬情形下出現(xiàn)，不需要學生進行復雜的運算.

3.5 利用現(xiàn)實世界的問題情境發(fā)展批判意識

在CPMP教科書中不僅包含大量的學生生活、社會等現(xiàn)實世界情境的問題，而且許多情境蘊含了“敘事的錨”，要求學生分析真實的背景，給出合理的假設，再模擬建模.例如：“當被問到機會以什么方式影響她的生活時，來自洛杉磯一所大型高中的9年級學生的回答是：學生被隨機抽查是否攜帶武器.假設這項政策已經(jīng)宣布，一名新聞記者懷疑這所學校的學生不是被隨機抽查，而是男生比女生有更大可能被抽到.然后這名記者觀察了第一次的調查，發(fā)現(xiàn)所有被調查的學生都是男生.如果學生是隨機抽取的，那么估計所有10名學生全是男生的概率是多少？”.

許多問題還關注數(shù)據(jù)的來源、建模與估計的合理性，試圖通過引導學生反思來發(fā)展他們的統(tǒng)計觀念與批判意識.例如：“一所學校正在推銷雜志訂閱來籌錢. 一組學生想模擬這個情境：詢問10個人，他是否愿意買一本雜志，如果這個人回答“是”就記錄這個數(shù)據(jù). Jason建議：擲一枚硬幣10次，計算正面朝上的次數(shù). 因為一個人或者說“是”(正面)，或者說“不”(反面).Jason的模擬模型合理嗎？解釋你的觀點.”

4 如何促進學生建構隨機性概念

理解“隨機性”是理解隨機試驗、隨機數(shù)、隨機變量、隨機事件、隨機抽樣等概念的前提與條件. 但在中學教材里，“隨機性”的意義并不清晰、明確. 許多心理學與數(shù)學教育的研究表明，機會與隨機性的學習對所有年齡段的學習者都充滿困難與挑戰(zhàn). 例如：學習者不能解釋蘊含在重復試驗中的模式的不確定性；學習者存在一種信念：個人或器材(例如轉盤)可以對一個隨機事件施加控制，或者一些隨機事件包含某種順序、目的或原因. 已故美國著名數(shù)學教育家Fischbein曾斷言，在學習概率過程中，學生必須創(chuàng)造新的直覺[5].

4.1 引入分布概念促進隨機性概念的具體化

在CPMP教科書中，“分布”概念隨處可見：在古典概型的探索中引入概率分布表；在模擬建模中，更是強調通過頻率分布表、頻率分布直方圖進行統(tǒng)計特征分析，得到更好的概率估計.教科書中有這樣的話，概率分布可以給學生提供一個概率情境的完整畫面，是組織分析的最佳途徑.

這種設計的目標在于：(1)分布概念架起溝通概率與統(tǒng)計的橋梁，形成概率與統(tǒng)計之間非常緊密的聯(lián)系.特別是通過可重復的模擬試驗，可以產(chǎn)生各個結果的分布. 這就包含了通向統(tǒng)計學基本概念的線索，例如關于分布形狀、分布中心、分布差異的各個測量.《原則和標準》也強調，全面而深刻地理解統(tǒng)計與概率的基礎以及統(tǒng)計與概率的關聯(lián)是形成能力的關鍵.(2)使得隨機性概念更容易感悟. 雖然各類詞典中對隨機與隨機性都有許多說法，但與概率、統(tǒng)計意義有聯(lián)系的只有“機會”“具有因果關系的”. 在口語表達上，隨機性只能限于作為“不可預測的”. 全美數(shù)學教師理事會(NCTM)2009年發(fā)布的文件《高中數(shù)學的焦點：統(tǒng)計與概率》(Focus in High School Mathematics: Statistics and Probability，簡稱為《焦點》)的主編Shaughnessy認為[6]：“很難給隨機與隨機性一個清晰的定義. 因為，定義隨機必然涉及概率，而概率同時涉及隨機性。但獨立性、變異性、分布這些概念比隨機與隨機性容易定義，并且可以促進對學生概率思維與學習的調查.”(3)促進學生從比例推理(Proportional Reasoning)向更高層次的分布推理(Distributional Reasoning)發(fā)展.

4.2 滲透變異性感悟隨機

在9年級CPMP教科書中，對變異性的感悟伴隨在模擬建模過程中經(jīng)歷理論概率分布與經(jīng)驗的抽樣分布以及理論概率與試驗概率之間的相互作用、樣本大小對估計的影響等等，反思數(shù)據(jù)的來源、一次試驗與下一次試驗的概率是否發(fā)生變化，體會實施大樣本試驗的價值.

例如，“有一種流行的早餐麥片，曾經(jīng)每箱中都有一套魔術(道具)，不同類型的一共有7套.

a. 為了集齊全部7套魔術道具，你至少買幾箱？

b.如果你買了一箱麥片，得到7套魔術之一的‘乘幣魔術’的概率是多少？為了得到答案，你的假設是什么？

c.假設你想在得到全部的7套魔術之前估計要買多少箱麥片，描述一個模擬模型，包括怎樣利用隨機數(shù)表實施一次試驗.

d.把你的模擬模型與其他同學的進行比較. 確定一種模擬模型，并讓全班同學都應用.

e.利用這種模擬模型實施5次試驗，并記錄你將要必須買的箱數(shù). 把全班同學的數(shù)目加起來，形成下面的頻數(shù)表(表略).

f.統(tǒng)計結果，形成柱狀圖(圖略). (1) 描述分布的形狀. (2) 比較這個分布與前面的其他分布的形狀.

g.根據(jù)模擬(結果)，為了得到7套不同的魔術，必須買15箱或者更多箱麥片是不常見的嗎？請解釋理由.

h.事實上，一個人最終買的箱數(shù)通常是比根據(jù)模擬期望的數(shù)量大的多的數(shù)目，對此可能的解釋是什么？”

《焦點》中多次強調變異概念是統(tǒng)計與概率學習的核心內(nèi)容，批判性推理是處理數(shù)據(jù)與統(tǒng)計判斷的必要能力. 例如[7]：“統(tǒng)計推理集中于一個焦點，即理解數(shù)據(jù)的變異，并能進行推理. ……統(tǒng)計推理是通過合并來自數(shù)據(jù)與機會的各種觀點尋求對變異性(Variability)的理解和解釋.” CCSSM也強調[8]：“對統(tǒng)計試驗隨機過程的理解和評價. ……判斷一個具體模型是否與從某一給定的數(shù)據(jù)產(chǎn)生過程中獲得的結果相一致.”變異性的產(chǎn)生主要與數(shù)據(jù)、隨機性兩個因素有關. 一個統(tǒng)計學家感興趣的是某個具體樣本中的數(shù)據(jù)或分布、或者一項統(tǒng)計中的抽樣分布等等，所以數(shù)據(jù)、樣本與分布是彼此相互影響的，而不是獨立的. 分析數(shù)據(jù)的變化、樣本的變化、分布的變化以及作出統(tǒng)計推斷不僅是指導學生感悟隨機性的一條有效途徑，而且有利于發(fā)展學生的批判性推理能力(Critical Reasoning Skills).

5 反思與探討

5.1 反思

CPMP概率課程的設計是采取概率與統(tǒng)計的整合視角. CPMP教科書是在《原則和標準》、CCSSM等重要數(shù)學課程文件的指導下進行設計的，其中概率與統(tǒng)計是以“推斷性數(shù)據(jù)分析”為課程目標.與傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)分析的理念不同，探索性數(shù)據(jù)分析的觀念認為， 離開了概率的數(shù)據(jù)分析是沒有意義的，只是在程序化地應用統(tǒng)計知識.因此，概率課程的設計除了這個領域特有的概念與技能之外，教科書還強調概率與統(tǒng)計的相互補充，把概率的計算、估計與建模置于數(shù)據(jù)分析以及非正式的統(tǒng)計推斷的情境之下.

CCSSM對于隨機性與統(tǒng)計概率的聯(lián)系也有闡述.“隨機化對于得出統(tǒng)計結論有兩個重要的用途. 第一，從總體的一個隨機樣本中收集數(shù)據(jù)，考慮了數(shù)據(jù)變異的因素，得出的結論可作為總體的有效結論. 第二，將個體隨機分配到不同的處理方法中，能保證公平性，使得不同的處理方法都能有效地參與.統(tǒng)計意義下的顯著性結果不太可能僅僅由偶然性造成，而這一點只有在隨機性的條件下才能進行評價.”

5.2 探討

當前，數(shù)學學科核心素養(yǎng)如何在教科書的編寫中落實是一個普遍關注的熱點問題. 這也是筆者研究CPMP教科書的初衷. 關于核心素養(yǎng)的討論還在繼續(xù)，但是核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求給學生提供更加有活力的知識，摒棄惰性的知識的觀點得到許多研究者的肯定. 中國概率課程的設計比較注重概率理論自身的知識演繹與發(fā)展，表現(xiàn)為概念界定嚴謹，概念之間的邏輯關系與結構較清晰. 另一方面，如何理解統(tǒng)計與概率的關聯(lián)，重視不同的概率建模過程中的推理方式與批判性思維，關注在現(xiàn)實情境下進行模擬建模，等等，這些都是需要深入思考的問題.