用向量知識(shí)求解高中數(shù)學(xué)題

☉貴州省遵義市第二中學(xué) 江永倫

向量知識(shí)作為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)知識(shí)，為我們高中生求解許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解提供了一個(gè)便捷的工具，尤其是適用于解決代數(shù)與幾何知識(shí)相關(guān)的數(shù)學(xué)類型題求解.通過(guò)回顧分析近年來(lái)高考數(shù)學(xué)學(xué)科題目，可知向量知識(shí)的相關(guān)類型題占有很大比例.為了提升我們高中生數(shù)學(xué)問(wèn)題求解能力，有必要熟練掌握向量知識(shí)及其在數(shù)學(xué)問(wèn)題解題中的應(yīng)用策略.

一、在平面幾何問(wèn)題求解中的應(yīng)用

從實(shí)質(zhì)上來(lái)看，向量不只具有大小，也具有方向，所以可以對(duì)相關(guān)點(diǎn)或線段之間的位置和長(zhǎng)度等相關(guān)關(guān)系進(jìn)行反映.根據(jù)性質(zhì)的不同，可以將向量分成零向量、共線和平行向量等.針對(duì)平面幾何問(wèn)題的求解，向量知識(shí)的正確應(yīng)用的關(guān)鍵是要將相應(yīng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)達(dá)到簡(jiǎn)化問(wèn)題，這樣只需要按照代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行求解即可達(dá)到快速、準(zhǔn)確求解平面幾何問(wèn)題的目的.但是為了充分發(fā)揮向量知識(shí)的工具作用，我們高中生必須要充分了解問(wèn)題題意，科學(xué)設(shè)置向量坐標(biāo)，并對(duì)相應(yīng)向量的夾角與長(zhǎng)度等相關(guān)參數(shù)進(jìn)行標(biāo)識(shí)，充分在理解和掌握向量之間關(guān)系的基礎(chǔ)上，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題.在實(shí)際的平面幾何問(wèn)題求解過(guò)程中，可以采用向量知識(shí)求直線方程或者對(duì)幾何元素之間關(guān)系進(jìn)行分析，具體如下所述：

1.借助向量知識(shí)來(lái)求解直線方程

例1 已知三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)值分別為A（0，-4），B（4，0），C（-6，2），假定M，N，Q分別為三角形AB邊，AC邊和BC邊的中點(diǎn)，試求直線MN，BM和QN的方程.

解析：針對(duì)該道問(wèn)題，如果采用傳統(tǒng)的方法進(jìn)行求解，那么求解方法與過(guò)程比較煩瑣，但是如果可以運(yùn)用向量知識(shí)，那么就可以使我們快速求解相關(guān)問(wèn)題.首先，需要在向量坐標(biāo)內(nèi)標(biāo)出三角形ABC各頂點(diǎn)的位置，之后結(jié)合題干信息可以確定MNQ三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為M（2，-2），N（-3，1），Q（-1，1），之后假定D（x，y）為直線QN上一點(diǎn)，那么就可以得出Q—→D∥N—→D，將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)直線方程后可得：（x+1)(1-y)=(y-1)·(-3-x)，即可根據(jù)該等式求出直線QN方程.同理，可以求出直線MN和直線BM方程.

由此可知，針對(duì)平面幾何中已知若干點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)求解相應(yīng)直線方程的類型題，非常適宜采用向量知識(shí)來(lái)進(jìn)行求解.

2.借助向量知識(shí)對(duì)幾何元素之間關(guān)系進(jìn)行分析

基于上述例1可知，為了借助向量知識(shí)來(lái)求解直線方程，可以采用向量知識(shí)來(lái)對(duì)元素之間關(guān)系進(jìn)行分析.但是需要對(duì)解題思路進(jìn)行轉(zhuǎn)變.考慮到題干信息中已經(jīng)表明M，N，Q為三角形三條邊線的中點(diǎn)，此時(shí)為了求得直線方程，可以從共線向量和垂直向量角度入手.

二、在立體幾何問(wèn)題求解中的應(yīng)用

在我們學(xué)習(xí)立體幾何知識(shí)的時(shí)候，我們高中生不可避免地遇到一些疑難問(wèn)題，此時(shí)可能會(huì)心生疑慮，所以我們?cè)趯W(xué)習(xí)該部分知識(shí)的時(shí)候，必須要充分了解和掌握自身學(xué)習(xí)中存在的不足，及時(shí)歸納和總結(jié)學(xué)習(xí)過(guò)程中的經(jīng)驗(yàn)和方法，不斷提升自身解決立體幾何問(wèn)題的能力.如果可以在求解立體幾何問(wèn)題的過(guò)程中可以合理運(yùn)用向量知識(shí)，那么可以大大提升立體問(wèn)題求解的質(zhì)量與效率.從本質(zhì)上來(lái)講，立體幾何問(wèn)題實(shí)際上就是探討點(diǎn)、線和面之間的長(zhǎng)度關(guān)系與位置關(guān)系，此時(shí)借助向量知識(shí)的恰當(dāng)應(yīng)用，那么可以將立體幾何方面的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面問(wèn)題.

例2 已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，試求異面直線DC1和D1B1之間的距離.

解析：為了解決該題，可以采用向量知識(shí)來(lái)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化，這就需要先構(gòu)建如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，那么：B1（0，1，1），C1（1，1，1），D1（1，0，1），D（1，0，0）.由此可 得=（0，1，1），=（-1，1，0）.

基于該題的求解可知，針對(duì)異面直線之間距離的求解，可以采用向量知識(shí)來(lái)達(dá)到簡(jiǎn)化問(wèn)題的目的.但是可以先假定兩異面直線的公垂線MN平行的向量α，E和F分別為這兩條直線上的任意兩點(diǎn)，那么所求異面直線之間的距離求解的時(shí)候，可以按照公式M—→N=

三、在不等式證明題求解中的應(yīng)用

在我們高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)期間，不等式證明類型題是比較常見(jiàn)的類型題，求解的難度相對(duì)較大.針對(duì)該種類型數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解，為了可以快速找到解題的突破口，必須要掌握必要的解題技巧和策略，這就要求我們高中生平時(shí)注意分析和總結(jié)相關(guān)類型題的錯(cuò)題，確?？梢钥焖佟?zhǔn)確地求解相關(guān)數(shù)學(xué)類型題，但是常規(guī)方法的解題過(guò)程比較繁雜.如果可以巧妙運(yùn)用向量知識(shí)，那么可以大大簡(jiǎn)化不等式證明題的求解過(guò)程，避免解題陷入繁瑣的泥潭，使我們快速證明待求結(jié)論.

分析：針對(duì)該道例題的求解，如果直接進(jìn)行求解，那么證明的難度比較大，但是如果可以巧妙地應(yīng)用向量知識(shí)，那么就可以輕松證明該不等式，使學(xué)生快速、準(zhǔn)確求解該道數(shù)學(xué)題目，具體就是要構(gòu)造向量m→=（a，b），n→=（c，d），結(jié)合向量的基本性質(zhì)：|m|+|n|≥|m+n|，這樣就可以推導(dǎo)出本道題目所要證明的結(jié)果，即待求

四、在三角函數(shù)問(wèn)題求解中的應(yīng)用

三角函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，是我們高中生學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)，也是高考數(shù)學(xué)學(xué)科考試的熱點(diǎn)內(nèi)容，尤其是該方面的知識(shí)可以與其他方面數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行有效結(jié)合，問(wèn)題的綜合性比較強(qiáng).如果巧妙地應(yīng)用向量數(shù)量積與坐標(biāo)運(yùn)算方面的向量知識(shí)，那么可以有機(jī)結(jié)合三角函數(shù)與向量，將平面向量坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積和向量的垂直條件與共線條件等相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行有效融合和滲透，那么這樣就可以借助向量知識(shí)來(lái)達(dá)到簡(jiǎn)化三角函數(shù)相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的目的，可以為我們高中生求解三角函數(shù)提供一個(gè)便捷的途徑.

解析：針對(duì)該道題目的求解，由于涉及兩個(gè)未知參數(shù)，但是僅有一個(gè)方程等式，那么解決起來(lái)難度比較大，但是如果先結(jié)合三角函數(shù)的基本性質(zhì)，將該公式進(jìn)行適當(dāng)變形，那么可以得到（1-cosB）cosA+sinAsinB=-cosB，只需要仔細(xì)觀察該公式即可發(fā)現(xiàn)，其與向量

數(shù)量積基本保持一致，所以此時(shí)可以假定向量m=（1-cosB，sinB），向量n=（cosA，sinA），這時(shí)候只需要將這兩個(gè)向量相乘即可得到m·n=-cosB.|m||n|=，之后結(jié)合題干所給信息即可求出-cosB≤，這樣就可以求出cosB=，即B=，之后將其重新帶回原來(lái)公式即可求出A的值.

例5 試求證cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ成立.

分析：針對(duì)該道題目的求解，傳統(tǒng)的證明手段比較有限，必須要基于單位向量方面的知識(shí)來(lái)進(jìn)行求解，具體求解過(guò)程如下：

證明：假定（e1，e2）為平面上的標(biāo)準(zhǔn)正交基，a和b均為平面上的單位向量，且單位向量a和e1的夾角為α，單位向量b和e2的夾角為β（α＞β）.那么單位向量a在（e1，e2）坐標(biāo)系下的向量為（cosα，cosβ），單位向量b在（e1，e2）坐標(biāo)系下的向量為（cosβ，sinβ），那么|a|=|b|=1，所以，a·b=|a|·|b|cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

由此就可以達(dá)到證明cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ成立的目的.

五、在等式數(shù)學(xué)問(wèn)題求解中的應(yīng)用

等式數(shù)學(xué)問(wèn)題也是我們高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中需要掌握的主要知識(shí)，其貫穿于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始末，同時(shí)也是高考數(shù)學(xué)學(xué)科命題人的重要命題方向.針對(duì)等式數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解，我們高中生可以嘗試在解題的過(guò)程中融入向量知識(shí)，有效融合等式數(shù)學(xué)知識(shí)和向量知識(shí)，使其成為整合高中數(shù)學(xué)學(xué)科主干知識(shí)的根本出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)，力求可以深化學(xué)生對(duì)于相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和認(rèn)識(shí)，同時(shí)也可以借助向量知識(shí)作為解決相關(guān)等式數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具，最終達(dá)到快速、準(zhǔn)確求解數(shù)學(xué)等式問(wèn)題的目的.

分析：針對(duì)該道等式證明題的求解，采用一般方法的計(jì)算過(guò)程比較冗雜，并且最終可能會(huì)陷入解題泥潭，無(wú)法得以有效解決.但是如果可以借助向量知識(shí)，通過(guò)假定向量，那么可以快速達(dá)到求解該道數(shù)學(xué)問(wèn)題的目的.

六、在復(fù)數(shù)知識(shí)問(wèn)題求解中的應(yīng)用

除了上述幾個(gè)方面的數(shù)學(xué)知識(shí)外，復(fù)數(shù)也是構(gòu)成數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分.針對(duì)復(fù)數(shù)方面問(wèn)題的求解，同樣可以采用向量知識(shí)來(lái)達(dá)到簡(jiǎn)化.

例7 假定復(fù)數(shù)z1，z2，z3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B和C，且已知z1+z2+z3=0，|z1|=|z2|=|z3|=1，試求證△ABC為正三角形.

分析：受制于常規(guī)數(shù)學(xué)思維的影響，我們高中生在遇到復(fù)數(shù)問(wèn)題的時(shí)候，常常會(huì)因抽象的復(fù)數(shù)知識(shí)而影響解題的準(zhǔn)確性.針對(duì)該道復(fù)數(shù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解，可以引入向量知識(shí)來(lái)達(dá)到簡(jiǎn)化問(wèn)題的目的.首先結(jié)合已知條件z+z+z=0可得，化簡(jiǎn)可得123）.因 此 可 知，進(jìn) 而 進(jìn)過(guò)求解可得cos∠BOC，cos∠BOC=-，所以∠BOC=120°.又因?yàn)镺A=OB=OC，所以可知AB=AC=BC，那么△ABC必然為正三角形，由此該道例題即可得以證明.

綜上所述，向量知識(shí)在高中數(shù)學(xué)題求解中的應(yīng)用范圍比較廣，涉及平面幾何、立體幾何、等式方程、復(fù)數(shù)知識(shí)、函數(shù)問(wèn)題與不等式證明等.但是為了確保向量知識(shí)的正確應(yīng)用，我們必須要立足于數(shù)學(xué)題本身，結(jié)合題目的題干信息與解題要求，合理融入向量知識(shí)，力求可以不斷提升我們高中生的數(shù)學(xué)解題能力.H