數(shù)形結(jié)合與函數(shù)的不解之緣

☉湖南省株洲市九方中學(xué) 李伯軍

數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用一般有兩種形式：以形助數(shù)和以數(shù)輔形，也就是將“數(shù)”和“形”統(tǒng)一起來，化“復(fù)雜”為“簡單”，化“抽象”為“直觀”，從而達(dá)到使解題變簡單的目的.而函數(shù)本身就離不開圖形，它的許多屬性都可以從圖形中輕而易舉獲得，因此數(shù)形結(jié)合思想與函數(shù)結(jié)下了不解之緣，連著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生都稱贊道：“數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微.數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非.”

一、真題實(shí)練方法現(xiàn)

1.真題再現(xiàn)

（1）若a=0，則f（x）的最大值為________；

（2）若f（x）無最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

2.真題解析

由圖像易知，當(dāng)x=-1時，f（x）取得最大值，且f（x）max=f（-1）=2.

當(dāng)x≤a時，令f ′（x）=0，解得x=±1.故當(dāng)x＞1或x＜-1時，f ′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)-1＜x＜1時，f ′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù).要使f（x）無最大值，由圖像可知

分析：第（1）問，當(dāng)a=0時，函數(shù)變得具體，可根據(jù)函數(shù)關(guān)系式畫出圖形并觀察其增減性得到其最大值；第（2）問，有了上一問的圖形基礎(chǔ)，顯然若無最大值，關(guān)鍵在于y=x3-3x取不到x=-1這個點(diǎn)，從而得出兩個不等式組，求解即可獲得取值范圍.

3.方法提煉

在這道真題中，出題者可謂是用心良苦，前一問拋磚引玉，較為簡單，而后一問則加大難度，兩問之間溝通的橋梁就是解此題至關(guān)重要的一步：函數(shù)圖形，對于學(xué)生來說，只有在直觀的圖形面前，他們才能輕松地判斷分段函數(shù)的多種可能情況，快速地列出分類討論的不等式組.因此，數(shù)形結(jié)合思想在此題中運(yùn)用的恰到好處，熟悉這種思想的學(xué)生可以輕松快速地解題.由此可見，數(shù)形結(jié)合思想在高考中往往是可以為考生提供解題思路，加快解題速度的不可多得的好方法.該思想在其他情境的函數(shù)問題中也效果明顯，值得學(xué)生好好掌握.

二、拓展應(yīng)用效果顯

筆者在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，盡管數(shù)形結(jié)合思想大家都耳熟能詳，但如何應(yīng)用卻是困擾學(xué)生的頭號問題，以至于在面對具體問題時束手無策.本人認(rèn)為，這是缺少對該思想應(yīng)用場合的歸納指導(dǎo)，下面就該方面詳細(xì)說明，希望可以給讀者們一些幫助，讓數(shù)形結(jié)合不再僅僅是我們口中的“漂亮”辭藻，而是實(shí)實(shí)在在為學(xué)生指點(diǎn)迷津.

1.曲線與方程問題

高中數(shù)學(xué)里有很多概念都是以幾何元素和幾何背景建立起來的，如向量、三角函數(shù)等，這些都可以“以數(shù)思形”，根據(jù)代數(shù)式的圖形分析其幾何性質(zhì)，從而在曲線圖形和方程之間建立聯(lián)系.

例1 （2016年甘肅高考模擬題）函數(shù)y=f（x）的圖像如圖2所示，在區(qū)間［a，b］上可找到n（n＞2）個不同的數(shù)x1，x2，…，xn，使得f，則n的值范圍是________.

解析：由題意，函數(shù)y=f（x）上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，f（x）），可堪稱函數(shù)圖像上的點(diǎn)（x，（fx））與原ii點(diǎn)連線的斜率.如圖3，當(dāng)連線位于OA1、OA5位置時，連線與圖像有兩個公共點(diǎn)，故n=2；當(dāng)連線位于OA2、OA4位置時，連線與圖像有三個公共點(diǎn)，故n=3；當(dāng)連線位于OA3位置時，連線與圖像有四個公共點(diǎn)，故n=4.

圖2

所以n的取值范圍是{2，3，4}.

圖3

2.零點(diǎn)個數(shù)問題

在函數(shù)零點(diǎn)相關(guān)問題中，數(shù)形結(jié)合思想與函數(shù)方程思想密切相關(guān)，其中有一些常用的結(jié)論：

A.無論a為何值，均有2個零點(diǎn)

B.無論a為何值，均有4個零點(diǎn)

C.當(dāng)a＞0時，有3個零點(diǎn)；當(dāng)a＜0時，有2個零點(diǎn)

D.當(dāng)a＞0時，有4個零點(diǎn)；當(dāng)a＜0時，有1個零點(diǎn)

解析：令f（x）=t，則函數(shù)y=f（f（x））+1的零點(diǎn)即為方程的解中的x值，先畫方程②兩邊函數(shù)y=f（t）與y=-1的圖像（如圖 4），考查t的取值范圍：當(dāng)a＞0時，有兩個交點(diǎn)，即方程②有兩個t（不妨設(shè)t1，t2（t1＜t2）），其中t1＜0，0＜t2＜1. 將t1，t2分別代入方程①，并畫出兩邊函數(shù)y=f（x）與y=t的圖像（如圖3），當(dāng)t=t1時，有2個交點(diǎn)，當(dāng)t=t2時，也有2個交點(diǎn)，所以當(dāng)a＞0時，函數(shù)y=f（f（x））+1有4個零點(diǎn)；同理可得，當(dāng)a＜0時，有1個零點(diǎn)，故選D.

圖4

對復(fù)合函數(shù)而言，用數(shù)形結(jié)合方法考慮其零點(diǎn)的方法在上述解析中已經(jīng)展現(xiàn)的淋漓盡致，借助圖像，對方程兩邊的函數(shù)分別作圖，并觀察其交點(diǎn)，此舉在函數(shù)零點(diǎn)問題中至關(guān)重要，因此，無論是普通函數(shù)還是復(fù)合函數(shù)，數(shù)形結(jié)合思想在解決零點(diǎn)相關(guān)問題中都是功不可沒的.

3.含參不等式問題

給定一個含參不等式和相應(yīng)的條件及結(jié)論，“反其道而行”的求解參數(shù)值，這類問題想必大家也是不陌生的，但有些含參不等式問題用常規(guī)的方法難以解決，這時我們可以利用函數(shù)的觀點(diǎn)看問題，“由數(shù)到形”，觀察函數(shù)圖像的特征，挖掘出不等式或不等式組，數(shù)形結(jié)合求解問題.

例3 （2017年廣西省高考模擬題）設(shè)a∈R，若x＞0時，均有［（a-1）x-1］（x2-ax-1）≥0，則a=________.

解析： 作直線y=（a-1）x-1與拋物線y=x2-ax-1的圖像，如圖5所示，觀察圖像特征可得：①兩個函數(shù)圖像均過定點(diǎn)（0，-1）；②在x＞0右半平面上，繞定點(diǎn)（0，-1） 旋轉(zhuǎn)直線y=（a-1）x-1可以看到，滿足條件的兩個函數(shù)的圖像同時不在x軸上方，或者同時不在x軸下方，從而兩個函數(shù)圖像的另一交點(diǎn)必在x軸上（三線共點(diǎn)）.對直線y=（a-1）x-1，令y=0得交點(diǎn)坐標(biāo)為解得a=0（舍去），或

圖5

本題運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，巧妙地發(fā)現(xiàn)其中一個交點(diǎn)位置是固定的，從而有效地避免了傳統(tǒng)解法的分類及復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算及推理，順利求出參數(shù)a的值.

上述三種類型的問題解析中，都無不體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的重要性.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，能使抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、形象化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，激發(fā)解題靈感，大大優(yōu)化解題過程.但要真正地熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想，應(yīng)鼓勵同學(xué)們平時注重培養(yǎng)自己的識圖、觀圖、作圖、用圖能力，只有扎實(shí)的圖像基本功，才能將數(shù)形結(jié)合思想完美地應(yīng)用于解題中.

1.李秀萍，趙思林.高考函數(shù)單調(diào)性試題蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)參考，2017（8）.

2.陳俊斌.巧用數(shù)形結(jié)合思想，妙解高考數(shù)學(xué)客觀題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2015（7）.

3.傅建紅.識圖、觀圖、作圖、用圖［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（7）.H