例析解析幾何最值問題的五種策略

☉重慶市秀山高級(jí)中學(xué)校 蔡旭平

解析幾何中的最值問題，歷來是高考重要考點(diǎn).此類問題涉及的知識(shí)面較廣，解法靈活多變，但總體上主要有兩類方法，一是幾何法，即利用曲線的定義、幾何性質(zhì)，以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是代數(shù)法，即把要求的最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)（些）參數(shù)的函數(shù)（解析式），然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解.但這兩類辦法中共有五種不同的策略，本文舉例說明.

一、定義入手，直奔主題

例1已知雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F（1-2，0），F(xiàn)（22，0），雙曲線C上一點(diǎn)P到F1，F(xiàn)2的距離差的絕對(duì)值等于2.

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知定點(diǎn)G（1，2），D是雙曲線C右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|DF1|+|DG|的最小值

解析：（1）易求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-=1.

（2）由雙曲線的定義，得|DF1|-|DF2|=2，即|DF1|=|DF2|+2，所以|DF1|+|DG|=|DF2|+|DG|+2≥|GF2|+2，當(dāng)且僅當(dāng)G，D，F(xiàn)2三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào).

因?yàn)閨GF2|==，所以|DF2|+|DG|+2≥|GF2|+2=+2，故|DF1|+|DG|的最小值為+2.

評(píng)注：利用雙曲線的定義，直奔主體，可以將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為幾何問題進(jìn)行處理.

二、函數(shù)思想，求函數(shù)最值

（1）求橢圓M的方程；

評(píng)注：函數(shù)法是我們探求解析幾何最值問題的首選方法，其中所涉及的函數(shù)最常見的有二次函數(shù)、無理函數(shù)等，利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求出它的最值，值得注意的是函數(shù)自變量取值范圍的考查不要忽視.本題關(guān)鍵是尋找函數(shù)

三、三角換元，求三角最值

（1）求x2+y2的最值；

（2）若四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓E，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為5，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為4，求四邊形面積的最大值.

又因?yàn)閏os2θ∈［0，1］，所以x2+y2的最大值為25，最小值為16.

（2）如圖1，易知A（5，0），C（0，4），設(shè)（5cosθ，4sinθ）為橢圓上任意一點(diǎn).

圖1

評(píng)注：三角換元的目的是把目標(biāo)函數(shù)中的兩個(gè)變量轉(zhuǎn)化為一個(gè)角變量，從而把原問題轉(zhuǎn)化為我們熟知的三角函數(shù)的最值問題.

四、幾何性質(zhì)，求平面幾何最值

例4 已知拋物線x2=4y上有一條長為6的動(dòng)弦AB，則AB的中點(diǎn)到x軸的最短距離為（ ）

解析：由題意知，拋物線的準(zhǔn)線l：y=-1，過點(diǎn)A作AA1⊥l交l于點(diǎn)A1，過點(diǎn)B作BB1⊥l交l于點(diǎn)B1，設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M，過點(diǎn)M作MM1⊥l交l于點(diǎn)M1，則|MM1|=因?yàn)閨AB|≤|AF|+|BF|（F為拋物線的焦點(diǎn)），即|AF|+|BF|≥6，所以|AA1|+|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故點(diǎn)M到x軸的距離d≥2.故選D.

評(píng)注：解析幾何是“代數(shù)化”了的平面幾何，因此，求解解析幾何問題往往離不開幾何圖形的幾何性質(zhì)，尤其是對(duì)于某些最值問題，我們可以抓住圖形特征，將其轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值問題.

五、牽線搭橋，數(shù)形結(jié)合

例5 已知P（x，y）是圓（x+2）2+y2=1上任意一點(diǎn).

（1）求x2+y2的最大值和最小值；

解析：（1）設(shè)t=x2+y2，則t的幾何意義表示圓（x+2）2+y2=1上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的平方，數(shù)形結(jié)合，此圓的圓心到原點(diǎn)的距離為2.

所以tmax=（2+r）2=（2+1）2=9，tmin=（2-r）2=（2-1）2=1.

所以x2+y2的最大值為9，最小值為1.