一道不等式高考題引發(fā)的變式思考

☉合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 阮 征 王璨璨

一、真題重現(xiàn)

絕大多數(shù)考生做到這道題時都會作出正切函數(shù)y=tanx的函數(shù)圖像，通過正切函數(shù)圖像的單調(diào)性便可給予這個不等式一種直觀詮釋，從中不難發(fā)現(xiàn)這道1994年高考數(shù)學(xué)全國卷試題的數(shù)學(xué)史背景就是著名的Jensen不等式，讀作“琴生不等式”（又稱詹森不等式）.它給出積分的凸函數(shù)值和凸函數(shù)的積分值之間的關(guān)系，即：

若（fx）在區(qū)間（a，b）上為凸函數(shù)，則對于任意x1，x2，x3， … ，xn∈（a，b）， 必 然 存 在，當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=x3=…=xn時 ，“=”號成立；若（fx）在區(qū)間（a，b）上為凹函數(shù)，則對于任意x1，x2，x3，…，xn∈（a，b），必然存在，當(dāng)且僅當(dāng)x=x=x=…=x時，123n“=”號成立.此外，琴生不等式的加權(quán)形式：若（fx）是區(qū)間（a，b）上的凸函數(shù)，則對于任意的x1，x2，x3，…，xn∈（a，b），且當(dāng)a1+a2+a3+…+an=1時，有（fa1x1+a2x2+a3x3+…+anxn）≤a1（fx1）+a2（fx2）+a3（fx3）+…+an（fxn），凹函數(shù)反之亦然.

反觀這道1994年高考數(shù)學(xué)試題，不難發(fā)現(xiàn)題干中給出的不等式其實是一個二元對稱不等式，對于對稱來說，最為顯著的特點就是平衡，下面就給出一種運用平衡的方法來解答這道不等式高考題的證明過程.

證明：設(shè)x1≥x2，則

也就是tanx1≥tanx2.

從而通過前提假設(shè)x1≥x2，以及正切函數(shù)在區(qū)間上是遞增函數(shù)，本題得證.

二、變式思考

通過前面的分析引發(fā)了對本題的一個再思考：原不等式可以變化為如下的形式：

變式1得證后引發(fā)了筆者的再次思考，能否從變量個數(shù)的角度將此題進(jìn)一步推廣？經(jīng)過探究，便得到變式2.

對于變式2的證法可以先證明a4+b4+c4≥abc（a+b+c），再利用權(quán)方和不等式使其得證.

證明：由四元均值不等式，得

由權(quán)方和不等式，得

這種方法自然地將變式2推廣到存在很多個字母的情況，由此再次引發(fā)思考：變式1能否存在對應(yīng)3個字母的推廣？通過一系列探究，得到變式3.

如果將變式1～3的問題拓展到4個字母的情形，就可以衍生出一個難度較大的不等式，即可得出變式4.

本題同樣是一個四元均值不等式，事實上證明此題我們可以嘗試套用變式2的證明方法，即先證明a4b+b4c+c4d+d4a≥abcd（a+b+c+d），然后再通過疊加和柯西不等式使其得證.

將①②③④式疊加，得

再利用柯西不等式，易證

其實，在變式4的證明過程中還隱藏了一個有趣的不等式：

變式5 已知a，b，c，d∈R+，且abcd=1，求證：a4b+b4c+c4d+d4a≥a+b+c+d.

對于變式5的證明就留給讀者去思考.

三、總結(jié)

通過上述對這道1994年高考數(shù)學(xué)全國卷不等式證明題引發(fā)的一系列變式思考的分析可以發(fā)現(xiàn)：不等式雖然屬于高中選修教材的內(nèi)容，但不等式的證明也是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要內(nèi)容，教材在不等式選講專題中介紹了一些重要的不等式，許多不等式都可以借助它得到證明［1］.另外，由于高中數(shù)學(xué)已逐步從等量關(guān)系走向不等關(guān)系，而不等式作為一條過渡的紐帶，本身就具有的豐富性質(zhì)，以及不等式與其他知識的交融滲透同樣是高考數(shù)學(xué)命題老師關(guān)注的焦點問題［2］.因此可以說，不等式證明題在高考數(shù)學(xué)中占有重要的位置［3］.不等式的證明方法也是靈活多樣的，一道不等式證明題又是可以衍生出多種變式思考題，在這些變式中也將基本不等式、琴生不等式、權(quán)方和不等式、柯西不等式、舒爾不等式、排序不等式、均值不等式及其變形得到應(yīng)用，提高了學(xué)生分析問題、解決問題以及應(yīng)用能力.

1.劉亞軍.一道高考不等式證明題的幾種證法［J］.中國校外教育，2014（22）.

2.劉會金.2017年高考“不等式”專題命題分析［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2017（Z4）.

3.郭川瑜.高考不等式答題中存在的問題與教學(xué)策略——以2016年全國3卷24題為例［J］.亞太教育，2016（26）.H