探索式教學設計的嘗試
——以《兩角差的余弦》為例

☉江蘇省南京市第十二中學 韓 靜

探索式教學是一種非常前沿的教學方式，其在上個世紀五十年代漸漸成為一種合理的教學方式.據筆者在各種參考資料上研究表明，探索式教學在國外公立學校中的使用頻率是相當高的，其目的旨在通過學生探索使其主動建構知識的形成，從而牢固地掌握知識體系.本文以三角函數內容《兩角差的余弦》為例，談一談自身的教學設計，如何讓學生理解公式的形成、推導，以及這樣設計的原因，請讀者指正.

一、背景分析

本課是人教版必修四第三章第一節(jié)的內容，它是正弦線、余弦線和誘導公式教學內容的延續(xù)，同時也是兩角和、差和倍角公式的源頭，是三角恒等變換的基礎.它對于三角變換、三角恒等式的證明都有著極強的工具性作用，是承上啟下的重要知識.

從學生的教學掌握水平來看，其已經掌握了利用單位圓上點的坐標定義任意角的三角函數，學習了誘導公式.理解了平面向量及其運算的意義，并能用數量積表示兩個向量的夾角，經歷了用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學問題與其他一些實際問題的過程.然而學生對向量作為工具處理問題的廣泛可用性體會不深，很難將一個三角問題聯想到用向量來解決.同時思維不夠嚴謹，教學時要引導學生區(qū)分清楚兩角差與相應向量夾角的區(qū)別和聯系.

完成本節(jié)知識的主要目標是：第一，通過向量的數量積推導兩角差的余弦公式.通過公式的簡單運用，使學生初步理解公式的結構及其功能；第二，通過公式的推導，著重培養(yǎng)學生獲取數學知識的能力和數學交流的能力.同時通過公式的靈活運用，培養(yǎng)學生的轉化思想和變化能力；第三，在教師的設計下，通過探索式教學，啟發(fā)學生自我發(fā)現、自我鉆研的精神，從學科素養(yǎng)的角度提高學生的核心素養(yǎng).

二、設計思路

（1）兩角差的余弦作為和差關系的起始課，是有一定難度的.這里往后的三角公式與前期的三角公式有著本質的不同，因此如何設計教學成為關鍵.關于兩角差余弦公式的認知起點：我們都知道，教學應該從學生已有的與本節(jié)課相關的知識作為認知起點來展開教學，那么什么知識與兩角差的余弦公式有直接聯系呢？答案是誘導公式.我們都知道誘導公式是兩角和差公式的特殊情況，按照特殊與一般地辯證思想，誘導公式中反應出來的核心知識，思想方法在兩角差的余弦公式中會有更一般的反應.

圖1

圖2

誘導公式（一除外）反映圓的對稱性，看如下事實：π-α與α的終邊關于的終邊所在直線對稱，如圖1-α與α的終邊關于的終邊所在直線對稱，可以歸納出β-α與α的終邊關于的終邊所在直線對稱.這說明兩角差的余弦公式本質是對稱，是一個角的終邊關于另一個角的一半的終邊所在直線的對稱問題，是圓的對稱性的廣泛意義上的代數解析式.如圖2，從對稱性角度求解如下：

直角坐標系xoy 直角坐標系x′oy′

（2）鑒于此處的探究本質上是教師牽引學生完成，刪去教材中“幾何證明”部分.對比人教版、北師大版、蘇教版教材，只有人教版有“幾何證明”內容，表明“幾何證明”不是必需的；從證明的簡潔程度和教材的編排順序來看，著重要學習的是向量法證明，“幾何證明”的作用是思路的一個過渡，是考慮到證明兩角差余弦公式時學生不容易想到向量方法，而是更容易想到三角函數線，根據三角函數線設計的一個辦法.新的設計只要從三角函數線入手，逐步遷移到向量法即可.

（3）探索過程不追求一步到位，先不理會其中的細節(jié)，抓住主要問題進行探索，然后再反思完善.設計思路經歷以下兩個階段的修正：

圖3

圖4

第一階段：如圖3，圖4，將α，β特殊成45°和30°，將求cos（α-β）問題修改為求cos15°，有利于顯化已知條件和所求解，讓學生有可能從解三角形的角度解決問題，如圖3，圖4，即在等腰△AOB中，已知三邊，求頂角∠AOB.

設計的好處如下：第一，從求cos（π-α）遷移到求cos很自然地聯系到角的定義，單位圓，三角函數線；第二，很自然地體現角-α的終邊.這里有一個問題，是否需要體現-α的終邊？之前的學習通過旋轉的方式將角推廣到任意角，并用終邊與單位圓的交點來定義三角函數，而本課又是探究-α的三角函數，應該畫出-α的終邊，從而體現這個角的三角函數，讓學生產生對已學知識的聯系；第三，通過探究-α的位置，如圖5，得到△AOP?△P1OP2，將余弦線OM的長等價到OM2的長，通過提示OM2的含義：線段OP2在線段OP1上的射影，容易聯想到向量投影，從而過渡到向量方法求解.

圖5

三、步驟分析

步驟2：你認為公式會是cos（α-β）=cosα-cosβ嗎？讓學生自己動腦，動手驗證，從而認識要探索的意圖：公式在“恒等”方面要求的意義.第一，使學生明確常犯的直覺性錯誤為什么是錯的；第二，統(tǒng)一對探究目標中“恒等”要求的認識.

步驟3：回憶cos（π-α）=-cosα推導的過程.

意圖：教師展示“回顧過程”，回顧三角函數的定義，為下一步做好鋪墊.

圖6

圖7

步驟5：分析要求的量和已知條件.

意圖：學生依次思考以下問題：第一，已知條件都集中在哪個三角形內，已知什么？第二，余弦線OM可以轉化為△P1OP2中哪段長？第三，有沒有辦法求解OM1的長.

步驟6：注意到OM2的含義：線段OP2在線段OP1上的射影.你在學習什么知識時接觸過射影的概念？

意圖：讓學生經歷怎樣用向量知識作出探索的過程：第一，結合圖形，明確應選擇哪幾個向量，它們怎么表示？第二，怎樣利用向量數量積的概念和計算公式得到探索結果；第三，③將求射影遷移到求夾角余弦上來.

圖8

圖9

步驟7：推導cos（α-β）.

意圖：第一，觀察以上圖8和圖9，指出α-β與向量夾角θ之間的關系；第二，推導cos（α-β）與cosθ的關系.

步驟8：用兩角差的余弦公式證明：

意圖：體會誘導公式是兩角和差公式的特殊情況.

步驟9：教材例題1、例題2.

意圖：通過應用理解公式最基礎的練習.第一，三角變換關注角的拆分，易于理解；第二，由于是具體角，拆分過程容易進行；第三，拆分的多樣性，決定變換的多樣性；第四，思考問題：由求sin75°的值，為后面變換函數種類的思考作出鋪墊；第五，它需要思考實用公式前應做出的必要準備；第六，作出必要準備要運用同角三角函數的知識.

步驟10：小結.

意圖：教師可引導學生圍繞以下方面小結：第一，對公式的探索過程：怎么聯系有關知識？怎么進行探索？在探索方法方面的啟示；第二，利用差角余弦公式方面：對公式結構和功能的認識；三角式變換的特點；表述變換過程，引導學生思考建構探索過程中解決問題的方式方法.

總之，探索式課堂教學的設計是整節(jié)課流程的關鍵，從課程流程中，我們不難發(fā)現教師合理的設計是引發(fā)學生探索的主動力，在教學中需要不斷引導學生探索，這種學習方式有助于學生后續(xù)形成正確的知識學習觀，有助于其學科素養(yǎng)能力的形成.

1.宋衛(wèi)東.從生“動”到生動，詮釋思維品質的提升【J】.中學數學月刊，2013（5）.

2.方石.數學教學詮釋思維品質【J】.數學通訊，2014（4）.

3.柴賢亭.數學教學中的問題設計 【J】.中學數學（上），2012（10）.H