同一多元函數(shù)條件極值問題的三種求解方法

馬林

【摘要】本文針對同一常見多元函數(shù)條件極值的實(shí)際問題，建立模型，應(yīng)用基本不等式法、等式約束極值的代入法、拉格朗日乘數(shù)法進(jìn)行求解，一題多解、層層遞進(jìn)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.

【關(guān)鍵詞】條件極值；基本不等式；等式約束；拉格朗日乘數(shù)法

多元函數(shù)極值是高等數(shù)學(xué)中十分重要的知識點(diǎn)，分為無條件極值和條件極值兩大類，條件極值問題因其考慮約束條件，通常會復(fù)雜一些，有時候條件極值問題可以通過代入法轉(zhuǎn)化為無條件極值問題，文獻(xiàn)[1]中討論了多元函數(shù)條件極值的四種求解方法，文獻(xiàn)[2]借助于多元函數(shù)極值的應(yīng)用解決了生活實(shí)際問題.本文將對同一常見多元函數(shù)條件極值的實(shí)際問題，應(yīng)用基本不等式、等式約束極值的代入法和拉格朗日乘數(shù)法進(jìn)行求解，幫助學(xué)生多層次多角度地分析問題和解決問題.

實(shí)際問題[3] 某工廠要用鐵板做成一個體積為2 m3的有蓋長方體水箱，問長、寬、高各取怎樣的尺寸時，才能使用料最??？

首先依據(jù)題意，建立模型，設(shè)長、寬、高分別為x米、y米、z米，那么xyz=2，此水箱所用材料的面積

S=2（xy+yz+xz）（x>0，y>0，z>0）.

下面將分別用三種方法來求出S的最小值，即用料最省的值.

一、基本不等式法

由基本不等式，當(dāng)a>0，b>0時，a+b2≥ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立，即算數(shù)平均數(shù)大于幾何平均數(shù)，它可以推廣到3個至n個的一般情形，即當(dāng)x1，x2，…，xn>0時，

x1+x2+…+xnn≥nx1x2…xn.

當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時等號成立.

由此，上述實(shí)際問題中，x>0，y>0，z>0，則

S=2（xy+yz+xz）≥2·33xy·yz·xz=63（xyz）2=634.

當(dāng)且僅當(dāng)xy=yz=xz即x=y=z=32米時，S達(dá)到最小634 m2，即水箱所用的材料最省.

同時，在使用基本不等式法時，也可以選擇另外一種途徑，在S中先代入等式約束條件z=2xy，則

S=2xy+2x+2y≥2·33xy·2x·2y=634.

當(dāng)且僅當(dāng)xy=2x=2y即x=y=z=32米時，S達(dá)到最小，材料最省.

基本不等式法可推廣到多元函數(shù)，在更高維度亦適用，鑒于其靈活多變性，使得它在計算量上比后面兩種方法少許多，它精妙地簡化運(yùn)算，但使用的前提限制條件頗多，適用面窄，在其他實(shí)際問題中，基本不等式法可以反過來應(yīng)用，計算目標(biāo)函數(shù)最大值.

二、等式約束極值的代入法

在面積函數(shù)S中將等式約束條件代入，

S=2xy+2x+2y（x>0，y>0）.

可見材料面積S是x和y的二元函數(shù)，按題意，我們要計算出S的最小值，只需解方程組

Sx=2y-2x2=0，Sy=2x-2y2=0，

得到唯一駐點(diǎn)x=y=32.由題意知水箱所用材料面積的最小值一定存在，函數(shù)S又只有唯一駐點(diǎn)，因此該駐點(diǎn)即為所求最小值點(diǎn)，從而當(dāng)x=y=z=32米時，水箱所用的材料最省.

三、拉格朗日乘數(shù)法

根據(jù)題意知：

約束條件xyz-2=0，

目標(biāo)函數(shù)S=2（xy+yz+xz），

從而建立拉格朗日函數(shù)

L（x，y，z，λ）=2（xy+yz+xz）+λ（xyz-2），

得方程組Lx=2（y+z）+λyz=0，Ly=2（x+z）+λxz=0，Lz=2（y+x）+λxy=0，

兩兩相除化簡得y+zx+z=yx，x+zy+x=zy，

進(jìn)而解得x=y=z.

將其代入約束條件中，得唯一可能的極值點(diǎn)x=y=z=32，由問題本身意義知，該極值點(diǎn)即為最小值點(diǎn)，此時水箱用料最省.

拉格朗日乘數(shù)法思路清晰，是求解一般多元函數(shù)條件極值問題的經(jīng)典方法，因其需計算多元方程組，任務(wù)繁重，而使其靈巧性比基本不等式略遜一籌.

四、小 結(jié)

本文對多元函數(shù)條件極值中同一實(shí)際問題建立模型，分析討論了三種解題方法，基本不等式法靈活多變，適用面較窄，等式約束極值的代入法和拉格朗日乘數(shù)法是求解一般條件極值問題的經(jīng)典方法.本文一題多解，由淺入深、層層遞進(jìn)，可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散和創(chuàng)新思維，幫助學(xué)生更有效地理解和掌握多元函數(shù)極值這一重要知識點(diǎn)，讓其感受數(shù)學(xué)知識在解題時的層次提升，從而激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣.

【參考文獻(xiàn)】

[1]曹宏舉，等.多元函數(shù)條件極值的四種求解方法[J].高等數(shù)學(xué)研究，2017（2）：21-23.

[2]趙澤福.多元函數(shù)極值的應(yīng)用分析[J].長春工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2016（1）：98-101.

[3]吳贛昌.高等數(shù)學(xué)（下冊）：第4版[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2011.