變教為學(xué)

曹俊

摘 要：當(dāng)學(xué)生升入初中后，貫通整個(gè)小學(xué)階段的精確計(jì)算數(shù)學(xué)內(nèi)容中對他們的后續(xù)學(xué)習(xí)起指導(dǎo)性作用的是什么？僅僅是熟練準(zhǔn)確的豎式演算技術(shù)嗎？當(dāng)各種高科技計(jì)算儀器滲入生活的方方面面時(shí)，這個(gè)教學(xué)目標(biāo)顯然有些落伍。數(shù)學(xué)教學(xué)不但要關(guān)注學(xué)生獲取了什么，了解了什么，更為要緊的是在學(xué)習(xí)過程中有什么創(chuàng)造，有什么發(fā)現(xiàn)。本文將根據(jù)計(jì)算“三位數(shù)乘兩位數(shù)”教學(xué)實(shí)踐，淺析如何“變教為學(xué)”。

關(guān)鍵詞：乘法；豎式；算理；本真；意識(shí)；認(rèn)知；規(guī)律

數(shù)字計(jì)算常常被貼上粗淺、無趣的負(fù)面標(biāo)簽，對于該板塊的學(xué)習(xí)任務(wù)通常是以“快、準(zhǔn)、直”為目標(biāo)。課堂上通常的做法是，先分析講解算理，然后套用教材中的格式進(jìn)行海量、反復(fù)的操練，形成應(yīng)激性條件反射，學(xué)生一見到這類型的題目也是不加思考，提筆就算。這種機(jī)械、重復(fù)訓(xùn)練，大大降低了學(xué)習(xí)的趣味性和新鮮感，很容易心生厭惡，產(chǎn)生反感情緒。那么，究竟怎樣在計(jì)算教學(xué)中緊緊扼住知識(shí)的本質(zhì)特性，將學(xué)生思維的自由度得到最大限度發(fā)揮呢？以這個(gè)問題為導(dǎo)向，筆者創(chuàng)設(shè)了兩個(gè)隨堂活動(dòng)。

一、找準(zhǔn)靶向，設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)

活動(dòng)一：下面是計(jì)算乘法算式的4種不同方式，你覺得它們都正確嗎？和同學(xué)討論交流。

因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過乘法，因此能迅速判定圖3所示的豎式規(guī)范正確。這種算法先求出了1個(gè)114，再求出20個(gè)114，然后豎式中顯示，將兩次相乘的乘積求和，視為最終積。筆者先充分認(rèn)可了該學(xué)生的答案，繼而追問：“對其他的幾種求法你如何看？”學(xué)生不約而同地全盤否定（不難看出舊有教學(xué)對學(xué)生思維的束縛），筆者并不立即予以點(diǎn)評，而是讓學(xué)生再觀察、再琢磨。在教學(xué)中，只有將“時(shí)空”的維度進(jìn)行最大擴(kuò)充，學(xué)生思考問題時(shí)才會(huì)靈活機(jī)動(dòng)、隨機(jī)應(yīng)變。漸漸地，筆者發(fā)覺，在充分醞釀之后，學(xué)生思維被激活，都有所發(fā)現(xiàn)，都踴躍發(fā)言、陳述觀點(diǎn)。

生1：本小組發(fā)覺圖1的豎式也是正確的。原理是先把21估計(jì)成20，先求出20個(gè)114的和，由于少加了1個(gè)114，因此追補(bǔ)114，于是得出最終結(jié)果。

生2：本小組以為圖4這個(gè)豎式也是正確的。原理是先求出4個(gè)21的和是84，接著求出10個(gè)21的和是210，然后求出100個(gè)21的和是2100，再將這三次乘積累加得出最終結(jié)果。

生3：我為生2的發(fā)言進(jìn)行必要補(bǔ)充，這個(gè)算式若把21列在上面，把114列在下面，調(diào)換乘數(shù)與被乘數(shù)的位置，然后拆分114，分別與被乘數(shù)相乘。原理與舊版相似。（生3發(fā)現(xiàn)此規(guī)律，頗為驕傲）

生4：圖2的豎式看起來怪怪的，但結(jié)果似乎正確（有些猶疑），第一行表示1×4=4；從上往下依次是1×10=10，1×100=100；接著，算20×4=80，20×10=200，20×100=2000，然后將這六個(gè)乘積對齊數(shù)位相加。

生5：我贊同生4的觀點(diǎn)，但必須指出，這樣列豎式較為煩瑣，不便于校對數(shù)位。

生6：我覺得恰恰相反，不用進(jìn)位，大大降低了心算、口算的記憶難度。

生7：我覺得這種算法只要熟練乘法口訣就可以操作，簡單易行。

生8：我覺得第2、3種做法換湯不換藥，大同小異，都是算21個(gè)114的和，不同的是第二種做法將乘數(shù)21與被乘數(shù)各個(gè)數(shù)位相乘后的積單獨(dú)列行書寫……

根據(jù)學(xué)生的答復(fù)，筆者察覺，學(xué)生思維的焦點(diǎn)沒有困囿于格式表象，而是深入了運(yùn)算原理以及乘法的原始定義中，爭辯討論的過程恰好凸顯了乘法的本源。

二、以史為鏡，琢磨算理

從歷史維度窺視，算術(shù)模式主要有心算、物算和符號(hào)化運(yùn)算。其中用豎式筆算的優(yōu)勢就在于簡化繁復(fù)過程，實(shí)時(shí)記錄重要參數(shù)，以降低憑空記憶的負(fù)荷，降低暫時(shí)遺忘帶來的干擾和破壞。從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律看，第二種算法是最原始的演算過程。通過其他一些豎式算法的變式訓(xùn)練，可以幫助學(xué)生更好地理解消化乘法算理，把握乘法計(jì)算脈絡(luò)，讓學(xué)生在驗(yàn)證運(yùn)算過程中領(lǐng)悟算理。

在學(xué)生興致正濃之時(shí)，趁熱打鐵展示第二個(gè)活動(dòng)。

活動(dòng)二：針對114×27這個(gè)算式，盡量列出基于不同原理的豎式，你覺得哪種方法更適合你？同組成員交流探討。

由于第一個(gè)活動(dòng)提供的經(jīng)驗(yàn)，在第二個(gè)活動(dòng)過程中，學(xué)生自信滿滿，參與活動(dòng)的熱情空前高漲，沒有一個(gè)學(xué)生不積極投入思考研究。在匯報(bào)總結(jié)環(huán)節(jié)中，筆者歸納出以下幾種不同的算法，主要有——

分配法：

圖5、圖6、圖7中，把114與27分別看作114和30，然后再從初始積里面去掉3個(gè)114 ；圖8、圖9中把原式姑且看作114和20的積，然后增補(bǔ)7個(gè)114。上述算理學(xué)生是充分解構(gòu)并挖掘了114×27這個(gè)算式所蘊(yùn)含的各種數(shù)理邏輯，同時(shí)也滲透了分配律。

分解法：

圖10所示，學(xué)生把27分解變形成3×9，用114與3和9連續(xù)相乘；圖11是將114分解成三個(gè)加數(shù)100、10、4的和，然后用這三個(gè)加數(shù)分別乘以27，然后求出三個(gè)積的和。這兩種方法的原理和思路相同，就是把與兩位數(shù)求積降級成與一位數(shù)求積，步驟變多了，同時(shí)也降低了每步的難度，減輕了計(jì)算負(fù)擔(dān)。

三、 從形式到思想

“鋪地錦”：500年前，意大利的古籍中提到一種“格子乘法”，后傳入中土，在明代的《算法統(tǒng)宗》中稱為“鋪地錦”（圖12）。

原始法：全班大部分學(xué)生列出下列算法（圖13），故而，這種最原始、最本真的模式才最符合學(xué)生的認(rèn)知。

活動(dòng)表明，被業(yè)界認(rèn)為簡捷高效的傳統(tǒng)格式，其實(shí)并不是無懈可擊。從學(xué)生覺醒喚起心理認(rèn)知出發(fā)，這些方法是經(jīng)過深度加工包裝的，書寫的簡約和工整恰好掩蓋了思維路徑。這就是學(xué)生厭煩豎式計(jì)算的原因。如果從一入門就嚴(yán)格要求執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)格式，也許在多次機(jī)械訓(xùn)練中，通過強(qiáng)化經(jīng)驗(yàn)記憶，能夠較快完成計(jì)算任務(wù)，但是記憶痕跡不深刻，容易遺忘。通過一系列活動(dòng)，學(xué)生對“標(biāo)準(zhǔn)”豎式有了獨(dú)到的新認(rèn)識(shí)，理解其意義就順理成章。

小學(xué)生喜歡通過在“活動(dòng)”中的出色表現(xiàn)來展示自己。這節(jié)課，每個(gè)學(xué)生都充分展示了自己的豎式，并發(fā)表自己的見解和理論，每個(gè)人都能發(fā)揮自己的智慧價(jià)值。在活動(dòng)中，他們學(xué)會(huì)了思考、交流、傾聽，他們獲得的除了知識(shí)本身，還有數(shù)學(xué)素養(yǎng)。