基于“核心素養(yǎng)”視角，培育學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力

周康

摘 要：數(shù)學(xué)推理是由已知判斷推出未知結(jié)論的過(guò)程，數(shù)學(xué)推理主要包括合情推理和演繹推理。小學(xué)生數(shù)學(xué)推理需要情境、方法的支持，需要教師的呵護(hù)。教師要為學(xué)生數(shù)學(xué)推理搭建平臺(tái)、指引方向和提供線索，引導(dǎo)學(xué)生積極參與到推理活動(dòng)中來(lái)。積累學(xué)生推理活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生感悟推理的思想方法，進(jìn)而培育學(xué)生數(shù)學(xué)“核心素養(yǎng)”。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；核心素養(yǎng)；推理能力

推理是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本思維形式，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心內(nèi)容。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出了十個(gè)核心詞，推理能力就是十個(gè)核心詞之一?！墩n標(biāo)》要求要“將推理能力的培育貫穿于學(xué)生整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程之中”。近年來(lái)，有專家認(rèn)為，這十個(gè)核心詞就確證和表征著學(xué)生的數(shù)學(xué)“核心素養(yǎng)”。而東北師范大學(xué)史寧中教授甚至認(rèn)為，數(shù)學(xué)的基本思想就是“抽象、推理與模型”，可見(jiàn)，推理在數(shù)學(xué)中的地位。那么，什么是“數(shù)學(xué)推理”？小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培育學(xué)生的推理能力？

一、如何理解小學(xué)數(shù)學(xué)中的推理？

所謂“推理”，通俗地說(shuō)就是由已知判斷（前提）推出未知判斷（結(jié)論）的過(guò)程。廣義地說(shuō)，一切數(shù)學(xué)公式、定理和法則等都是推理的結(jié)果。換言之，任何數(shù)學(xué)知識(shí)都有存在的依據(jù)。狹義地看，推理是“從事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出一個(gè)命題的思維過(guò)程”。數(shù)學(xué)推理主要包括“合情推理”和“演繹推理”。其中，“合情推理”即是從已有事實(shí)出發(fā)，依憑數(shù)學(xué)直覺(jué)、數(shù)學(xué)已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)類比或者歸納等推斷某些結(jié)果的過(guò)程。顯然，合情推理又包括類比推理和歸納推理（包括“不完全歸納推理”和“完全歸納推理”）?！把堇[推理”即是從已有事實(shí)和確定的規(guī)則出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算。應(yīng)該說(shuō)，推理的主要形式就是演繹推理。一般認(rèn)為，合情推理是從特殊到一般的推理，而演繹推理是從一般到特殊的推理。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，合情推理應(yīng)占據(jù)主導(dǎo)地位，這是由學(xué)生的年齡和心理特征所決定的。但在教學(xué)中，教師絕不能忽視學(xué)生演繹推理能力的培育。數(shù)學(xué)的本質(zhì)就是抽象、概括，因此，演繹推理是整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系中推理的主導(dǎo)方式。通過(guò)演繹推理，學(xué)生能夠提煉數(shù)學(xué)的本質(zhì)屬性，能夠幫助學(xué)生去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里。只不過(guò)由于學(xué)生的思維尚處于具體形象思維階段，所以，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的推理以合情推理為主。此外，由于合情推理常常用來(lái)猜想，演繹推理常常用來(lái)證明，而小學(xué)生的想象力是豐富的，因此小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)以合情推理為主。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)推理教學(xué)中，教師要容忍“不嚴(yán)格的清楚”，允許學(xué)生“大膽地猜測(cè)”，引導(dǎo)學(xué)生“小心地求證”（胡適語(yǔ)）。

二、小學(xué)階段如何培育學(xué)生的推理能力？

培育小學(xué)生的推理能力需要教師在日常教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較、聯(lián)想、猜測(cè)，甚至需要激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)靈感，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)想象。合情推理有時(shí)猶如一個(gè)暗箱，是跳躍性、看不見(jiàn)的數(shù)學(xué)思維，是一種“敏感性精神”；而演繹推理需要將思維敞亮出來(lái)，需要學(xué)生清晰地表達(dá)、論證，是一種“幾何學(xué)精神”（帕斯卡爾語(yǔ)）。教學(xué)中，教師要根據(jù)知識(shí)的特質(zhì)和學(xué)生的具體學(xué)情，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力。

1. 情境孕育，為學(xué)生的數(shù)學(xué)推理鋪平道路

小學(xué)生推理能力的培育需要情境的土壤。心理學(xué)研究表明，只有在“心理安全”和“心理自由”（羅杰斯語(yǔ)）的狀態(tài)下，學(xué)生才能展開(kāi)有效的推理，尤其是具有發(fā)現(xiàn)性的合情推理。許多數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)，都是源于學(xué)生的自由想象。著名數(shù)學(xué)家龐加萊的研究告訴我們，人們頭腦中儲(chǔ)存了一種類似原子的數(shù)學(xué)概念或者思想，龐加萊稱之為“觀念原子”。當(dāng)學(xué)生處于心理自由的狀態(tài)時(shí)，這些觀念原子就被激發(fā)，處于相互碰撞、相互組合的狀態(tài)，由此能夠誕生一系列靈感，這就是一種“科學(xué)的機(jī)敏”。

例如教學(xué)《圓的周長(zhǎng)》，筆者用圓的一個(gè)外切正方形和一個(gè)內(nèi)接正六邊形，引發(fā)學(xué)生猜測(cè)圓的周長(zhǎng)的大小。由于有圖形的支撐，學(xué)生可以展開(kāi)深入的觀察、比較、猜想，學(xué)生之間在心理自由的狀態(tài)下掀起了“思維的風(fēng)暴”。有學(xué)生認(rèn)為，圓外的正方形的邊長(zhǎng)正好是圓的直徑，所以圓外的正方形的周長(zhǎng)是圓的直徑的四倍；有學(xué)生認(rèn)為，圓內(nèi)正六邊形的邊長(zhǎng)正好是圓的半徑，所以圓內(nèi)的正六邊形的周長(zhǎng)是直徑的3倍。應(yīng)該說(shuō)，學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)是學(xué)生數(shù)學(xué)觀察、推理的結(jié)果?？梢钥闯?，這里的推理是“合情推理”與“演繹推理”的交織、融合。一方面，學(xué)生能夠洞察圓的直徑與正方形邊長(zhǎng)和正六邊形邊長(zhǎng)的關(guān)系，是一種數(shù)學(xué)直覺(jué)，可以認(rèn)為是合情推理；另一方面，學(xué)生能夠?qū)A的直徑和正方形的周長(zhǎng)以及正六邊形的周長(zhǎng)聯(lián)系起來(lái)得出結(jié)論，這是邏輯思維的結(jié)果，是一種演繹推理。更有學(xué)生將大家的數(shù)學(xué)表達(dá)聯(lián)通起來(lái)思考，認(rèn)為圓的周長(zhǎng)應(yīng)該比正方形的周長(zhǎng)小，比正六邊形的周長(zhǎng)大，即在正方形的周長(zhǎng)和正六邊形的周長(zhǎng)之間，這就是演繹推理了。

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)存在著天然的好奇心和求知欲，教學(xué)中教師要在民主、平等的教學(xué)氛圍中搭建學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的“腳手架”，催生學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想、發(fā)現(xiàn)。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生能夠展開(kāi)出神入化般的創(chuàng)造性思維活動(dòng)。通過(guò)充分地醞釀、冥想，學(xué)生能夠形成出乎意料的發(fā)現(xiàn)，找尋到一種驚喜的感覺(jué)。

2. 方法催生，為學(xué)生的數(shù)學(xué)推理指引方向

學(xué)生的數(shù)學(xué)推理需要教師的助推，有時(shí)教師數(shù)學(xué)方法的點(diǎn)撥和數(shù)學(xué)思想的啟迪能夠?yàn)閷W(xué)生的數(shù)學(xué)推理提供線索。推理，有時(shí)就是要善于發(fā)現(xiàn)事物內(nèi)部的關(guān)系或者結(jié)構(gòu)。著名數(shù)學(xué)教育家波利亞認(rèn)為，“數(shù)學(xué)不僅要教證明，也要教方法、教猜想”。教學(xué)中，教師可以這樣點(diǎn)撥學(xué)生，“猜測(cè)一下，它可能是？”“仔細(xì)觀察，你覺(jué)得可能怎樣？”“從整體上看，你有什么想法？”“深入地比較，你有怎樣的發(fā)現(xiàn)？”“操作一下，看看……”。方法的催生，能夠?yàn)閷W(xué)生的數(shù)學(xué)推理指引方向。

例如教學(xué)《平行四邊形的面積》，筆者首先和學(xué)生一起復(fù)習(xí)了“長(zhǎng)方形的面積公式”“正方形的面積公式”，然后向?qū)W生出示了平行四邊形圖，圖上標(biāo)有底、斜邊和高的長(zhǎng)度。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生對(duì)平行四邊形的面積形成了三種猜想：一是認(rèn)為平行四邊形的面積用“底×斜邊”；二是認(rèn)為平行四邊形的面積用“（底+斜邊）×2”；三是認(rèn)為平行四邊形的面積用“底×高”。第二種猜想顯然是一種“偽猜想”，因?yàn)樗皇撬愕钠叫兴倪呅蔚拿娣e，而是算的平行四邊形的周長(zhǎng)，因而被大家迅速否定。接著，“猜想一”和“猜想三”的學(xué)生分別說(shuō)出了猜想的依據(jù)?！安孪胍弧钡膶W(xué)生認(rèn)為，平行四邊形的框架可以通過(guò)推拉轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，平行四邊形的底是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，平行四邊形的斜邊是長(zhǎng)方形的寬，因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積是長(zhǎng)×寬，所以平行四邊形的面積是底×斜邊?！安孪肴钡膶W(xué)生認(rèn)為，可以將平行四邊形沿著高剪開(kāi)，然后通過(guò)平移，轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形?；趯W(xué)生各自的理由，筆者出示了一個(gè)長(zhǎng)方形的框架，然后慢慢斜拉，學(xué)生發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形漸漸演變成平行四邊形，“猜想一”的學(xué)生很興奮，但是隨著傾斜度的加大，學(xué)生直觀看到平行四邊形的面積越來(lái)越小，最后接近于0。于是，學(xué)生的“猜想一”被證偽。進(jìn)而學(xué)生在“猜想三”的引導(dǎo)下，展開(kāi)了實(shí)踐探索。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與演繹推理圓融，一方面，學(xué)生對(duì)平行四邊形進(jìn)行剪、移、拼，另一方面，學(xué)生根據(jù)平行四邊形底、高與長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬之間的關(guān)系，演繹出平行四邊形的面積公式。

教師突出平行四邊形和長(zhǎng)方形之間的關(guān)系，為學(xué)生的合情推理和演繹推理提供線索。學(xué)生從對(duì)事物的表面特征轉(zhuǎn)向依據(jù)事物內(nèi)部的關(guān)系或結(jié)構(gòu)，在更高的思維層次上實(shí)現(xiàn)了平行四邊形和長(zhǎng)方形之間的轉(zhuǎn)化。學(xué)生自覺(jué)地尋找平行四邊形和長(zhǎng)方形深刻的本質(zhì)聯(lián)系，而這正是對(duì)學(xué)生啟蒙演繹推理所必需的。

3. 興趣呵護(hù)，為學(xué)生的數(shù)學(xué)推理提供動(dòng)力

眾所周知，絕大部分小學(xué)生的推理都屬于合情推理，但合情推理中也有演繹的成分，這是因?yàn)楹锨橥评碛袝r(shí)需要借助于“證明和證偽（反駁）”。從某種意義上說(shuō)，反駁本身就是一種演繹推理。學(xué)生清楚地知道，對(duì)于一個(gè)結(jié)論，只需要舉出一個(gè)反例，就能推翻它。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和心智都不那么足夠時(shí)，教師要容忍學(xué)生在某些方面的“不嚴(yán)格的清楚”，呵護(hù)學(xué)生的推理興趣。只有這樣，才能為學(xué)生的數(shù)學(xué)推理提供動(dòng)力。對(duì)于小學(xué)生而言，有時(shí)，“不嚴(yán)格的清楚”反而比“嚴(yán)格的不清楚”更好。

例如教學(xué)《小數(shù)的意義》，在學(xué)生認(rèn)識(shí)到十分之幾米是零點(diǎn)幾米、十分之幾元是零點(diǎn)幾元后，筆者啟發(fā)學(xué)生推理“百分之幾米是零點(diǎn)幾米、百分之幾元是零點(diǎn)幾元”。學(xué)生認(rèn)為，百分之幾米就是零點(diǎn)幾幾米、百分之幾元就是零點(diǎn)幾幾元，百分之幾就是零點(diǎn)幾幾。由此，自然地穿越“嚴(yán)格的不清楚”的屏障，抵達(dá)“不嚴(yán)格的清楚”的境地。在此基礎(chǔ)上，筆者讓學(xué)生對(duì)自己的推理舉例驗(yàn)證，學(xué)生形成了精彩的演繹：0.05米是5厘米，■米也是5厘米，所以0.05米就是■米，0.05就是■；0.25元是2角5分，■元也是2角5分，所以0.25元就是■元，0.25就是■。在這里，學(xué)生演繹推理的大前提、小前提和結(jié)論一目了然。這樣的教學(xué)，學(xué)生收獲了滿滿的自信和成功。

在小學(xué)階段，筆者認(rèn)為，呵護(hù)學(xué)生的推理興趣比培養(yǎng)學(xué)生的推理能力在某種意義上更為重要。對(duì)于學(xué)生而言，“不嚴(yán)格的清楚”很有價(jià)值，它們絲毫不會(huì)影響學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)新知的求證。學(xué)生的推理能力發(fā)展具有階段性，小學(xué)階段的使命是積極地啟蒙。只要不違背結(jié)論的科學(xué)性，教師就要容忍學(xué)生的“不嚴(yán)格推理”。

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生不斷地進(jìn)行抽象、推理和建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。學(xué)生在推理的過(guò)程中能夠促進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)理解。教學(xué)中，教師要不斷積累學(xué)生的推理活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟推理的數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生積極參與到推理學(xué)習(xí)活動(dòng)中來(lái)。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)“核心素養(yǎng)”悄然創(chuàng)生。