在“示意圖”導(dǎo)構(gòu)中豐富學(xué)生“圖感”

曹義平

摘 要：“示意圖”是表征題意、分析問題的重要載體，能夠讓學(xué)生“不可見的思維”可視化。教學(xué)中，教師要引領(lǐng)學(xué)生“畫示意圖”“看示意圖”“思示意圖”和“用示意圖”。在“示意圖”的不斷導(dǎo)構(gòu)中敏銳、豐富學(xué)生的“圖感”。

關(guān)鍵詞：示意圖；圖導(dǎo)圖構(gòu)；圖感

“示意圖”是一種直觀表征題意、直觀表征學(xué)生思維的載體。由于數(shù)學(xué)符號所表征的題意是抽象的，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是看不見的。因此，如何讓抽象的數(shù)學(xué)題意直觀化，如何讓“不可見的思維”可視化就成為數(shù)學(xué)教學(xué)必須研究的課題。教學(xué)中，將抽象的數(shù)學(xué)問題、不可見的分析問題過程與直觀的圖形結(jié)合起來，能夠充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，打開學(xué)生的思維大門，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在這個(gè)意義上，“示意圖”是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的導(dǎo)航儀，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“拐杖”。所以著名圖論專家斯蒂恩說：“如果一個(gè)特定的問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖像，那么就整體地把握了問題?！?/p>

一、在“畫示意圖”中表征題意

但凡學(xué)優(yōu)生都有這樣的經(jīng)驗(yàn)：面對一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，若借助圖形進(jìn)行直觀表征，往往能讓我們產(chǎn)生一種“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”的豁然開朗之感。通過“示意圖”，讓學(xué)生觀察、把握、觸摸到認(rèn)知對象，直觀、清晰地展示負(fù)載的數(shù)量關(guān)系，幫助學(xué)生厘清思路。正如北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系張丹教授所指出的，“畫圖策略是一種非常重要的分析問題和解決問題的策略，它是利用‘圖的直觀來對問題關(guān)系、結(jié)構(gòu)進(jìn)行表達(dá)，從而幫助人們分析問題和解決問題。同時(shí)畫圖又是一個(gè)‘去情境化的過程，它把情境中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行提煉，并且進(jìn)行直觀表達(dá)?！?/p>

例如：教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級上冊的《間隔排列》，學(xué)生對于一些抽象的問題難以想象、思考，如“爬樓梯”“公交車發(fā)車”“鋸木頭”等問題。為此，教學(xué)中，筆者運(yùn)用多媒體課件，將習(xí)題中的數(shù)量關(guān)系、場景圖用“示意圖”來表示，讓學(xué)生借助示意圖這個(gè)“拐杖”深度思考條件、問題以及條件和問題之間的關(guān)系。

純文字形式呈現(xiàn)的問題相對比較抽象，僅憑文字?jǐn)⑹鲇袝r(shí)學(xué)生很難直接看出題中的數(shù)量關(guān)系。而通過“畫示意圖”，學(xué)生就能直觀地看到，層數(shù)為兩端物體，比樓梯多1；發(fā)車次數(shù)在兩端，比發(fā)車的時(shí)間間隔多1；鋸木頭的段數(shù)在兩端，比鋸木頭的次數(shù)多1。有了這樣的“圖導(dǎo)”，學(xué)生在自主解決“廣告牌問題”“男女排隊(duì)問題”“圖釘釘紙問題”時(shí)就能主動地進(jìn)行“圖構(gòu)”?！爱嬍疽鈭D”讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從外在的“畫”轉(zhuǎn)化為內(nèi)在的“看”“思”，激發(fā)起學(xué)生的生活情景想象，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的發(fā)展。學(xué)生從畫示意圖開始，逐步地分析問題、解決問題，這就是一種“數(shù)學(xué)化”培養(yǎng)。

有了這樣的“畫圖意識”，學(xué)生在遭遇復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時(shí)就能主動想到畫圖，就能產(chǎn)生畫圖的需要，就能讓“做數(shù)學(xué)”與“思數(shù)學(xué)”有機(jī)結(jié)合。通過畫圖，不僅提高了學(xué)生解決問題的技能技巧，而且更為重要的是形成了學(xué)生解決問題的策略。

二、在“讀示意圖”中分析問題

“示意圖”是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的工具，教學(xué)中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生“畫示意圖”，還要引導(dǎo)學(xué)生“看示意圖”“讀示意圖”，引導(dǎo)學(xué)生積極發(fā)掘圖中的數(shù)學(xué)信息，進(jìn)而為學(xué)生分析問題、解決問題服務(wù)。有些學(xué)生能夠根據(jù)題意畫圖，但卻不會看圖。其實(shí)，畫圖不是目的，而是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的手段。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生在“圖”與“題”之間來回穿行，甚至邊畫圖邊看題，邊看題邊畫圖。只有在“看示意圖”“讀示意圖”中，才能不斷積累學(xué)生的看圖讀圖經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生的問題分析和解決能力。

例如：教學(xué)蘇教版二年級下冊《有余數(shù)的除法》，教輔資料《課時(shí)作業(yè)本》中有這樣一道習(xí)題：小紅有10元錢，小明有16元錢，小明給多少錢給小紅，兩人的錢就同樣多？許多學(xué)生看到題目后，根據(jù)小明和小紅錢數(shù)的相差關(guān)系，認(rèn)為小明給6元錢給小紅，兩人的錢數(shù)就同樣多了。為此，筆者讓學(xué)生畫出示意圖，學(xué)生畫圖（圖4）。

盡管學(xué)生畫出了符合題意的示意圖，但他們卻不能看懂圖意，更沒有將目光聚焦于小明和小紅錢數(shù)的相差數(shù)。為此，筆者在圖上添加了一根虛線（圖5），學(xué)生茅塞頓開。

原來，小明比小紅多6元，但不能將多的6元全部給小紅，如果這樣的話，小紅反過來又比小明多6元了。因此，要想讓小明和小紅的錢數(shù)相等，小明只能給多的錢數(shù)的一半，只有這樣，小明少了3元，小紅多了3元，兩人的錢數(shù)才相等。通過不斷“完善示意圖”，學(xué)生才能真正“解讀示意圖”，進(jìn)而建構(gòu)出“相差數(shù)”“移動數(shù)”之間的關(guān)系。

“示意圖”讓復(fù)雜的關(guān)系變得簡明，讓幽晦的關(guān)系變得敞亮。教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)問題與直觀的圖形語言有機(jī)結(jié)合起來，通過不斷地“看示意圖”“讀示意圖”，打開學(xué)生思維的大門，深入理解問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)、問題與條件之間的關(guān)系等，由此培養(yǎng)直觀意識與能力，建立學(xué)生直觀觀念，提升學(xué)生直觀素養(yǎng)。

三、在“思示意圖”中感悟思想

從“示意圖”出發(fā)，教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生“思示意圖”，依圖“想”事，突出學(xué)生本質(zhì)直觀的能力。學(xué)生“思示意圖”首先表現(xiàn)為一種意識，即有意識地借助圖形來幫助思考；其次表現(xiàn)為一種能力，即借助圖形篩選信息，找準(zhǔn)解決問題的癥結(jié)所在，讓問題的解決有章可循。在這個(gè)過程中，學(xué)生能夠感受、體驗(yàn)到“數(shù)形結(jié)合”的思想力量。

例如：教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊的《解決問題的策略——畫圖》，對于這樣的例題——一塊長方形的試驗(yàn)田，長增加6米，或者寬增加4米，面積都比原來增加48平方米。學(xué)生在理解題意的基礎(chǔ)上，借助“示意圖”表征關(guān)系后，筆者引導(dǎo)學(xué)生展開深度的數(shù)學(xué)思考：

①長增加6米，面積增加48平方米，從圖中看，可以求出什么？

②寬增加4米，面積也增加48平方米，從圖中看，又可以求出什么？

表面上看，這道題既不知道長也不知道寬，似乎無法求解，但通過畫圖，卻可以看出增加部分的長、寬與增加部分的面積之間的關(guān)系。教師引導(dǎo)學(xué)生抓住圖形的幾何表征，就可以打開數(shù)學(xué)敘述文字化、數(shù)學(xué)表征形式化的遮掩，找到解決問題的有效路徑，實(shí)現(xiàn)問題的突破。

再如教學(xué)《乘法分配律》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第8冊），這是學(xué)生在學(xué)習(xí)運(yùn)算律過程中最難以理解，也是學(xué)生最容易出錯的內(nèi)容。究其根本，是因?yàn)閷W(xué)生不理解“乘法分配律”的形式化表征。為此，筆者啟發(fā)學(xué)生畫出兩個(gè)等寬的長方形（圖6），然后讓學(xué)生將這兩個(gè)長方形合并起來。

通過“示意圖”，引導(dǎo)學(xué)生展開主動地思考：第一個(gè)長方形的長和寬分別是多少？面積怎么算？第二個(gè)長方形的長和寬分別是多少？面積怎么算？可以將兩個(gè)長方形合并成一個(gè)長方形嗎？為什么？學(xué)生數(shù)形結(jié)合，直觀看到因?yàn)榈谝粋€(gè)長方形的寬和第二個(gè)長方形的寬相同，所以可以將兩個(gè)長方形合并成一個(gè)長方形。合并后的長方形的長是（a+b），合并后的長方形的寬是c。如此，學(xué)生通過“數(shù)形結(jié)合”，便可深刻理解、感悟“乘法分配律”的本質(zhì)內(nèi)涵，有效地突破了教學(xué)難點(diǎn)。

四、在“用示意圖”中形成策略

在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“示意圖”不是目的，而是解決問題的手段、方法、策略。當(dāng)學(xué)生通過多次畫圖，積累了豐富的畫圖經(jīng)驗(yàn)后，就能形成“用示意圖”的意識、能力、策略。法國著名的數(shù)學(xué)家笛卡兒說，“沒有任何東西會比圖形更能簡單直接地引入腦海，用圖形表達(dá)事物是很有幫助的”。當(dāng)學(xué)生經(jīng)過不斷地“畫示意圖”“看示意圖”“思示意圖”和“用示意圖”后，一種類似于“語感”“數(shù)感”的“圖感”便悄然生成。

例如：教學(xué)蘇教版五年級上冊的《解決問題的策略——列舉》，面對這樣的習(xí)題：五個(gè)小朋友，每人互相寄一張賀卡，一共需要寄多少張賀卡？五個(gè)小朋友，每人互相打一次電話，一共需要打多少次電話？如果教師只是用語言描述，或者只是讓學(xué)生在頭腦中憑空想象，學(xué)生是很難把握住它們的數(shù)學(xué)本質(zhì)的。教學(xué)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生將五名小朋友抽象成五個(gè)點(diǎn)，讓學(xué)生每兩點(diǎn)之間連線。在“畫示意圖”的過程中，學(xué)生領(lǐng)悟到，寄賀卡兩人之間需要互相寄，而打電話每兩人之間只需要打一次，用學(xué)生的話說，就是我和你通電話了，你就不需要和我通電話了；我寄賀卡給你，作為回饋，你還應(yīng)該寄賀卡給我。學(xué)生畫出的圖如圖7、圖8所示：

運(yùn)用點(diǎn)、線來構(gòu)造圖，能夠讓學(xué)生把握兩類問題的區(qū)別與聯(lián)系。當(dāng)學(xué)生能夠主動“用示意圖”來解決“打電話”和“寄賀卡”時(shí)，他們就能清晰地辨析“握手問題”“踢足球問題”“循環(huán)賽”的數(shù)學(xué)本質(zhì)。學(xué)生的“用示意圖”離不開觀察、感知，也離不開實(shí)踐與操作，更離不開想象與聯(lián)想。只有建立在觀察、實(shí)踐、想象基礎(chǔ)上的“圖導(dǎo)”與“圖構(gòu)”，才能體現(xiàn)出“示意圖”的意義和價(jià)值，才能豐厚學(xué)生整體性、次序性和敏銳性的“圖感”。

“示意圖”的種類是豐富的，常見的有線段圖、網(wǎng)絡(luò)圖、長方形圖、韋恩圖、樹狀圖等，由此形成豐富的數(shù)學(xué)圖譜。在“畫示意圖”“看示意圖”“思示意圖”和“用示意圖”中，能夠深化學(xué)生的“圖感”。教學(xué)中，教師應(yīng)該創(chuàng)設(shè)支持條件，培育學(xué)生的“圖感”，引領(lǐng)學(xué)生步入“示意圖”世界，進(jìn)而開啟學(xué)生的智慧之門。