《名題趣解——“李白喝酒”問題》設(shè)計與賞析

洪建林

摘 要：不少教師執(zhí)教過“李白喝酒”問題，本課教師在汲取已有課例成功經(jīng)驗的基礎(chǔ)上進(jìn)行了再思考、再創(chuàng)造。以開放的視角、游戲的意識、多元的策略、方法的融合等構(gòu)建新的課堂，力求定位高、趣味濃、策略活、思考深、視野闊，努力提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，取得了比較理想的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：李白喝酒問題；設(shè)計與賞析；教學(xué)設(shè)計

一、教學(xué)目標(biāo)

1. 通過教學(xué)，使學(xué)生理解并掌握“李白喝酒問題”的一般結(jié)構(gòu)特征和解題方法；能夠主動發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，以開放的視角探索解決問題的多種路徑。

2. 引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷用倒推、用方程解、列舉和整體思考等策略探索思路的過程，提升高階思維水平，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律、靈活解決問題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

3. 激發(fā)學(xué)生對“古代名題”的探索興趣，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自信力和創(chuàng)造力，在游戲中培養(yǎng)“游戲”精神。

二、教學(xué)重點、難點

1. 重點：運用倒推、用方程解、列舉等策略探索思路，理解并掌握“李白喝酒問題”的一般結(jié)構(gòu)特征和解題方法。

2. 難點：主動探索解題方法，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律；能夠靈活列舉“店、花”不同的排列順序并解決問題。

三、教學(xué)資源

多媒體、課件等。

四、教學(xué)過程

（一）導(dǎo)入新課，揭示課題

同學(xué)們，我們一起來背誦一首古詩：床前明月光，疑是地上霜。舉頭望明月，低頭思故鄉(xiāng)。這首詩的作者是誰？

關(guān)于李白，有許許多多的故事。請看這首詩：

李白無事街上走，提著酒壺去買酒。遇店加一倍，見花喝一斗。三遇店和花，喝光壺中酒。借問此壺中，原有多少酒？

教師：這就是我國古代有名的數(shù)學(xué)問題——“李白喝酒”問題。

板書課題：名題趣解——“李白喝酒”問題。

【賞析：李白的名詩《靜夜思》是學(xué)生小時候就會背誦的，朗朗上口，深受大家喜愛。課伊始，教師引領(lǐng)學(xué)生背誦這首最為熟悉的詩，一下子拉近師生之間的距離，使教師與學(xué)生成為真正的課堂游戲伙伴；接著引入著名的《“李白喝酒”問題》，創(chuàng)設(shè)了詩歌與數(shù)學(xué)有機(jī)融合的數(shù)學(xué)游戲情境，以問題為引領(lǐng)，激發(fā)了學(xué)生的探索興趣，促使學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考?！?/p>

（二）引領(lǐng)探索，感知策略

1. 認(rèn)真讀詩，發(fā)現(xiàn)信息。

教師提問：

（1）“遇店加一倍”是什么意思？（加一倍，就是增加一倍，遇店后的斗數(shù)總是遇店前的2倍。）

（2）“見花喝一斗”呢？（遇見花就喝一斗酒。）

（3）“三遇店和花”你是怎樣理解的？學(xué)生交流并匯報：遇店有3次；遇花也有3次。

教師指名學(xué)生到前面擺一擺：店和花的順序。

店 花 店 花 店 花

（預(yù)設(shè)：也有可能出現(xiàn)不同的順序）

教師引領(lǐng)：我們先按照每次總是“先遇店，再遇花”這樣的順序進(jìn)行研究。

【賞析：教師啟迪學(xué)生認(rèn)真讀詩，從詩句中發(fā)現(xiàn)大量的數(shù)學(xué)信息，對“遇店加一倍”“見花喝一斗”“三遇店和花”等信息進(jìn)行數(shù)學(xué)解讀，重點指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)“三遇店和花”進(jìn)行排序，當(dāng)學(xué)生可能出現(xiàn)不同的排列順序時，教師進(jìn)行問題的選擇，逐步引領(lǐng)學(xué)生解決問題?！?/p>

2. 教師啟發(fā)：要研究“三遇店和花”，可以從怎樣的情況想起？（從簡單的情況想起，一遇店和花。）

板書：一遇 原有斗數(shù) 現(xiàn)在斗數(shù)

提問：先出現(xiàn)店還是先出現(xiàn)花？由于最后要喝光壺中酒，所以是先出現(xiàn)店，再出現(xiàn)花。

借助圖示思考：

原有 現(xiàn)在

x ×2 -1 0

→ →

店 花

← ←

÷2 +1

（1）順著題意，原有的先乘2，再減1，得到現(xiàn)在的斗數(shù)。多媒體展示方程。

解：設(shè)原有x斗酒。

x×2-1=0

（2）還可以怎樣思考？如果從問題出發(fā)，倒過來推，遇花前的斗數(shù)是多少？（0+1=1）增加一倍也就是擴(kuò)大2倍后是1斗，遇店前呢？

多媒體展示倒推法。

1÷2=■（斗）

（3）提問：一共喝了多少酒？遇花1次，見花喝一斗，所以共喝1斗。

【賞析：基于每次總是“先遇店，再遇花”的順序，學(xué)生如果一下子就研究“三遇店和花”，相對而言還是比較復(fù)雜的，教師啟迪學(xué)生從“一遇店和花”這種簡單的情況想起，初步運用倒推、用方程解等策略、方法解決問題，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，積累了解決問題的經(jīng)驗，為后面較復(fù)雜問題的解決奠定了基礎(chǔ)。】

3. 指名學(xué)生到前面講解：二遇店和花。

（1）同桌交流。

（2）指名學(xué)生到前面講述思路。

原有 現(xiàn)在

x ×2 -1 ×2 -1 0

→ → → →

店 花 店 花

← ← ← ←

÷2 +1 ÷2 +1

方法1：順著題意列方程。解：設(shè)原有x斗酒。

（x×2-1）×2-1=0

方法2：倒推：（1÷2+1）÷2=■（斗）。

（3）談話小結(jié)：要求原有多少斗酒，可以順著題意列方程，也可以倒過來推。

【賞析：有了“一遇店和花”的解決問題的基礎(chǔ)，學(xué)生便能夠嘗試解決“二遇店和花”，思路圖十分明晰，策略意識得到增強(qiáng)，思維能力得到了發(fā)展?！?/p>

（三）自主深探，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

教師：剛才我們研究了比較簡單的問題。現(xiàn)在研究“三遇店和花”，想一想：店、花的順序是怎樣的？學(xué)生到前面擺一擺。

教師：按照店、花、店、花、店、花這樣的順序加酒、喝酒，怎樣求原有的斗數(shù)？

1. 完成活動一：

2. 教師巡視：指導(dǎo)學(xué)生用方程法或用倒推法解答。

學(xué)生可能出現(xiàn)的情況：

方法1：順著題意列方程，[（x×2-1）×2-1]×2-1=0。

方法2：倒過來推，即[（1÷2+1）÷2+1]÷2=■（斗）。

方法3：根據(jù)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)結(jié)果可能是■斗。

……

3. 指名小組匯報。

（1）教師點評：我們可以順著題意列方程：第一次遇店，原有酒量（x）乘2，第一次遇花，喝去1斗，減去1；以此類推，最后遇花，現(xiàn)在酒的斗數(shù)為零。

（2）還可以倒過來推：（多媒體展示過程）

列綜合式：[（1÷2+1）÷2+1]÷2=■（斗）。

教師提問：觀察一遇店和花、二遇店和花以及三遇店和花的計算結(jié)果■、■、■，你是不是有什么猜想？

教師再提問：如果四遇店和花，該怎樣計算？你能快速得出結(jié)果嗎？

{[（1÷2+1）÷2+1]÷2+1}÷2=■（斗）。

教師接著問：五遇店和花呢？你有怎樣的發(fā)現(xiàn)？

針對學(xué)生提出的猜想、驗證，教師引領(lǐng)得出結(jié)論：“幾”遇店和花，原有斗數(shù)的分母就是幾個2相乘，分子就是幾個2的乘積減去1；或者就用1減去一個分?jǐn)?shù)，減去的分?jǐn)?shù)的分母就是幾個2相乘的積，分子就是1……

（3）你還有什么問題？教師提出富有挑戰(zhàn)性的問題：如果n次遇到店和花，你能用一個含有字母的算式表示原有的斗數(shù)嗎？共喝多少斗呢？

師生談話小結(jié)，共同建構(gòu)解決問題的模型：原有斗數(shù)的分母就是n個2相乘的積，分子就是n個2的乘積減去1。

師生繼續(xù)談話：可以從整體思考，因為n次遇到花，所以喝了n斗酒，這比將每次喝的酒量相加要簡單得多。

【賞析：研究“三遇店和花”是本課的核心問題之一，教師精心設(shè)計活動，引領(lǐng)學(xué)生先自主“試一試”，用不同的策略探索問題，并通過小組交流、對話等方式，讓學(xué)生得以展示思維過程；教師不僅啟迪學(xué)生思考，還拋出了挑戰(zhàn)性問題：你發(fā)現(xiàn)了什么？這是一個極有價值的問題，甚至有個別學(xué)生發(fā)現(xiàn)了“一遇”“二遇”已經(jīng)有了某種規(guī)律的呈現(xiàn)，憑借數(shù)學(xué)直覺一下子想出“三遇”的結(jié)果。接著，教師引發(fā)學(xué)生提出自己的猜想，繼續(xù)研究“四遇店和花”“五遇店和花”，并發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律。在此基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思索，對“n次遇店、n次遇花”進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。最后，進(jìn)行數(shù)學(xué)的整體思考，實現(xiàn)策略的再深探，讓學(xué)生在頓悟中把握實質(zhì)，感受數(shù)學(xué)策略的奇妙?？梢钥吹?，這一活動游戲色彩十分濃烈，尤其是“n次遇店、n次遇花”這種虛擬情境引發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)想象，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)建模意識，培養(yǎng)了發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力?！?/p>

（四）拓展問題，深度思考

1. 教師導(dǎo)入：三遇店和花，還可以有怎樣的理解？

2. 學(xué)生到前面做“站一站”的游戲。

教師讓學(xué)生分別扮演店和花，在其他同學(xué)的提示下排一排，重點提問：排在最后的是什么？（花，因為最后將酒喝光）并且生成新的問題：怎樣才能有序列舉、不遺漏、不重復(fù)？一共有多少種不同的順序？

【設(shè)計意圖：兒童最喜歡在游戲中學(xué)習(xí)，教師安排六名學(xué)生分別扮演店和花，嘗試排一排順序，出現(xiàn)了店店店花花花、店店花店花花等不同排序，同時學(xué)生生成了新的問題：怎樣才能有序列舉、不遺漏、不重復(fù)？一共有多少種不同的順序？從而開啟了新的研究方向?！?/p>

3. 完成活動二：

（1）教師巡視指導(dǎo)，重點對列舉無序、有重復(fù)等情況進(jìn)行指導(dǎo)。

（2）指名小組中心發(fā)言人到前面匯報。

（3）教師點評。突出：有序列舉。

一共有十種方法：店店店花花花、店店花店花花、店店花花店花、 店花花店店花、店花店花店花、店花店店花花、花店花店店花、花店店花店花、花店店店花花、花花店店店花。

重點提問、引領(lǐng)：（1）最后一個位置總是“遇花”，為什么？（2）如果第一個位置是店，最后遇花，還有兩店兩花，可以怎樣排序？關(guān)鍵：第二個位置也是店，剩下一個店可以排在哪幾個位置。（3個：第三、第四、第五）如果第二個位置遇到花，剩下的一花可以排在哪幾個位置呢？這樣共有6種。（3）如果第一個位置是花，最后遇花，還有一花三店，可以怎樣排序？這樣共有4種。（4）一共有10種排序的方法。

教師借助多媒體展示（列式略），進(jìn)行重點點撥：

（1）店店店花花花；（2）店店花店花花；（3）店店花花店花；（4）店花花店店花；（5）店花店花店花；（6）店花店店花花；（7）花店花店店花；（8）花店店花店花；（9）花店店店花花；（10）花花店店店花。

點評時，教師對學(xué)生生成的排序和列式方法適時肯定激勵或提出相關(guān)建議，對于第（1）種排序的列式進(jìn)行評點。

【設(shè)計意圖：活動二的教學(xué)是本堂課研究的又一個主要問題。當(dāng)我們對“三遇店和花”進(jìn)行另一種解讀時，問題的趣味性、開放性顯著增強(qiáng)，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散思維，一一列舉的策略便呼之欲出。教師首先通過游戲，組織學(xué)生體驗排序的過程，這一過程雖然是原生態(tài)的，但學(xué)生已經(jīng)初步認(rèn)識到店、花不同的排序。由于出現(xiàn)不同的排序，學(xué)生對問題進(jìn)一步思考，討論出一共有多少種排序。更為重要的是，教師選擇了一類有序的排法：分兩大類，得出了10種不同的情況，在多樣化的基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化，同時對學(xué)生的合理排序進(jìn)行肯定激勵。當(dāng)然，在小組活動中，教師更重視不同的排序，對于不同策略列式、求結(jié)果沒有進(jìn)行必要的要求，因為學(xué)生已經(jīng)基本掌握策略，最后充分借助多媒體進(jìn)行了列式、結(jié)果的展示，加大了課堂信息量，強(qiáng)化了“排序”這一思維發(fā)散的過程。】

（五）課堂小結(jié)，交流收獲

（六）課后延伸，拓寬認(rèn)識

【教學(xué)賞析】“李白喝酒”問題不少教師都執(zhí)教過，有的是從一種視角（先遇店，再遇花）按部就班地解決問題；有的定位在按不同的順序解決問題。筆者在汲取已有課例成功經(jīng)驗的基礎(chǔ)上進(jìn)行了再思考、再創(chuàng)造。以開放的視角、游戲的意識、多元的策略、方法的融合等構(gòu)建新的課堂，力求定位高、趣味濃、策略活、思考深、視野闊，努力提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，取得了比較理想的教學(xué)效果。

1. 定位高——擬定研究目標(biāo)，重在素養(yǎng)發(fā)展

抽象、推理、建模是數(shù)學(xué)素養(yǎng)最核心的內(nèi)容。本節(jié)課的目標(biāo)主要定位于引領(lǐng)學(xué)生運用倒推、用方程解、列舉等策略探索思路，理解并掌握“李白喝酒問題”的一般結(jié)構(gòu)特征和解題方法，不斷促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)分析、比較、抽象等活動，從而提升數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗；激勵學(xué)生主動探索解題方法、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，能夠靈活列舉“店、花”不同的排列順序并解決問題。

2. 趣味濃——富有游戲意味，激發(fā)探索興趣

古詩中竟然蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識，這讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)樂趣，體驗到活動的認(rèn)知情趣，“三遇店和花”中“店、花”不同順序的排列，更讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的智趣。在傳統(tǒng)的教學(xué)中，教師只單純地讓學(xué)生用倒推或解方程的策略，按“先遇店再遇花”解決問題，沒有從簡單的情況研究起，學(xué)生的學(xué)習(xí)不夠靈活，既沒有發(fā)現(xiàn)規(guī)律，又沒有對變化順序進(jìn)行思考，未能進(jìn)入趣味盎然的境界，課堂顯得十分單一。在本節(jié)課的研究活動中，教師為了加深學(xué)生的理解，還巧妙安排了“小游戲”讓學(xué)生排一排，看看有哪些不同的順序，學(xué)生在生動的游戲中生成問題意識。

3. 策略活——運用多元策略，綜合解決問題

本節(jié)課重在策略的組合運用，倒推與用方程解是整課問題解決的方式，而列舉的策略又使問題研究得以深化，從簡單的問題想起、整體思考等策略不可或缺。多元化的策略、立體化的路徑讓問題解決的過程更加豐富、靈動。學(xué)生徜徉于策略的世界，綜合運用的能力得到培養(yǎng)。

4. 思考深——積累活動經(jīng)驗，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

基于數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累，教師引領(lǐng)學(xué)生從“簡單的問題”思考起，由一遇、二遇再到三遇，不斷累積活動經(jīng)驗，進(jìn)而啟迪學(xué)生進(jìn)行猜想，由四遇再到五遇……學(xué)生通過觀察、比較、聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，建立模型，提升了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。要求共喝多少斗酒，教師引領(lǐng)學(xué)生整體思維，尋求簡潔思路，再次積累思維經(jīng)驗?；顒佣慕鉀Q，讓學(xué)生經(jīng)歷深度學(xué)習(xí)的過程，求解的關(guān)鍵在于如何有序列舉，做到不重復(fù)、不遺漏，學(xué)生有不同的思考方法，教師重點點撥。

5. 視野闊——滲透數(shù)學(xué)文化，催生學(xué)習(xí)自信

全課圍繞古代名題展開，將數(shù)學(xué)與詩歌有機(jī)結(jié)合，文化氣息撲面而來。以開放的視角看待問題，以多元的策略解決問題，以變化的眼光發(fā)現(xiàn)規(guī)律，學(xué)生學(xué)習(xí)的視野無比開闊，游戲意味不斷增強(qiáng)，數(shù)學(xué)思維更加靈活。教者不再停留在解決問題的層面，而是立于數(shù)學(xué)文化的層面，在不斷促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行抽象、推理、發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)上提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

總之，本節(jié)課的教學(xué)具有較強(qiáng)的新穎性、智趣性和文化性，巧妙地借助古代名題，融合游戲元素，激發(fā)學(xué)生活用策略、善于發(fā)現(xiàn)、深度建構(gòu)，是一節(jié)富有數(shù)學(xué)味兒、文化味兒的優(yōu)質(zhì)課堂。