數(shù)學(xué)理解，讓數(shù)學(xué)“深度學(xué)習(xí)”成為可能

方寬燕

摘 要：數(shù)學(xué)理解是數(shù)學(xué)教學(xué)的基石，也是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成的必要條件。教師在教學(xué)中既要對數(shù)學(xué)知識有靜態(tài)的把握，又要對學(xué)生學(xué)情有動態(tài)的把握。通過引發(fā)學(xué)生的理解性學(xué)習(xí)心向、導(dǎo)引學(xué)生經(jīng)歷理解性過程，幫助學(xué)生建立理解性關(guān)聯(lián)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)理解；理解心向；理解過程；理解關(guān)聯(lián)

關(guān)于“理解”，《辭?！分械年U釋是：“通過揭示事物間的聯(lián)系而認識新事物的過程?！憋@然，數(shù)學(xué)理解是對數(shù)學(xué)知識（包括數(shù)學(xué)概念、規(guī)律等）的本質(zhì)認識?；凇吧疃葘W(xué)習(xí)”的視角，學(xué)生的數(shù)學(xué)理解不僅指對數(shù)學(xué)知識“知其然”，而且指對數(shù)學(xué)知識“知其所以然”，不僅掌握數(shù)學(xué)知識的“來龍”，而且洞悉數(shù)學(xué)知識的“去脈”。以“數(shù)學(xué)理解”為教學(xué)的價值取向，能夠引領(lǐng)學(xué)生走向數(shù)學(xué)本質(zhì)教學(xué)，從而讓數(shù)學(xué)“深度學(xué)習(xí)”成為一種可能。

一、數(shù)學(xué)理解，理解什么？

“數(shù)學(xué)知識”是人類“生命·實踐”活動的智慧結(jié)晶。數(shù)學(xué)理解不僅指對數(shù)學(xué)知識結(jié)果的理解，而且指對數(shù)學(xué)知識形式化、抽象化、公理化過程的理解，對數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的理解。例如教學(xué)“幾何圖形的周長與面積”，盡管教師在教學(xué)中讓學(xué)生動手操作、合作交流、推理驗證，但由于忽視“過程性目標(biāo)”，將著眼點聚焦在“幾何圖形的周長與面積公式”上，因而在一段時間后，學(xué)生頭腦中只留下了“梯形面積公式=（上底+下底）×高÷2”“長方形的周長公式=（長+寬）×2”。真正的理解應(yīng)該是全方位、立體式的理解。如對于“梯形的面積”的理解，首先是對梯形面積公式推導(dǎo)過程的深刻把握；其次是對梯形面積公式的表征形式以及各種變換形式的把握；再次是對梯形面積公式在不同情境下的靈活運用；最后是對梯形面積公式與三角形面積公式、平行四邊形面積公式以及圓形面積公式關(guān)系的把握等。如此，不僅理解了數(shù)學(xué)知識內(nèi)涵、意義，而且理解了蘊含在數(shù)學(xué)知識中的數(shù)學(xué)思想、方法與精神。那么，影響數(shù)學(xué)理解的重要因素是什么呢？

1. 對教材知識的靜態(tài)把握

由于教材是靜態(tài)的相對穩(wěn)定的因素，因此教師在進行教材解讀過程中必須從教材的點、線、面、體不同視角對教材做出解讀。如“梯形的面積公式”，點的理解是對梯形面積誕生過程及結(jié)果表征的理解；線的理解是對梯形面積公式與平行四邊形面積公式、長方形面積公式脈絡(luò)關(guān)系的理解；面的理解是對梯形面積公式與三角形面積公式、平行四邊形面積公式的整體理解，即當(dāng)梯形上底為0時，梯形面積公式就會演化成三角形面積公式，當(dāng)梯形上底和下底相等時，梯形面積公式就會演化成平行四邊形面積公式，當(dāng)梯形上底為0，下底為圓的周長，高為圓的半徑時，梯形面積公式就會演化為圓的面積公式；四是對梯形面積公式在整個小學(xué)階段幾何面積公式中的地位及其關(guān)系的理解，即梯形面積公式可以成為一個模型，用來表征其他相關(guān)圖形的面積公式。

2. 對學(xué)生學(xué)情的動態(tài)把握

學(xué)生是影響數(shù)學(xué)理解的一個動態(tài)因素。理解是有條件的，即學(xué)生擁有理解的認知基礎(chǔ)和心理基礎(chǔ)。例如教學(xué)《梯形的面積公式》，由于學(xué)生已經(jīng)有了探究平行四邊形、三角形的面積公式的活動經(jīng)驗，包括操作經(jīng)驗、推理經(jīng)驗等，這是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗起點；也有平行四邊形、三角形的面積公式等知識基礎(chǔ)，這是學(xué)生數(shù)學(xué)理解的知識起點。有了經(jīng)驗起點和知識起點，學(xué)生的數(shù)學(xué)理解就如同呼吸一樣自然。正如美國著名教育心理學(xué)家奧蘇泊爾所說，“影響學(xué)生的最重要的學(xué)習(xí)因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，并據(jù)此進行教學(xué)”。

綜上所述，基于“數(shù)學(xué)理解”的數(shù)學(xué)教學(xué)是教師將教材凝縮的知識解壓，恢復(fù)其誕生時的鮮活狀態(tài)，將數(shù)學(xué)相關(guān)知識前后左右勾連起來、貫通起來。通過對數(shù)學(xué)知識點的透徹分析，通過對數(shù)學(xué)知識的比較、統(tǒng)整，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不再“零碎化”“快餐化”“無序化”。

二、數(shù)學(xué)理解，怎樣理解？

數(shù)學(xué)教材知識是靜態(tài)的，兒童的數(shù)學(xué)認知是動態(tài)的。在數(shù)學(xué)理解過程中，學(xué)生與知識始終處于不斷地互動之中，正所謂“靜中有動，動中有靜”。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)就是要找尋靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識與動態(tài)的學(xué)生學(xué)習(xí)的最佳融合點。

1. 催生：引發(fā)“理解性” 心向

以“理解”為取向的數(shù)學(xué)教學(xué)，首先要引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)心向?？梢枣溄訉W(xué)生理解性經(jīng)驗，設(shè)計理解性問題，打造理解性平臺。通過生活事理、學(xué)生已知和幾何直觀等助推、催生學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。激活學(xué)生理解性心向，關(guān)鍵在于學(xué)生生活經(jīng)驗、數(shù)學(xué)問題和幾何直觀要具有針對性、啟發(fā)性和生成性。通過學(xué)習(xí)心向的誕生，讓學(xué)生能夠找尋到學(xué)習(xí)路徑。通過自主探究，“跳一跳”能夠觸摸到數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。

例如教學(xué)《整數(shù)四則混合運算》，通常教法是教師出示情境圖，然后用相關(guān)問題引導(dǎo)學(xué)生先算什么？再算什么？通過實際問題的引導(dǎo)，讓學(xué)生自主歸納出算法，即先算乘法，再算加法或減法。在這一部分內(nèi)容學(xué)習(xí)中，學(xué)生普遍感覺是“沒意思”“沒感覺”，看似簡單的內(nèi)容學(xué)生在隨后的練習(xí)中卻錯誤頻出。究其根本，在于教師在教學(xué)中沒有引發(fā)學(xué)生的探究學(xué)習(xí)的意向，學(xué)生被教師牽著鼻子走。筆者在教學(xué)中，首先出示算式20+5×3，讓學(xué)生彼此間討論、交流，先算什么，再算什么，激發(fā)學(xué)生認知沖突。有學(xué)生認為，應(yīng)該先算加法，再算乘法，因為加法在前；有學(xué)生認為，應(yīng)該先算乘法，再算加法，并且自發(fā)舉出一些例子，通過例子賦予抽象算式意義。在這個過程中，學(xué)生或冥思苦想，或暢所欲言，整個學(xué)習(xí)都處于理解性學(xué)習(xí)狀態(tài)之中。學(xué)生認為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)很“有意思”“有意義”。

可見，理解性的學(xué)習(xí)不是教師將知識“和盤托出”，而是將知識“隱藏”起來。只有這樣，才能引發(fā)學(xué)生的探究心向、欲望。否則，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就“味如嚼蠟”，用學(xué)生的話來說就是沒意思、沒感覺。只有學(xué)生的學(xué)習(xí)心向被調(diào)動起來，才能讓學(xué)生數(shù)學(xué)理解走向深度。

2. 孵化：經(jīng)歷“理解性”的過程

理解性學(xué)習(xí)從學(xué)生思維出發(fā)，通過組織數(shù)學(xué)化活動，慢慢孵化學(xué)生數(shù)學(xué)理解。教師組織開展特定的數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的產(chǎn)生、發(fā)展和形成全過程。有時候，教師還要有意識地延長這樣的過程。因為只有學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識誕生的過程，才能對數(shù)學(xué)概念、法則、性質(zhì)、公式、數(shù)量關(guān)系和解題策略等形成系統(tǒng)而理性的認識。因此，教師要對數(shù)學(xué)知識進行深度追問、開掘，彰顯知識背后體現(xiàn)的是怎樣的數(shù)學(xué)本質(zhì)，怎樣的數(shù)學(xué)思想、方法。

例如教學(xué)《認識平行線》，通常教法是教師讓學(xué)生觀察兩條異面直線的位置關(guān)系，通過感知得出“同一平面”和“不同平面”的概念。在此基礎(chǔ)上，教師出示同一平面的幾組直線，引導(dǎo)學(xué)生分類，進而得出“平行”“相交”的概念，建立平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系。其實，這樣的教法，只是靜態(tài)數(shù)學(xué)知識的辨析、比較，學(xué)生沒有經(jīng)歷充分數(shù)學(xué)化的活動，沒有形成數(shù)學(xué)思想和方法?；谥本€動態(tài)變化的視角，筆者在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生將直線在同一平面內(nèi)平移、旋轉(zhuǎn)。學(xué)生通過動手操作，深刻感受到直線如果平移，那么這條直線和原來直線的位置關(guān)系就是平行；直線如果旋轉(zhuǎn)，那么這條直線與原來直線的位置關(guān)系就是相交；當(dāng)這條直線旋轉(zhuǎn)90°時，這條直線與原來直線互相垂直。學(xué)生通過自主操作發(fā)現(xiàn)平行、相交與垂直的關(guān)系。同時，一部分學(xué)生既通過平移又通過旋轉(zhuǎn)的操作，竟然產(chǎn)生了異面直線。在這個過程中，學(xué)生能夠從運動、發(fā)展和變化的觀點來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，洞察了平行和相交的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

3. 織網(wǎng)：建立“理解性”關(guān)聯(lián)

數(shù)學(xué)是一門結(jié)構(gòu)性很強的學(xué)科。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要致力于形成學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)。在某種意義上，促進學(xué)生數(shù)學(xué)理解就是幫助學(xué)生實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡(luò)化。教師要自覺強化知識整體概念，明確知識內(nèi)在層次、多向聯(lián)系，找準同類或近類知識異同點。通過聚類分析、分類分析，不斷完善結(jié)構(gòu)性、開放性知識塊、知識群。

例如教學(xué)《三角形的分類》，在學(xué)生按照角、邊分別對三角形進行分類后，筆者運用“集合圖”，完善學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)。有學(xué)生按照角將三角形分成銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形；有學(xué)生按照邊將三角形分成等腰三角形和不等邊三角形（如圖1）。

當(dāng)學(xué)生用兩種集合圖厘清知識之間抽象、復(fù)雜的關(guān)系之后，筆者讓不同分類的學(xué)生之間質(zhì)疑問難，將學(xué)習(xí)引向深入。其中，第二幅集合圖的學(xué)生問第一幅集合圖學(xué)生：“等腰三角形該怎樣放？等邊三角形該怎樣放？等腰直角三角形該怎樣放？”第一幅集合圖的學(xué)生問第二幅集合圖學(xué)生：“等邊三角形該怎樣放？銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形可以怎樣放？”據(jù)此，學(xué)生各自對自己的集合圖展開、完善，生成了新的三角形名稱，如等腰銳角三角形和不等邊銳角三角形，等腰直角三角形和不等邊直角三角形，等腰鈍角三角形和不等邊鈍角三角形等。學(xué)生在集合圖中大膽操作，在這個過程中，學(xué)生厘清了知識點，突破了學(xué)習(xí)難點，形成了具有緘默性質(zhì)的知識網(wǎng)絡(luò)圖。

讓學(xué)生自己織網(wǎng)，由“點”到“線”，由“線”而“面”，由“面”及“體”，通過連接相似、沖突、變化的知識，學(xué)生能夠貫通知識的來龍去脈，聯(lián)通知識與生活，知識與知識之間的邏輯，形成具有強大吸附力的知識結(jié)構(gòu)。如此，學(xué)生既能深度理解知識節(jié)點，又能深度把握知識發(fā)展脈絡(luò)。

數(shù)學(xué)理解是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基石?？梢哉f，沒有理解就沒有深刻的思維，沒有理解就沒有學(xué)生數(shù)學(xué)“核心素養(yǎng)”的提升，沒有理解，教師數(shù)學(xué)教學(xué)就會被架空。因此，作為教師，我們必須關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，研究學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，落實學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。通過數(shù)學(xué)理解，促進師生數(shù)學(xué)的教與學(xué)。