基于概念形成教學模式的微課教學設計

沈東蕓+馮瑩瑩

【摘要】函數(shù)概念是中學數(shù)學學與教的一大難題.本文基于數(shù)學教育心理學和教學設計等相關知識點，設計一節(jié)“函數(shù)的概念”的微課，錄制微課視頻以供學生課前預習.微課中選取貼近學生生活的實例，從加強數(shù)學語言簡潔性的角度出發(fā)，讓學生明白學習函數(shù)概念的“集合對應說”的必要性.

【關鍵詞】函數(shù)概念；微課設計

一、問題提出

函數(shù)在整個中學數(shù)學的知識網(wǎng)絡中起著承上啟下的作用.學生在初中階段開始接觸函數(shù)的概念，理解函數(shù)描述的是變量之間的一種依賴關系，高中階段則是在“集合對應觀”下給出函數(shù)的概念.由于函數(shù)概念具有高度的抽象性和復雜性，教師覺得很難教，學生也覺得很難理解.如果對函數(shù)的概念分析透徹所需的課時比較長，但是高中學業(yè)緊張，對于函數(shù)的概念教學也沒法給予足夠的課時.鑒于此，結合現(xiàn)代化信息技術，筆者認為可以設計一節(jié)“函數(shù)的概念”的微課，以供學生課前預習.學生根據(jù)微課程學習任務單，通過觀看微課視頻進行預習，對于有疑惑的知識點在課堂上向教師請教，這樣可以提高學習效率.

二、微課具體內容實錄

（一）回憶舊知

1.在初中的時候我們就已經(jīng)開始學習函數(shù)，回憶初中我們學習過哪些函數(shù)？PPT呈現(xiàn)出正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)這四種函數(shù)的圖像、解析式.2.初中的時候函數(shù)是怎么定義的？教師引領學生重述初中函數(shù)的概念：“如果在一個變化過程中有兩個變量x與y，并且對于變量x的每一個值，變量y都有唯一的值與它對應，那么我們稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量.”同時，提醒學生注意在這個定義中，可以看到一個函數(shù)必須有：① 兩個變量x，y；② 對于變量x的每一個值，變量y都有唯一的值與它對應.既然初中我們已經(jīng)學習過函數(shù)的概念了，為什么高中我們還要學？

請思考下面兩個問題.問題1：y=1，x∈R是函數(shù)嗎？有學生認為是，因為有兩個變量x與y，對于變量x的每一個值，變量y都有唯一的值1與它對應.有學生認為不是，因為y恒為1，所以y不是變量，因此，不是函數(shù).問題2：y=x與y=x2x是同一個函數(shù)嗎？有學生認為是，因為根據(jù)運算得y=x2x=x，所以y=x與y=x2x是同一個函數(shù).有學生認為不是，因為y=x中，對于x=0，有y=0和它對應；而y=x2x中，對于x=0，沒有y和它對應，所以不是同一個函數(shù).

設計意圖：若仍用初中學習的函數(shù)概念回答這兩個問題已經(jīng)有些力不從心了，所以，今天要從新的視角來認識學習函數(shù)的概念，幫助解決我們不能解決的問題.通過復習舊知識，為新課學習做好準備.同時，通過設置問題1、問題2讓學生產(chǎn)生認知沖突，激發(fā)學生學習該知識的興趣，產(chǎn)生學習動機，然后以最佳狀態(tài)進入新課的學習.

（二）實例分析

實例1 一物體從靜止開始下落，下落距離y（單位：米）與下落時間x（單位：秒）之間滿足關系式：y=3.9x2.

這里有兩個變量x，y，利用幾何畫板畫出y=3.9x2的圖像，由圖像直觀可知，y=3.9x2符合初中函數(shù)概念，是一個函數(shù)問題.但是，提醒學生這是一個實際問題，變量x表示下落時間，所以x≥0.這時候如果根據(jù)初中函數(shù)的概念，應該表述為“有兩個變量x和y，x≥0，對于變量x的每一個值，變量y都有唯一的值與它對應”，變量x有了取值范圍，這樣表述起來就不夠簡潔，而數(shù)學語言是追求簡潔性的，所以為了表述更簡潔，可以把這些x值放在一起構成數(shù)集A={x|x≥0}；由圖像可知，y≥0，把這些y值也放在一起構成數(shù)集B={y|y≥0}.現(xiàn)在，變量x和變量y的取值范圍就可以用數(shù)集A，B表示了，相應地，x與y的對應就是集合A中的元素與集合B中的元素的對應，也就是說集合A中的任意一個數(shù)x，按照y=3.9x2，在集合B中都有唯一的y和它對應.

實例2 下表是近幾年我校入學人數(shù)統(tǒng)計表.

年份20122013201420152016

人數(shù)1 0231 1341 3781 4771 523

從表格中，可以知道年份和人數(shù)是一一對應的關系，仿照實例1，把這些年份放在一起構成數(shù)集A={2 012，2 013，2 014，2 015，2 016}，把各年份的人數(shù)放在一起構成數(shù)集B={1 023，1 134，1 378，1 477，1 523}；對于集合A中的每一個年份，按照表格，在集合B中都有唯一確定的人數(shù)和它對應.

設計意圖：因為人教A版教材三個實例對學生來說還是有點難度，所以這里選擇兩個更貼近學生生活的實例，并且在實例1中，利用幾何畫板把函數(shù)圖像畫出，這樣就同時，呈現(xiàn)出函數(shù)兩種表示方法：解析式法、圖像法；實例2則以列表法呈現(xiàn).兩個實例就把函數(shù)三種表示方法呈現(xiàn)出來了.同時這里由解析式畫出函數(shù)圖像，并從圖像上感受兩變量之間的依賴關系，滲透數(shù)形結合的思想，為后面利用函數(shù)圖像研究函數(shù)性質做準備.關于為什么要引入集合的觀點，大多數(shù)說法是“因為前面我們學習了集合的知識，現(xiàn)在我們把變量的取值范圍用集合來表示”，這種說法很牽強，很難從根本上說服學生.本文從數(shù)學語言簡潔性的角度考慮，說明變量有了取值范圍之后，引進集合可以使表述更簡潔，從而引進函數(shù)概念的“集合對應說”.

1.觀察共性、抽象本質.以上兩個實例的共同特點是什么？① 都有兩個數(shù)集A，B；② 對于數(shù)集A中的每一個數(shù)，按照某種確定的對應關系，在數(shù)集B中都有唯一確定的數(shù)和它對應.設計意圖：根據(jù)布魯納的發(fā)現(xiàn)教學法，讓學生對實例1、實例2中得到的結果進行探究，用歸納的方式抽取出它們的共同屬性，從而達到對函數(shù)概念本質的理解.為學生創(chuàng)設歸納的機會，讓學生經(jīng)歷歸納的過程.

2.形成概念.歸納以上兩個實例中的共同屬性，得到函數(shù)的定義：設A，B是非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一的數(shù)f（x）和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f（x），x∈A.其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫作函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）|x∈A}叫作函數(shù)的值域.教師一邊用PPT呈現(xiàn)出函數(shù)的定義，一邊做講述.然后結合前面實例1、實例2對函數(shù)概念進行辨析，包括對應關系、定義域、值域等函數(shù)概念中涉及的對象.設計意圖：概念辨析是概念學習的重要環(huán)節(jié)，函數(shù)的概念既抽象又復雜，形式化的進行概念辨析效果不好，結合適當?shù)睦樱寣W生在用概念進行判斷的過程中辨析概念，更有利于加深學生對函數(shù)概念的理解.

三、微課反思

學生學習數(shù)學最大的問題就是沒有機會經(jīng)歷“歸納—演繹”的過程，所以學生可能知道了知識是什么，但不清楚它的來龍去脈，因而，也不理解其內在本質與原理，于是最終也不知道怎么用.因此，當前數(shù)學改革的重中之重是為學生創(chuàng)設歸納的機會，使學生經(jīng)歷“歸納—演繹”的過程.本節(jié)課緊緊圍繞“具體實例→觀察共性→抽象本質→形成概念→強化概念→概念應用”這一概念形成的教學模式，這一過程是發(fā)現(xiàn)學習的過程，采用引導發(fā)現(xiàn)教學法，讓學生經(jīng)歷函數(shù)概念的形成過程.本節(jié)微課主要是用于學生課前預習，在自主學習任務單的指導下，學生能更有目的地預習函數(shù)概念的相關知識點.但是對于“在實例分析時為什么要引入集合，函數(shù)概念中對應關系是什么，符號y=f（x）表示什么意思”這些雖然在微課視頻中都有做出解釋，但學生多少還是有些疑惑，因此，課堂上教師還要進一步引導學生解決這些疑惑，加深學生對函數(shù)概念的理解.

【參考文獻】

[1]黃寧靜，朱維宗.以“問題”為驅動的高中函數(shù)概念課教學設計[J].中學教學參考，2015（17）：17-18.

[2]馬復.義務教育教科書·數(shù)學·八年級（上冊）[M].北京：人民教育出版社，2014：76.