從解題教學(xué)談高效課堂

[摘 要] 數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要做到有效乃至高效，拿解題教學(xué)來說，教師應(yīng)該從學(xué)生的想法入手進(jìn)行分析以及會遇到哪些難以逾越的障礙. 數(shù)學(xué)教師的如此課堂教學(xué)沒有浪費(fèi)學(xué)生的生命而是延長了學(xué)生的生命！

[關(guān)鍵詞] 解題教學(xué)；有效教學(xué)；高效課堂；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

課堂教學(xué)是一項(xiàng)神圣的師生活動(dòng)，因而，課堂教學(xué)應(yīng)遵從相應(yīng)的教學(xué)規(guī)律和教學(xué)原則. 而數(shù)學(xué)又以其抽象性強(qiáng)往往使得不少學(xué)生畏懼?jǐn)?shù)學(xué)從而導(dǎo)致學(xué)不好數(shù)學(xué)，所以數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中更應(yīng)當(dāng)盡可能地幫助學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué).如何幫助呢？拿解題教學(xué)來說，教師應(yīng)該從學(xué)生的想法入手進(jìn)行分析以及會遇到哪些難以逾越的障礙，盡可能地揭示其背景，使學(xué)生盡可能地做到“解一題知一類”；還要把題目講深講透，盡可能做到開發(fā)學(xué)生的智力……這樣的解題教學(xué)，從表面上來看，會花很多時(shí)間來講解一道題目，似乎是在浪費(fèi)學(xué)生的生命，而事實(shí)上卻能使學(xué)生真正掌握這類題目，鍛煉了思維，學(xué)得了真正的數(shù)學(xué)知識（包括解題方法）. 無論是培養(yǎng)其應(yīng)考能力還是提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，都是值得的，并且這一過程也是必須經(jīng)歷的，從這個(gè)意義上來說，數(shù)學(xué)教師的如此課堂教學(xué)沒有浪費(fèi)學(xué)生的生命而是延長了學(xué)生的生命！

下面談?wù)劰P者在解題教學(xué)中的若干較好做法，可供同行借鑒.

自然的想法是先求左邊函數(shù)的最小值或下確界，再證明其大于1. 但這種常規(guī)方法往往是徒勞無功的.其原因是對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之積的導(dǎo)函數(shù)往往仍然含有對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之積，接下來會很難處理.

鑒于此，我們應(yīng)當(dāng)考慮把對數(shù)與指數(shù)分離開來，分別放在欲證不等式的兩邊，對兩邊的函數(shù)分別用導(dǎo)數(shù)來處理（求最值或取值范圍）：

因?yàn)橛C不等式中有exlnx，所以應(yīng)當(dāng)“指對分離”，可兩邊都除以正數(shù)ex（因?yàn)閘nx的正負(fù)不確定，所以不優(yōu)先考慮兩邊都除以lnx），即證

（1）先列舉出滿足條件P的排列L的排法有多少種情形，再對于每一種情形求出滿足條件Q的排列L的排法有多少種，最后把所有的種數(shù)相加即得答案.

同理，也可先列舉出滿足條件Q的排列L的排法有多少種情形，再對于每一種情形求出滿足條件P的排列L的排法有多少種，最后把所有的種數(shù)相加即得答案.

雖說這兩種解法相同，但在解題時(shí)卻往往有難易差別，所以我們在解題時(shí)要注意選擇簡捷的方法. 比如，在題3的解法中，解法2比解法1要簡捷.

（2）由韋恩圖可知，所求答案即排列L的排法種數(shù)-不滿足條件P的排列L的排法種數(shù)-不滿足條件Q的排列L的排法種數(shù)+不滿足條件P且不滿足條件Q的排列L的排法種數(shù).

在題3的解法中，解法3就是這樣求解的.

（3）由韋恩圖可知，所求答案即滿足條件P的排列L的排法種數(shù)-滿足條件P且不滿足條件Q的排列L的排法種數(shù).

同理，也可這樣求解：所求答案即滿足條件Q的排列L的排法種數(shù)-滿足條件Q且不滿足條件P的排列L的排法種數(shù).

雖說這兩種解法相同，但在解題時(shí)卻往往有難易差別，所以我們在解題時(shí)要注意選擇簡捷的方法.比如，在題3的解法中，解法4比解法5要簡捷得多.

講清解題過程

題4：（2016年高考全國卷Ⅰ理科第19題）某公司計(jì)劃購買2臺機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰. 機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購買這種零件作為備件，每個(gè)200元. 在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個(gè)500元. 現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖2：

以這100臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù).

（1）求X的分布列；

（2）若要求P（X≤n）≥0.5，確定n的最小值；

（3）以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n=19與n=20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？

解：（1）由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11的概率分別為0.2，0.4，0.2，0.2.

進(jìn)而可列出表1：

（2）由（1）可知，P（X≤18）=0.44，P（X≤19）=0.68，所以所求n的最小值為19.

（3）記Y表示2臺機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用（單位：元）.

當(dāng)n=19時(shí)，可得

E（Y）=19×200×0.68+（19×200+500）×0.2+（19×200+2×500）×0.08+（19×200+3×500）×0.04=4040.

當(dāng)n=20時(shí)，可得

E（Y）=20×200×0.88+（20×200+500）×0.08+（20×200+2×500）×0.04=4080.

所以當(dāng)n=19時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于n=20時(shí)所需費(fèi)用的期望值，說明應(yīng)選n=19.

注：解答本題的關(guān)鍵是列出表1. 但所有的參考答案都不會列出此表的，所以學(xué)生要看懂解答過程是有難度的. 因而，教師講解這類題目時(shí)一定要列表（其實(shí)質(zhì)是用枚舉法解排列組合題），只有列表才能保證不重不漏，答案正確、解題順暢.

講清解法來源

題5：（2013年高考新課標(biāo)全國卷Ⅱ理21（2）的等價(jià)問題）求證：ex>ln（x+2）.

解：用導(dǎo)數(shù)可證得

ex≥x+1（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號）；

x+1≥ln（x+2）（當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)取等號）.

進(jìn)而可得欲證結(jié)論成立.

分析：此解法確實(shí)簡捷！但是對于這樣的講解學(xué)生能學(xué)到什么呢？恐怕什么也學(xué)不到.此解法是如何想到的（絕對不能回答是憑運(yùn)氣、冒碰的）？這種解法具有一般性嗎？還能適合別的題嗎？這道題還有別的解法（指更常規(guī)的解法）嗎？它們應(yīng)當(dāng)都是教師亟待解決的.

對于該題，教師可這樣與學(xué)生一起來分析.

用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式，我們已經(jīng)學(xué)過下面的三種常用方法.

（1）單調(diào)性法. 比如，證明x>ln（x+1）（x>0）.

設(shè)f（x）=x-ln（x+1）（x>0），可得欲證結(jié)論即f（x）>f（0）（x>0），所以只需證明函數(shù)f（x）是增函數(shù).而這用導(dǎo)數(shù)易證.

（2）最值法. 比如，證明x≥ln（x+1）.

設(shè)f（x）=x-ln（x+1）（x>-1），可得欲證結(jié)論即f（x）=x-ln（x+1）（x>-1）.

顯然，本題不能用上面的單調(diào)性法來證，但可以這樣證明：即證f（x）=x-ln（x+1）（x>-1）的最小值是0，而這用導(dǎo)數(shù)也易證.

（3）證明f（x）min≥g（x）max. 比如，題2（2）的證明.

我們來嘗試一下，用這些方法能解決題5嗎？

若用單調(diào)性法來證ex>ln（x+2），即證ex-ln（x+2）>0（x>-2），是不合時(shí)宜的：因?yàn)楫?dāng)x=-2時(shí)，ex-ln（x+2）無意義.

若用最值法來證ex>ln（x+2），即證ex-ln（x+2）>0（x>-2），須用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f（x）=ex-ln（x+2）（x>-2）的最小值：先求導(dǎo)得f′（x）=ex-（x>-2），但接下來難以求得f′（x）的零點(diǎn)，進(jìn)而難以求出f（x）的最小值，所以“此路不通”！

若用“證明f（x）min≥g（x）max”來證也辦不到：因?yàn)楫?dāng)x→+∞時(shí)，ex→+∞，ln（x+2）→+∞.

我們學(xué)過的三種證法均失效了，所以下面介紹用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式的第四種常用方法——尋找過渡法.

設(shè)f（x）=ex（x>-2），g（x）=ln（x+2）（x>-2），我們想辦法尋找出一個(gè)函數(shù)h（x），使得f（x）≥h（x）≥g（x）（x>-2）且兩個(gè)等號不是同時(shí)取到.

當(dāng)然，函數(shù)h（x）越簡潔越好.

但h（x）不可能是常數(shù)（因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=ln（x+2）（x>-2）的值域是R），所以我們可嘗試h（x）能否為一次函數(shù)，當(dāng)然應(yīng)當(dāng)考慮切線.

如圖3所示，可求得函數(shù)f（x）=ex（x> -2）在點(diǎn)A（0，1）處的切線是y=x+1，進(jìn)而可得f（x）≥h（x）（x>-2）；還可求得函數(shù)g（x）=ln（x+2）（x>-2）在點(diǎn)B（-1，0）處的切線也是y=x+1，進(jìn)而可得h（x）≥g（x）（x>-2）.

進(jìn)而可用導(dǎo)數(shù)證得f（x）≥h（x）≥g（x）（x>-2）且兩個(gè)等號不是同時(shí)取到，所以欲證結(jié)論成立.

這種“尋找過渡法”就是“尋找公切線法”.

當(dāng)然，我們還可想辦法求出兩曲線y=ex，y=ln（x+2）的全部公切線.

可設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為A（a，ea）（a>-2），B（b，ln（b+2）），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得

學(xué)生2口述：證明不等式的常用方法是分析法和綜合法.在通常的情況下，用分析法較容易分析出證明的過程；用綜合法較難探索出證明的途徑.但在本題中，我沒有分析出證法，卻試驗(yàn)出了這種證法，是試出來的，也是湊出來的.

教師：適時(shí)調(diào)整方法，也是一種適用的解題策略.

我們也可這樣分析這道題目：

即證2ab>2a+2b，ab+ab>2a+2b，只需證明ab>2a，ab>2b，這由題設(shè)是可以得到的，所以欲證成立.

學(xué)生3上黑板板書：（構(gòu)造等式法）因?yàn)閍>2，b>2，所以可設(shè)a=2+x（x>0），b=2+y（y>0），得ab-（a+b）=（2+x）（2+y）-（4+x+y）=xy+x+y>0，所以ab>a+b.

教師：你是如何想到的？

學(xué)生3口述：變量之間的不等關(guān)系不好控制，而等量關(guān)系相對來說就好辦些，所以我就想到了這種“設(shè)字母后把不等式變?yōu)榈仁降淖C法”，一試就成功了.

教師：好！機(jī)遇總是青睞有準(zhǔn)備的頭腦.

由“角邊角”公理可知，△BCP是唯一確定的.

再由∠BAD=75°可知，射線AD的方向是唯一確定的.

分別過點(diǎn)作直線AD的平行線CQ和l，可得AB的取值范圍是（QB，PB）.

進(jìn)而可求得答案.

教師的講解：這位同學(xué)的解法使用的是補(bǔ)形法和極限思想，簡捷明快且計(jì)算量小. “割補(bǔ)”是對立的，能不能用“分割”的方法來解答本題呢？課外有時(shí)間的同學(xué)可思考一下并抽時(shí)間與教師交流.

事實(shí)上，可這樣求解（由于課堂上時(shí)間有限，教師可不在課堂上講解此解法）. 如圖6所示，連接AC，設(shè)∠BAC=α，可得∠ACB=105°-α.

對于不同層次的學(xué)生應(yīng)當(dāng)有不同的講解深度

題14：（2015年高考全國卷Ⅱ理科第21題）設(shè)函數(shù)f（x）=emx+x2-mx.

（1）證明：f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增；

（2）若對于任意x1，x2∈[-1，1]，都有f（x1）-f（x2）≤e-1，求m的取值范圍.

（注：題目有語句不通的情形，幸好不太影響考生做題.）

分析：（1）欲證函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，即證：當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)f′（x）≤0，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)f′（x）≥0.

不過，由于參數(shù)m的存在，判定導(dǎo)函數(shù)f′（x）=memx+2x-m的函數(shù)值的正負(fù)并非易事.

但有下面的兩種方法來解決：

解法1：（分類討論）得f′（x）=m（emx-1）+2x.

若m≥0，則當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，emx-1≤0，f′（x）<0；當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，emx-1≥0，f′（x）>0.

若m<0，則當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，emx-1>0，f′（x）<0；當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，emx-1<0，f′（x）>0.

所以f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

解法2：（二次求導(dǎo)）如果我們能注意到f′（0）=0，那么要證“x∈（-∞，0）時(shí)f′（x）≤0，x∈（0，+∞）時(shí)f′（x）≥0”，就可大膽猜測只需證明“導(dǎo)函數(shù)f′（x）是增函數(shù)”：這由f″（x）=m2emx+2>0恒成立，立得欲證結(jié)論成立.

注：對于基礎(chǔ)一般的學(xué)生，講解（或提示）這兩種通性通法就足夠了；若學(xué)生確實(shí)優(yōu)異且學(xué)有余力，還可再講解第（1）問的一種非常規(guī)的解法（是否講解，一定要慎重決定，否則會造成負(fù)效教學(xué)，因?yàn)楹粚?shí)基礎(chǔ)一直是教學(xué)的主旋律）：

由函數(shù)f（t）=et（t∈R）是增函數(shù)，再由增函數(shù)的定義得（t-0）（et-e0）>0（t≠0），所以（mx-0）（emx-e0）≥0（m，x∈R）（當(dāng)且僅當(dāng)mx=0時(shí)取等號）.

再由f′（x）=m（emx-1）+2x，可得

xf′（x）=（mx-0）（emx-e0）+2x2≥0（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號）.

所以f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

第（2）問的解法略.

結(jié)語

課堂教學(xué)是一項(xiàng)神圣的師生活動(dòng)，教師在課堂上要引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)、快樂高效地學(xué)習(xí)知識，真正做到課堂是知識的超市，教學(xué)是生命的狂歡，是學(xué)生施展才能、發(fā)表見解的活動(dòng)，使學(xué)生感受到靜待花開、勿忘初心的教育真諦，達(dá)到激揚(yáng)生命之境界. 這就要求教師終身學(xué)習(xí)且學(xué)無止境，要有高超的解題能力和教學(xué)藝術(shù). 關(guān)于此，讀者還可瀏覽文末列出的參考文獻(xiàn).

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