以“等差數(shù)列性質(zhì)的探究”為例，談數(shù)學(xué)規(guī)則課教學(xué)

杭麗華

[摘 要] 數(shù)學(xué)規(guī)則的習(xí)得、轉(zhuǎn)化以及應(yīng)用，是高中數(shù)學(xué)規(guī)則課的三個(gè)階段，每個(gè)階段都包含著數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的各個(gè)重要環(huán)節(jié)與內(nèi)容. 如何使數(shù)學(xué)規(guī)則課能夠產(chǎn)生優(yōu)效教學(xué)的效果，在本文“等差數(shù)列性質(zhì)的探究”這一實(shí)例研究活動(dòng)中得到了詳盡的闡述.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)規(guī)則課；教學(xué)；思考

程序性知識(shí)包含數(shù)學(xué)規(guī)則這一內(nèi)容，因此，數(shù)學(xué)規(guī)則的學(xué)習(xí)完全可以被納入程序性知識(shí)的范疇來(lái)進(jìn)行相關(guān)研究. 如果學(xué)生學(xué)會(huì)用大量的例證來(lái)對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)則反映的關(guān)系進(jìn)行說(shuō)明，并且能在不同的情境中靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)規(guī)則進(jìn)行實(shí)際問(wèn)題的解決，那么數(shù)學(xué)規(guī)則課的教學(xué)主要任務(wù)也就基本實(shí)現(xiàn)了. 數(shù)學(xué)規(guī)則的習(xí)得、轉(zhuǎn)化以及應(yīng)用這三方面都是高中數(shù)學(xué)規(guī)則課的主要內(nèi)容. 對(duì)所學(xué)新規(guī)則的認(rèn)知和理解是數(shù)學(xué)規(guī)則習(xí)得階段的主要內(nèi)容；而轉(zhuǎn)化階段的主要任務(wù)便是使學(xué)生學(xué)會(huì)從陳述性形式向程序性形式轉(zhuǎn)化，其中明確運(yùn)用規(guī)則辦事時(shí)所需的程序與步驟是本階段學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，變式訓(xùn)練是順利轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵條件；數(shù)學(xué)規(guī)則應(yīng)用階段的重點(diǎn)則是使學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用規(guī)則進(jìn)行遷移性問(wèn)題的解決.

本文結(jié)合“等差數(shù)列性質(zhì)的探究”，依據(jù)數(shù)學(xué)規(guī)則課的特點(diǎn)等，具體闡述如何組織數(shù)學(xué)規(guī)則課優(yōu)效教學(xué).

教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)及意圖

教學(xué)環(huán)節(jié)1：引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)、回顧等差數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式，并提問(wèn)：

（1）你們還記得等差數(shù)列的定義嗎？用遞推公式進(jìn)行等差數(shù)列的表達(dá)，可行嗎？

（2）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式你們還記得嗎？

（學(xué)生根據(jù)問(wèn)題積極發(fā)言，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行規(guī)范表述）

師：本節(jié)課我們所有的活動(dòng)都是圍繞等差數(shù)列的性質(zhì)與判定方法的探究來(lái)進(jìn)行的.

設(shè)計(jì)意圖：回顧舊知，為新知做準(zhǔn)備.

教學(xué)環(huán)節(jié)2：探尋等差數(shù)列的性質(zhì).

投影：已知an=3n-5是等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

（1）求a4+a8，a3+a9，a1+a11，2a6；

（2）根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（在學(xué)生獨(dú)立解題之后，引導(dǎo)學(xué)生交流、探尋結(jié)論）

設(shè)計(jì)意圖：為探究做鋪墊.

師：你們能得到什么結(jié)論？

（學(xué)生歸納、猜想和表述）

性質(zhì)1：在等差數(shù)列{an}中，如果m+n=p+q（m，n，p，q∈N*），那么am+an=ap+aq.

師：你能證明這一結(jié)論嗎？

（給學(xué)生時(shí)間與空間獨(dú)立證題，然后引導(dǎo)各小組進(jìn)行合作、討論、交流）

設(shè)計(jì)意圖：合情推理探究.

板書(shū)證明方法：在等差數(shù)列{an}中，am+an=a1+（m-1）d+a1+（n-1）d=2a1+（m+n-2）d，ap+aq=a1+（p-1）d+a1+（q-1）d=2a1+（p+q-2）d，又m+n=p+q（m，n，p，q∈N*），所以am+an=ap+aq.

設(shè)計(jì)意圖：推理論證.

師：根據(jù)以上性質(zhì)，你還有其他的發(fā)現(xiàn)嗎？

生1：如果m+n=2p（m，n，p∈N*），那么am+an=2ap.

生2：a1+an=a2+an-1=…=ak+an-k+1（n>k>0，n，k∈N*）.

設(shè)計(jì)意圖：變式訓(xùn)練.

教師投影：（1）在等差數(shù)列{an}中，如果a1+a21=50，那么a10+a12=（ ），2a11=（ ）；

（2）在等差數(shù)列{an}中，如果a3=2，那么a1+a2+a3+a4+a5=（ ）.

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

（學(xué)生獨(dú)立解題）

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用.

師：哪個(gè)公式被用在了以上性質(zhì)的證明過(guò)程中？

生：通項(xiàng)公式an=a1+（n-1）d.

設(shè)計(jì)意圖：反思.

師：等差數(shù)列跟哪一種函數(shù)有關(guān)聯(lián)？

生：通項(xiàng)公式an=a1+（n-1）d經(jīng)過(guò)變形后，為an=dn+（a1-d），所以可以認(rèn)為等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于項(xiàng)數(shù)n的一次函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：提供先行組織者.

師：反過(guò)來(lái)表述會(huì)產(chǎn)生怎樣的結(jié)論？

投影：已知an=pn+q是數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，且p，q是常數(shù)，這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列這一說(shuō)法對(duì)嗎？為什么？

設(shè)計(jì)意圖：逆向探尋.

師：判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的標(biāo)準(zhǔn)是什么？

（學(xué)生用定義法板演解題過(guò)程）

設(shè)計(jì)意圖：演繹推理.

師：你知道這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差嗎？

生：首項(xiàng)是p+q，公差是p.

（師生合作，抽象概括）

性質(zhì)2：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式正是關(guān)于項(xiàng)數(shù)n的一次函數(shù). 反之，若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=pn+q，且p，q是常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就一定是等差數(shù)列，且其首項(xiàng)是p+q，公差是p.

設(shè)計(jì)意圖：從函數(shù)角度進(jìn)行等差數(shù)列通項(xiàng)公式的探究.

教師投影：（1）通項(xiàng)公式是an=3n-5的數(shù)列必定是等差數(shù)列嗎？為什么？

（2）通項(xiàng)公式是an=-3n-5的數(shù)列必定是等差數(shù)列嗎？為什么？

設(shè)計(jì)意圖：反饋回授.

（學(xué)生獨(dú)立思考并回答）

師：判定等差數(shù)列的具體方法有哪些？

學(xué)生小結(jié)——

（1）定義法：an+1-an=d（常數(shù)），n∈N*；

（2）通項(xiàng)公式法.

設(shè)計(jì)意圖：總結(jié)方法.

師：等差數(shù)列和一次函數(shù)之間的關(guān)聯(lián)由通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特征（數(shù)）可以得出，那么，等差數(shù)列具備圖像特征嗎？請(qǐng)對(duì)以下問(wèn)題進(jìn)行思考與探究.

探究1：請(qǐng)你在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出通項(xiàng)公式是an=3n-5這一數(shù)列的圖像，并闡述其特征.

設(shè)計(jì)意圖：變式探究.

生：（直觀感知）等差數(shù)列an=3n-5的圖像是一群孤立的點(diǎn)且均勻分布在平面直角坐標(biāo)系內(nèi).

探究2：在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中，

（1）分別作出函數(shù)y=3x-5與數(shù)列an=3n-5的圖像，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（2）對(duì)比等差數(shù)列an=pn+q和一次函數(shù)y=px+q的圖像，你能發(fā)現(xiàn)這兩者之間有什么關(guān)聯(lián)嗎？

設(shè)計(jì)意圖：由特殊現(xiàn)象探索特征.

（教師用多媒體動(dòng)態(tài)演示函數(shù)y=px+q與數(shù)列an=pn+q的圖像）

師生概括：等差數(shù)列an=pn+q的圖像包含在一次函數(shù)y=px+q的圖像之中，而且正好是函數(shù)y=px+q定義在正整數(shù)集（或其子集）上時(shí)對(duì)應(yīng)的所有點(diǎn)的集合. 性質(zhì)3隨即得出.

性質(zhì)3：等差數(shù)列an=pn+q的圖像是一群孤立的點(diǎn)，且均勻分布在直線y=px+q上.

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)形結(jié)合.

探究3：（1）等差數(shù)列{an}的公差d具有怎樣的幾何意義？

（2）類(lèi)比“兩點(diǎn)確定一條直線”這一公理，你認(rèn)為確定一個(gè)等差數(shù)列需要幾個(gè)條件？

（3）等差數(shù)列{an}中任意兩項(xiàng)am，an跟其公差d有怎樣的關(guān)系？試證明.

（小組合作，抽象概括）

設(shè)計(jì)意圖：探求新知.

性質(zhì)4：如果d是等差數(shù)列的公差，那么=d（m≠n，m，n∈N*）.

（師生合作，板書(shū)證明）

師（追問(wèn)）：等差數(shù)列{an}的公差d具有怎樣的幾何意義？

生：直線y=dx+（a1-d）的斜率.

設(shè)計(jì)意圖：類(lèi)比遷移.

師（追問(wèn)）：等差數(shù)列{an}中任意兩項(xiàng)am，an跟其公差d有怎樣的關(guān)系？

生：（性質(zhì)5）如果等差數(shù)列{an}的公差是d，那么任意兩項(xiàng)am，an的關(guān)系為an=am+（n-m）d（m≠n，m，n∈N*）.

設(shè)計(jì)意圖：推廣通項(xiàng)公式.

師：等差數(shù)列的性質(zhì)有哪些？判定等差數(shù)列的條件有哪些？

生闡述上述五個(gè)性質(zhì)，并指出判定方法有兩個(gè)，即定義法和通項(xiàng)公式法.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)總結(jié).

師：你明白等差數(shù)列性質(zhì)1～5的本質(zhì)嗎？

生：通項(xiàng)公式，函數(shù)特征.

設(shè)計(jì)意圖：認(rèn)清本質(zhì).

師：請(qǐng)總結(jié)你的收獲.

生1：學(xué)會(huì)數(shù)形結(jié)合很重要.

生2：要善于運(yùn)用類(lèi)比的思想方法.

生3：發(fā)散思維、勇于探究.

設(shè)計(jì)意圖：積累經(jīng)驗(yàn).

師：很好！數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中思考與探究是最重要的！

設(shè)計(jì)意圖：激勵(lì)評(píng)價(jià).

教學(xué)環(huán)節(jié)3：作業(yè).

（1）在等差數(shù)列{an}中，已知a1+2a8+a15=120，求a7+a9.

（2）完成教材中本節(jié)練習(xí)第4題，并進(jìn)行等差數(shù)列相關(guān)性質(zhì)的歸納.

（3）兩個(gè)等差數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之和或之差所構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列嗎？請(qǐng)證明.

設(shè)計(jì)意圖：鞏固、反思、評(píng)價(jià).

由點(diǎn)及面關(guān)于數(shù)學(xué)規(guī)則課教學(xué)的幾點(diǎn)思考

本堂示范課的主要亮點(diǎn)如下.

1. 理念先進(jìn). 執(zhí)教者在等差數(shù)列性質(zhì)的教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一連串自主探索與合作交流，這正是高中數(shù)學(xué)新課程理念的體現(xiàn). 學(xué)生經(jīng)歷了等差數(shù)列一系列性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，并通過(guò)自主探究活動(dòng)，深刻體會(huì)到了其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，意義深刻.

2. 思路清晰. 對(duì)于教材編寫(xiě)的意圖，執(zhí)教者首先便做了充分領(lǐng)悟與挖掘，且對(duì)數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)探究活動(dòng)比較重視. 執(zhí)教者對(duì)于數(shù)學(xué)規(guī)則課教學(xué)操作的設(shè)計(jì)、板書(shū)、追問(wèn)以及總結(jié)都了然于心、游刃有余，對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，都進(jìn)行了很好的優(yōu)化，高中數(shù)學(xué)“優(yōu)效教學(xué)”的價(jià)值追求也得以很好地體現(xiàn).

3. 策略得當(dāng). 從執(zhí)教者這一角度來(lái)看，指向性明確的問(wèn)題使得學(xué)生的思維活動(dòng)得到有效引導(dǎo)，教師“引導(dǎo)者、組織者以及合作者”的身份扮演也尤其到位，思維的全過(guò)程展現(xiàn)得具體而有意義. 從學(xué)生的認(rèn)知這一角度來(lái)看，階梯式的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生一步一步地思考與探尋，有效的變式訓(xùn)練和探究活動(dòng)成為學(xué)生掌握知識(shí)與拓展思維的絕佳鋪墊，學(xué)生對(duì)于知識(shí)的接受度也無(wú)形中得到了提高，學(xué)生的主體地位也在探究活動(dòng)中彰顯得尤為明顯. 從教學(xué)的目標(biāo)達(dá)成這一角度來(lái)看，執(zhí)教者所設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)活動(dòng)都能遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律發(fā)展，從特殊到一般的歸納與提煉以及從一般到特殊的回歸和總結(jié)，使得活動(dòng)井然有序、探究充分，再加上有效的變式訓(xùn)練與學(xué)生個(gè)性養(yǎng)成、教學(xué)活動(dòng)反思與評(píng)價(jià)的有效開(kāi)展，都使得本課預(yù)設(shè)的目標(biāo)能夠圓滿(mǎn)地完成.

4. 成果豐富. 本節(jié)課的探究活動(dòng)表現(xiàn)得尤為重視問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)與變式探究，等差數(shù)列的本質(zhì)與其函數(shù)屬性都被深入挖掘，學(xué)生對(duì)等差數(shù)列的真正理解得以實(shí)現(xiàn)，在運(yùn)用自己的語(yǔ)言復(fù)述所學(xué)知識(shí)時(shí)，也達(dá)到了真正的知識(shí)內(nèi)化；學(xué)生在問(wèn)題的啟發(fā)下主動(dòng)參與并與同伴合作交流，主動(dòng)提問(wèn)的意識(shí)與探究問(wèn)題的欲望都得到了激發(fā)；學(xué)生的理性精神與創(chuàng)新意識(shí)在數(shù)學(xué)知識(shí)與方法建構(gòu)的過(guò)程中得到了較好的發(fā)展，學(xué)生在探究活動(dòng)中表現(xiàn)出的狀態(tài)，積極主動(dòng)且敢于創(chuàng)新.

雖說(shuō)不同類(lèi)型的課型會(huì)需要不同的教學(xué)模式來(lái)加以操作和實(shí)施，但高中數(shù)學(xué)規(guī)則課的操作模式應(yīng)該還有更為豐富多樣的表現(xiàn)形式，這需要廣大教師進(jìn)一步追尋與探索.