中學生數(shù)學寫作，教學相長總相宜

彭飛

[摘 要] 圍繞中學生在學習中常見的“上課能聽懂，但課后不會做；有些題雖做過多遍，但仍存在思維的缺陷”的問題而展開，在教師的引導下，中學生自主地數(shù)學寫作，通過自主數(shù)學寫作來發(fā)現(xiàn)自己學習過程中遇到的問題，進而解決自身存在的問題. 基于引導學生自主寫作的過程，本文最后闡述了筆者引導中學生數(shù)學自主寫作的幾點思考.

[關鍵詞] 中學生；數(shù)學寫作；成長

提出問題？搖

在教學中，我們時常發(fā)現(xiàn)課堂上講過的題型，又或是課堂上講了多遍的題型，讓學生課后自主獨立去完成，學生仍舊不會做或者做題不嚴謹. 這就引發(fā)教師的反思，為什么講了多遍，學生還是做不出來呢？

分析問題

那么，通過什么方法去找到學生的問題呢？把所有做錯的學生都叫過來一一談心嗎？談心倒是好，有針對性，但是高中生的學習時間特別緊張，每一個時段都被安排得滿滿的，哪有時間去談心呢？即使學生擠出一點時間，去跟他談心，那要花多長時間才能和所有出現(xiàn)錯誤的學生都談好呢？恐怕要和所有出現(xiàn)錯誤的學生都談完的話，時間早就過去半個多月了，很明顯，這樣的做法缺乏時效性；還有就是，學生和教師面對面談心時，學生總會出現(xiàn)羞澀的情況，不敢表達或者表達不清楚，甚至于有些孩子不善言辭，只聽著老師講，這樣還是和學生談心嗎？還是沒有將學生的主動性激發(fā)出來，只不過是換了地點繼續(xù)給學生講解那道題目罷了！那么，有沒有一種辦法既能節(jié)省時間，又能將每個學生的真實情況暴露出來呢？

預設方案

魏書生老師利用寫說明文在班級管理中取得了很好的效果，那么現(xiàn)在沿用到數(shù)學教學與學習中，效果會怎么樣呢？首先，從學習方法層面上講，其實學習就是在不斷地反思與總結，在反思與總結中提高自身的水平，寫說明文正是對自己前期學習的反思與總結，符合了學習過程的這一規(guī)律. 第二，只要出現(xiàn)錯誤的學生每個人花一點課余時間，把這道題錯誤的原因寫出來. 根據(jù)學生所寫的內容，教師再來進行重點分析，重點解決，不僅僅節(jié)約了學生的時間，也能做到對癥下藥. 第三，中學生已經有一定的寫作基礎，也具備一定的反思能力，而且每次語文考試中，都會要求寫不少于600字的作文，從而筆者初步設定數(shù)學寫作學生字數(shù)為300字.

學生優(yōu)秀作品呈現(xiàn)

基于以上三點的想法，筆者開始引導學生們自主地去進行寫作. 經過一段時間的寫作后，學生們的數(shù)學寫作水平有所提升，從中選取了兩位學生作品，以供賞析.

案例1：《關于求函數(shù)y=-cos2x-4sinx+6值域的思考》

午間作業(yè)（57）中出現(xiàn)了這樣的一道題：求函數(shù)y=-cos2x-4sinx+6的值域. 在我做這道題的時候，知道要求值域就是求函數(shù)的最大值和最小值，因為要求最小值，所以我想只要cosx，sinx最大，再加上前面是負號，那么函數(shù)值就最小了，然后我就令cosx=1，sinx=1，然后代入計算得到最小值，然后再令cosx=-1，sinx=-1就得到了最大值，然而卻得到了一個大大的紅叉.

聽過老師講解之后，我發(fā)現(xiàn)我的方法是毫無根據(jù)的，僅僅考慮用特殊值代入是錯誤的，應該找到準確的解法，現(xiàn)將領悟后的正確解法總結如下.

第一步：化異名為同名函數(shù)，也就是將y=-cos2x-4sinx+6中的cos2x轉化為1-sin2x，便可以得到y(tǒng)=sin2x-4sinx+5.

第二步：根據(jù)函數(shù)次數(shù)的特征進行換元，令t=sinx，換元之后要特別注意新元素t的取值范圍，本題為[-1，1]，本題就轉化為求y=t2-4t+5，t∈[-1，1].

第三步：由第二步可知，y=t2-4t+5，t∈[-1，1]是二次函數(shù)的一部分，畫出圖像，如圖1所示，便可以得出函數(shù)的值域是[2，10].

圖1

在我以后的解題中，我要注意學會使用換元法解題，注意換元之后定義域的取值，結合圖像求解，另外還要注意的是計算一定要準確.

案例2：《一道基本不等式題引發(fā)的思考》

題目1：已知a>0，b>0，a+b=ab，求a+b的最小值.

剛開始解決此題時，處于茫然中，因為之前沒有遇到過此類問題，就嘗試著去做一做. 因為a+b=ab，所以求a+b的最小值，即為ab的最小值. 因為a>0，b>0，a+b≥2，所以得到ab≥2，構造成關于的一元二次不等式，故解得ab≥4，所以（a+b）min=4，當且僅當a=b=2時成立. 這其中運用了基本不等式公式，但基本不等式強調“一正二定三相等”，本題在運用基本不等式時，積與和都不是定值，這樣做能對嗎？能不能用其他方法進行驗證呢？

經過一番思考后，借助于課本的一道習題（蘇教版必修5第106頁第16題），本題的條件a+b=ab可以轉化為+=1，故要求的a+b=（a+b）·1=（a+b）·+=1+++1≥2+2=4，當且僅當a=b=2時成立. 該方法采用了“1”的代換，“1”的代換和最常用的方法，當然也要滿足“一正二定三相等”這三個條件，事實上這些條件該題都已經滿足了，從而使第一種方法得到了很好的驗證. 課間與老師交流后，說明第一種方法是可行的，因為a>0，b>0，a+b≥2是一個恒等式，可以用來構造不等式，從而解出相關變量的范圍.

舉一反三：如果本題變?yōu)橐阎猘>0，b>0，a+b=ab-3，求a+b的最小值.

本題也可以利用基本不等式進行構造. 因為a+b=ab-3，所以ab-3≥2，將看成整體，解得≥3，故ab≥9，則a+b=ab-3≥9-3=6，即（a+b）min=6. 沿用題目1的第一種方法，仍舊可行，但是第二種方法——“1”的代換，則行不通. 此題有其他解法嗎？課后與數(shù)學老師交流后，本題可以將條件進行適當轉化（因式分解）：（a-1）（b-1）=4，然后令a-1=x，b-1=y，顯然x，y均是大于0的，故本題則變?yōu)橐阎獂>0，y>0，xy=4，求x+y+2的最小值. 基本不等式一步到位：x+y+2≥2+2=4，當且僅當x=y=2時取“=”. 可以看出此題運用了“因式分解+換元”的思路，將原本看來比較復雜的形式進行了轉化，轉化成了熟悉的習題.

總結來說，利用基本不等式解決最值問題有構造不等式法、“1”的代換法、“因式分解+換元法”等，但都需要對條件進行適當變形.

以上兩篇案例是來源于學生平時的數(shù)學寫作，其中案例1是在剛開始要求學生寫作的，案例2則是在學生已經寫作了一段時間，而且有了一定的寫作經驗下進行書寫的，由于篇幅問題，僅選取了這樣較為經典的兩篇作為研究載體. 當然還有學生寫到老師對他不夠關心、老師教法單一、學生自己的學習態(tài)度不夠端正、課堂上自己容易打瞌睡，等等. 筆者每每看完學生寫作的內容后，對教學都會有更深的認識，對課堂也會有更多的了解，這樣才會有改進，從而才能更好地促進課堂教學.

幾點思考

一次簡單的數(shù)學寫作，卻引來了課堂教學大的改進. 筆者試想數(shù)學寫作確實是一個走進學生心里的好方法.

首先，學生自我反省，教師點撥助成長. 從上面的案例1可以看出，學生寫反思的過程，其實就是暴露自己存在問題的過程，也是在尋求正確解法的過程，從而達到將解法內化成自己的學法. 同時對我們教者而言，課堂上不能僅僅要關注解題方法的講解，而且要關注學生的“想法”，尤其是學生“錯誤的想法”. 人與生俱來就有先入為主的觀念，學生錯誤的想法其實已經先于教師講解前占據(jù)了大腦，學生錯誤的想法得不到有效及時的糾正，那么學生就會不停地犯同樣的錯誤，只有有效及時地糾正學生的錯誤，學生的學習才會更加有效. 案例1中求值域的問題便是如此，學生在初中就形成了直接代端點值的方法求值，到了高中后，問題發(fā)生了一定變化，此方法不能直接使用，而學生卻錯誤地認為，問題與初中學習的是一樣的，便將初中的方法套用過來，從而與正確答案失之交臂，故教師在講解概念、方法時，應多關注學生的學情，發(fā)現(xiàn)學生思想中存在的錯亂的概念或錯誤的方法，為其糾正，促使學生到達勝利的彼岸.

第二，師生平等對話，心靈更相通. 學生們十分渴望與教師有一次平等交流的機會，但由于學生頭腦中一直存在“師道尊嚴”的思想，造成了很多學生不敢和老師講話. 但是借助于數(shù)學寫作，學生寫出了自己的心聲，寫出了自己的困惑，寫出了他們急切希望得到老師幫助的心聲. 有些學生寫到，希望老師關注我上課打瞌睡的情況，在我打瞌睡的時候，老師實時地提醒我. 確實如此，現(xiàn)在的高中生，學習壓力特別大、學習時間又特別長，學生打瞌睡時有發(fā)生. 而數(shù)學學科又是一個邏輯性特別強的學科，若是學生打瞌睡期間沒有弄懂某個問題，那么就會影響學生后續(xù)的學習. 但經過教師的提醒后，學生將得到有效的成長. 案例1中就是如此，解題的方法分三步，如果學生沒有聽到第二步，那么第三步則也有可能聽不懂，故課后作業(yè)也不能正確地解決，自然學生的學習自信心也會受到打擊，從而學生學習的動力、興趣就會喪失. 通過數(shù)學寫作，提供一個給予學生與教師對話的平臺，既增進了師生的情感，同時又增強了學生學習數(shù)學的積極性與自信心.

第三，先行組織者技術，學習變輕松. 案例1中，求某個范圍下的二次函數(shù)的值域，其實這類題研究的是初中學習過二次函數(shù)的一部分，在高中階段講解時，教師則應利用“先行組織者技術”將初中學習過的二次函數(shù)進行整體的復習，進而再來學習局部的二次函數(shù)這個新的知識，學生就會輕松很多. 而有時我們教師則會忽略這樣的問題，往往認為學生掌握得很好，忽視了對以往知識的復習，沒有把握好初高中知識之間的聯(lián)系，也就容易造成學生在新知識學習時的困難. 學生的數(shù)學寫作，充分暴露出學生對以往知識或是方法存在的問題，教師要充分發(fā)現(xiàn)學生暴露的此類問題，利用“先行組織者技術”對學生已有的常識或學習過的知識進行復習，有了先前知識的準備后，教師的教與學生的學兩方面的互動才會更加精彩，學生學習將更輕松，效果才會更有效.

第四，適當“稚化”教師思維，促進學生更好吸收. 相比較案例1而言，案例2更為成熟，寫作內容不僅僅局限于反思，更有舉一反三的發(fā)散思維. 在于學生探討案例2的第二種解法時，有這樣一句話：“令a-1=x，b-1=y，顯然x，y均是大于0.” 學生突然問道，為什么x，y顯然是大于0啊？當時，筆者記得這樣回答，顯然就是一目了然啊. 學生的反應則是愣了又愣，然后回答筆者說，老師我只能由a>0，b>0得到x>-1，y>-1，看不出x，y顯然是大于0啊，你是怎么得到的啊？其實x，y大于0是很容易看出來的，因為條件xy=4，故得到x，y同號，如若-1

第五，主動探索，教學相長. 教師的教是為了不教，不教是建立在學生能主動積極，自我學習、自我探索的基礎上而實施的. 從案例1與案例2的對比來看，隨著中學生數(shù)學寫作的不斷深入，中學生的數(shù)學思維能力得到了不斷的提升，由原來只能寫反思，到現(xiàn)在能舉一反三，學生自主學習的能力得到了很大程度的提升，由原來的被動學習，到現(xiàn)在能主動探索，充分發(fā)揮了學生學習的主觀能動性. 在學生探索的過程中，教師的業(yè)務能力必然也要不斷地提高，以適應知識、能力都在不斷增長的學生.

第六，問渠哪得清如水？唯有源頭活水來. 中學生數(shù)學寫作其實就是中學生自身不斷反省、總結、提升的過程，學生在寫作中不斷發(fā)現(xiàn)新問題. 愛因斯坦曾說過：“提出一個問題往往比解決一個問題更為重要，因為解決一個問題也許只是一個數(shù)學上或實驗上的技巧問題. 而提出的新問題卻需要創(chuàng)造性的想象力. ”案例2中，是學生自己總結的內容，由教師講過的題目a>0，b>0，a+b=ab出發(fā)，聯(lián)想到如果條件發(fā)生改變呢？變?yōu)閍>0，b>0，a+b=ab-3呢？怎么解決？案例2中的學生已經不是機械、重復、模仿學習的學生，儼然成為了思考者，目前雖還沒有提出創(chuàng)造性的問題，但是只要堅持努力下去，我們相信學生將來肯定會提出創(chuàng)造性問題. 這樣的學生不僅僅只是有了一碗水、一桶水，他將會擁有一個“活水源”. 學生會不斷地思考出教師意想不到的內容，在教師引導、指導下，最終會實現(xiàn)青出于藍而勝于藍，其實這也是我們教育工作者努力的方向. 同時，教師也會受到學生源源不斷的“活水”的影響，勢必會倒逼教師要不停地努力，努力的過程就是教師成長的過程，教與學才會更加相得益彰.