由空間向量法解立體幾何到其在計(jì)算機(jī)程序?qū)崿F(xiàn)的思考

陳卓

摘要：文章結(jié)合立體幾何答題經(jīng)驗(yàn)闡述了空間向量法解題的基本過程和技巧，并對立體幾何兩種解題方法的對比，簡述了各自有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，最后通過將問題的深入拓展，思考圖形等在計(jì)算機(jī)程序的實(shí)現(xiàn)過程，發(fā)現(xiàn)空間向量能為計(jì)算機(jī)表示立體圖形帶來極大的便利，是圖形在計(jì)算機(jī)表示的基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：空間向量；立體幾何；計(jì)算機(jī)程序

1.引言

高中立體幾何題目的解答通常有兩種思路，一種是通過經(jīng)典的幾何關(guān)系法作答，另外一種是通過建立空間三維直角坐標(biāo)進(jìn)行答題，也就是通常所說的空間向量法解題，當(dāng)一旦掌握空間向量法解立體幾何，發(fā)現(xiàn)可以帶來很大的簡便性。但有時也會碰到一些問題，如短時間內(nèi)難以建立合適的空間直角坐標(biāo)系，這時解題思路又不得不采用傳統(tǒng)的幾何關(guān)系法。可見立體幾何的這兩種方法是相輔相成的，傳統(tǒng)幾何關(guān)系解題是立體幾何的基礎(chǔ)和關(guān)鍵，空間向量法是對傳統(tǒng)幾何方法的擴(kuò)充，給解題的快速性和準(zhǔn)確性提供保障，當(dāng)然采用空間向量解題也有更多的實(shí)際意義。

因此，本文主要從高中立體幾何的傳統(tǒng)幾何關(guān)系和空間向量法解題思路出發(fā)，通過分析空間向量解題的一般思路和步驟，總結(jié)空間向量法解立體幾何的優(yōu)勢，更深一步通過查找資料，總結(jié)分析發(fā)現(xiàn)計(jì)算機(jī)圖形處理程序基本也都是基于坐標(biāo)描述實(shí)現(xiàn)的。最后，以此課題論文的分析入手，拓展自己對計(jì)算機(jī)程序方面的認(rèn)知學(xué)習(xí)。

2.空間向量法解立體幾何經(jīng)驗(yàn)分享

空間向量法解題的可行性，相信大家在解題過程中肯定有所體會，下面以本人的一些解題經(jīng)驗(yàn)對空間向量法解題過程進(jìn)行必要的闡述和分享。

首先，對于規(guī)則圖形，如正方體、長方體、圓錐、球體等基本可以實(shí)現(xiàn)直角坐標(biāo)系的建立，另外遇到幾何體內(nèi)有三線兩兩垂直，那也可以建立空間直角坐標(biāo)系，如只有兩線垂直，則需要通過幾何關(guān)系查找是否存在第三條直線（此時可能需要另作輔助線）垂直于兩垂線所在的平面來拓展建立空間直角坐標(biāo)系的可能，在建立空間直角坐標(biāo)系的時候，盡量讓圖形對稱，難以對稱的盡量讓幾何體位移三維坐標(biāo)的第一象限，也就是o-xyz都是正方向的象限，這樣各個定點(diǎn)坐標(biāo)值都是正的，降低計(jì)算錯誤的可能性。

其次，一旦建立空間直角坐標(biāo)系后，接下來需要通過幾何關(guān)系寫出各點(diǎn)的三維坐標(biāo)值，遇到不確定的可以先不寫或者通過設(shè)未知數(shù)來相應(yīng)定點(diǎn)的三維坐標(biāo)，并根據(jù)題目計(jì)算一些關(guān)鍵直線的方向向量，和一些面的法向量。

最后，結(jié)合題目要求證明相應(yīng)的關(guān)系或者進(jìn)行求解，除了上述經(jīng)驗(yàn)外，還有兩點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)分享，在求解線的方向向量或者是面的法向量時，當(dāng)出現(xiàn)分?jǐn)?shù)或小數(shù)，要乘以公因子使得向量各項(xiàng)均為整數(shù)，這其實(shí)并沒有改變向量方向性，僅僅是改變了向量的長度或者說向量的模，這為后續(xù)計(jì)算大大降低復(fù)雜度，因?yàn)樵谙蛄坑?jì)算和關(guān)系計(jì)算時往往是計(jì)算向量與向量的關(guān)系，很少涉及模的計(jì)算；另外一個經(jīng)驗(yàn)就是如果題目需要計(jì)算點(diǎn)到面的距離時，一般在幾何關(guān)系里面，都是通過做高或者通過等體積法求解，但是當(dāng)建立了空間直角坐標(biāo)系后，這時可以借鑒解析幾何中點(diǎn)到直線的距離公式來拓展點(diǎn)到面的距離，這時平面方程可以用待定系數(shù)法進(jìn)行計(jì)算，即設(shè)Ax+By+Cz+D=0，三點(diǎn)確定一個面，將面的三個點(diǎn)代入面的方程，計(jì)算A、B、C、D的關(guān)系幾何得到面的方程，然后利用平面外某點(diǎn)，設(shè)為（x0，y0，z0）到平面的距離可以用

來進(jìn)行求解，該式子就是簡單地把點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行了擴(kuò)展，很容易記住且經(jīng)常便于使用。

3.空間向量法解立體幾何的特點(diǎn)分析

在解立體幾何時對作的輔助線一定要證明，而且很多復(fù)雜的邏輯用于總是難以表述，甚至有些立體感不好的總感覺力不從心。而通過采用空間向量來證明線線垂直平行、線面垂直平行、以及求解復(fù)雜度更難的線面夾角和二面角問題時，可以避開傳統(tǒng)的幾何法，即通常所謂的“一作、二證明、三應(yīng)用”的邏輯思路。而通過建立空間直角坐標(biāo)系用空間向量法解題，就相當(dāng)于用向量描述立體幾何中的點(diǎn)、線、面及內(nèi)部復(fù)雜的幾何關(guān)系，通過對向量的平行垂直條件關(guān)系可以將復(fù)雜的立體幾何問題轉(zhuǎn)化為簡單的數(shù)學(xué)運(yùn)算，正如2所說的，這不僅可以提高解題的快速性，尤其是很多幾何關(guān)系在短時間內(nèi)的確難以獲得，還可以提高答題的準(zhǔn)確性，這主要基于向量運(yùn)算的簡便性以及內(nèi)部幾何關(guān)系數(shù)學(xué)化后的計(jì)算簡化。

但經(jīng)常過渡依賴采用空間向量法解立體幾何問題后，發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)幾何法能解決問題的能力逐漸消失，老師也對引入向量方法求解立體幾何問題產(chǎn)生了一些擔(dān)憂，他們普遍認(rèn)為這會削弱通過立體幾何內(nèi)容來對學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng)，其理由是空間向量法相比于傳統(tǒng)幾何法解題，向量法更多的是體現(xiàn)邏輯關(guān)系和算法及步驟的實(shí)施，更多的缺乏了對立體幾何中點(diǎn)、線、面關(guān)系的思考、想象與分析，對學(xué)生進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)有關(guān)專業(yè)是不利的，如難以適應(yīng)建筑、機(jī)械等對空間想象力要求較高的專業(yè)。同樣對于我們學(xué)生來說，從得分角度看，雖然空間向量方法解題可以帶來快速性和準(zhǔn)確性，但是前提是要能快速建立空間直角坐標(biāo)系，如果不能短時間建立坐標(biāo)系，而且這時又對幾何方法不熟悉或者淡忘的情況下，也許就難以解答立體幾何題目，從空間想象能力方面看，過渡依賴空間向量法解題，正如老師們所擔(dān)憂的一樣，難以建立空間思維，這種同學(xué)相互交流及個人反思后也有體會，當(dāng)采用空間向量法解立即幾何后，解答完后感覺自己貌似不是做立體幾何題目一樣，而是進(jìn)行一些簡單的邏輯關(guān)系，只是按照一定程序步驟機(jī)械執(zhí)行。

反過來思考，任何事務(wù)都有兩面性，采用傳統(tǒng)幾何方法接立體幾何有助于空間想象能力的培養(yǎng)和空間思維的建立，而采用空間向量法解立體幾何雖然邏輯關(guān)系簡單、計(jì)算步驟程序化，但是結(jié)合對計(jì)算機(jī)程序的了解，感覺空間向量法的解題思維特別適合計(jì)算機(jī)程序的實(shí)現(xiàn)。

4.空間向量在計(jì)算機(jī)程序中的表示思考

正如3的分析，采用空間向量法解立體幾何時，解題的思維邏輯關(guān)系簡單且計(jì)算過程相對程序化，反思過來，正是該方法的簡單，正是基于此特點(diǎn)便可以通過計(jì)算機(jī)來實(shí)現(xiàn)。通過對相關(guān)資料的查閱發(fā)現(xiàn)，如筆記本自帶的畫圖軟件，還有工程上使用的CAD軟件等在作圖的時候鼠標(biāo)上顯示的就是對應(yīng)坐標(biāo)，更近一步發(fā)現(xiàn)，計(jì)算機(jī)中在實(shí)際的圖形運(yùn)用上，原始圖形采用的都是坐標(biāo)系，當(dāng)然常用坐標(biāo)系有高中階段掌握了的平面直角坐標(biāo)系、三維直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系，也有還沒有接觸過的球坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系。就空間直角坐標(biāo)分析，對于空間的點(diǎn)只要用一個坐標(biāo)三個值來表示，空間上的線只要用一個向量三個值表示，空間上的面也是只要2所述的A、B、C、D四個值來表示，可見這非常適合計(jì)算機(jī)程序的編寫與實(shí)現(xiàn)，而如果采用傳統(tǒng)的幾何關(guān)系描述，在目前的計(jì)算機(jī)及程序上恐怕難以實(shí)現(xiàn)。

5.結(jié)論

無論采用傳統(tǒng)幾何方法還是采用空間向量法解立體幾何題目，均有各自的特點(diǎn)，但是個人還是認(rèn)為兩者都要學(xué)習(xí)了解，而且兩種方法都要掌握扎實(shí)，尤其是傳統(tǒng)幾何法思路，其畢竟是立體幾何點(diǎn)、線、面關(guān)系的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)過程中也要結(jié)合各自的優(yōu)勢來進(jìn)行靈活運(yùn)用。最后，本人通過咨詢、查找資料分析，將向量法解立體幾何問題拓展到計(jì)算機(jī)程序的實(shí)現(xiàn)問題，認(rèn)為高中階段學(xué)習(xí)掌握向量法解立體幾何題目有一定的必要性和學(xué)習(xí)意義，除了能帶來答題的快速性和準(zhǔn)確性之外，也有助于計(jì)算機(jī)解決問題思路的理解，以及為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)等信息類專業(yè)奠定一些基礎(chǔ)。

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